【確率】 添付画像の上が問題、下が解答です。 (3)②の解説を読んだのですが、a=16(=4²=2^

【確率】
添付画像の上が問題、下が解答です。
(3)②の解説を読んだのですが、a=16(=4²=2^4), a=36(=6²=2²×3²), a=64(=8²=2^6), a=144(=12²=2^4×3²), a=576(=24²=2^6×3²)
と書かれているような、aの見つけ方がわかりません。

回答を見ると②は①で求めた7通りに加え、
【表が0枚の場合】a=0の1通り
【表が3枚以上】8通り※
の合計16(7+1+8)通りあることがわかりますが、※部分の求め方がわかりません。

樹形図の最初の方だけを書いて、表が3枚の場合a=(整数)²かつその中で最小のものを選び、
a=16が1つ目に考えられるのは分かったのですが、
これ以降‪√‬a=(整数)²になるのは例えば他にも以下の★があると思うのですが、これらはなぜ省かれるのですか？

a=16(=4²=2^4)
a=25(=5²)★
a=36(=6²=2²×3²)
a=49(=7²)★
a=64(8²=2^6)
a=81(=9²=3^4)
a=100(=10²)★
a=121(=11²)★
a=144(=12²=2^4×3²)
a=169(=13²)★
a=196(=14²=2²×7²)
…

また、このように順番に考えていくにしてもa=576(=24²=2^6×3²)のような大きい数もすぐ見つけるにはどう考えるのが正解なのでしょうか。

指数がポイントだと思うのですが、自分でうまく理解出来ません。わかりにくい文章になってしまい申し訳ないですが、わかる方教えてください…。

No.2 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2025/02/07 13:51

メダルの表に書かれた数を素因数分解すると、

1 = 1,
2 = 2,
4 = 2²,
6 = 2×3,
8 = 2³,
9 = ３²
二乗でかかっている因子は √a が整数か否かに影響しないから、
4 → 1でも同じこと,
8 → 2でも同じこと,
9 → １でも同じこと
となる。
1 のメダルが 3 枚,
2 のメダルが 2 枚,
6 のメダルが 1 枚
あると思っても、答えは同じになる。

そう考えると、√a が整数になるのは
6 のメダルは裏,
2 と 8 のメダルは裏表が一致,
他のメダルは表でも裏でも自由
の場合であると判る。
全てのメダルが裏で a=0 になる場合も
これに含まれる。

そのような表裏の出方の総数は、
(6は裏に決まりで１通り)×(2,8のペアの裏表で２通り)×(1,4,9の裏表で2³通り)
= 1×2×8 = 16 通り。

確率は、6 枚全ての裏表 2⁶ 通りで割って、
16/2⁶ = 1/4. これが答え。

どういう大きい a があり得るかとかは
考える必要がない。

この回答へのお礼

皆様回答ありがとうございました！

お礼日時：2025/02/11 08:56

No.6 回答者： mtrajcp 回答日時： 2025/02/08 21:32

√aが整数になる場合の確率は

P(6が裏){P(2が裏)P(8が裏)+P(2が表)P(8が表)}
=(1/2){(1/2)(1/2)+(1/2)(1/2)}
=(1/2){(1/4)+(1/4)}
=(1/2)(1/2)
=1/4

No.5 回答者： ありものがたり 回答日時： 2025/02/08 14:29

いや、「表が３枚以上」とかの考え方はやめたほうがいいと思うんだが。

話が無駄に複雑になるだけだし。 √a が整数になる場合というのも、
どのメダルが表になるときか？で考えるべきで、その時の a の値を
考えてもしょうがない。

大事なのは、膨大な図表じゃなく、考え方だよ。

No.4 回答者： mtrajcp 回答日時： 2025/02/08 05:04

6枚のメダルに書かれた数

1,2,4=2^2,6=2*3,8=2^3,9=3^2
の素因数は
2または3
で
{f(2),f(4),f(6),f(8),f(9)}⊂{0,1}
とすると

a=2^{2f(4)+f(6)+f(2)+3f(8)}×3^{f(6)+2f(9)}
だから

a=25(=5²)★ のように5が素因数になることはあり得ない
a=49(=7²)★ のように7が素因数になることはあり得ない
a=100(=10²)★ のように5が素因数になることはあり得ない
a=121(=11²)★ のように11が素因数になることはあり得ない
a=169(=13²)★ のように13が素因数になることはあり得ない

No.3 回答者： mtrajcp 回答日時： 2025/02/07 20:59

6枚のメダルに書かれた数

1,2,4=2^2,6=2*3,8=2^3,9=3^2
の素因数は
2または3だから

5,7,11,13の倍数にはならない

No.1 回答者： mtrajcp 回答日時： 2025/02/07 11:01

√aが整数になる場合は

6は裏の1通り
1が表か裏かの2通り
4=2^2が表か裏かの2通り
9=3^2が表か裏かの2通り
(2,8)が表表か裏裏かの2通り
だから
2*2*2*2=2^4=16通り

6枚のメダルの表裏の出方は64通りだから
求める確率は
16/64=1/4