数IIの問題です。例題6（2）がわかりません。証明の（1）よりからがわかりません

数IIの問題です。例題6（2）がわかりません。証明の（1）よりからがわかりません

No.3 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2025/02/08 13:20

No.1&2 です。

おそらく、画像の下の解説にも書いてあると思うのですが、
(1) の式に代入できることを確認するために

　|xy| < 1、|z| < 1 であるから

ということを (2) の最初で述べています。
これによって
　(1) 式の「x」を「xy」に置き換え
　(1) 式の「y」を「z」に置き換え
ということが可能になります。

念のため。

さらにもう一言。
「証明せよ」というものが並んでいるときに、「後ろの証明に、前で証明した式を使う」というのは、出題者がよく考えることです。
この場合もそうなっています。
「出題者の考えそうなことを見破る」というのも、問題を解く上でのヒントになります。

No.4 回答者： mtrajcp 回答日時： 2025/02/08 15:01

|x|<1,|y|<1,|z|<1

とする
(1)|x|<1,|y|<1 のとき xy+1>x+y
↓xをXに,yをYに置き換えると
(1')|X|<1,|Y|<1 のとき XY+1>X+Y
X=xy
Y=z
とすると
|X|=|xy|=|x||y|<1
|Y|=|z|<1 だから
(1')(|X|<1,|Y|<1 のとき XY+1>X+Y)より
XY+1>X+Y
↓X=xy,Y=zだから
xyz+1>xy+z
↓両辺に1を加えると
xyz+2>xy+z+1
↓xy+z+1=xy+1+z だから
xyz+2>xy+1+z

(1)(|x|<1,|y|<1 のとき xy+1>x+y)より
xy+1>x+y
↓両辺にzを加えると
xy+1+z>x+y+z
↓xyz+2>xy+1+z とこれから
∴
xyz+2>x+y+z

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2025/02/08 13:12

No.1 です。

ちょっと式番号に混乱があったので、全面的に書き直したものを再掲します。
（最初 (2) を説明して、あとから (1) の説明を追加したので、ちょっと式番号の訂正ミスがありました）

＊＊＊＊＊＊＊（以下、訂正後）＊＊＊＊＊＊＊

(1) の不等式を証明したければ
　左辺 - 右辺 > 0
を証明すればよいです。
つまり
　(xy + 1) - (x + y)　　　　①
が「正である」ことを示せばよい。

①は　　　　　　　　　　　　　　　←ここを修正
　(xy + 1) - (x + y)
= xy - x - y + 1
= x(y - 1) - (y - 1)
= (x - 1)(y - 1)　　　　②
と因数分解できて

　|x|<1 だから -1<x<1
従って（全辺から１を引けば）
　-2 < x - 1 < 0
また
　|y|<1 だから -1<y<1
従って（全辺から１を引けば）
　-2 < y - 1 < 0
つまり (x - 1) も (y - 1) もマイナスだから、それをかけ合わせた②は
　(x - 1)(y - 1) > 0
つまり①は
　(xy + 1) - (x + y) > 0
従って
　　xy + 1 > x + y　　　　③
（証明終わり）

その上で、(2) では「(1)で証明した式」を使って証明する。

(1)で証明した
　xy + 1 > x + y　　　③
を、x→xy、y→z と書き直せば
　(xy)z + 1 > xy + z　　　④
になるのはよいですか？
この④の両辺に + 1 をすれば　　　　　　　　　　　←ここを修正
　xyz + 2 > xy + z + 1　　　　⑤

同様に、③式の両辺に + z をすれば
　xy + z + 1 > x + y + z　　　⑥

⑤の右辺と⑥の左辺が等しいから
　xyz + 2 > xy + z + 1 > x + y + z
この最左辺と最右辺が証明する不等式です。

＊＊＊＊＊＊（訂正終わり）＊＊＊＊＊＊＊

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2025/02/08 13:04

＞証明の（1）よりからがわかりません

ということは「(2) が分からない」んじゃなくて「全部わからない」ということでしょ？

(1) の不等式を証明したければ
　左辺 - 右辺 > 0
を証明すればよいです。
つまり
　(xy + 1) - (x + y)　　　　①
が「正である」ことを示せばよい。

①を「左辺 - 右辺」に変形すれば
　(xy + 1) - (x + y)
= xy - x - y + 1
= x(y - 1) - (y - 1)
= (x - 1)(y - 1)　　　　②
と因数分解できて

　|x|<1 だから -1<x<1
従って（全辺から１を引けば）
　-2 < x - 1 < 0
また
　|y|<1 だから -1<y<1
従って（全辺から１を引けば）
　-2 < y - 1 < 0
つまり (x - 1) も (y - 1) もマイナスだから、それをかけ合わせた②は
　(x - 1)(y - 1) > 0
つまり①は
　(xy + 1) - (x + y) > 0
従って
　　xy + 1 > x + y　　　　③
（証明終わり）

その上で、(2) では「(1)で証明した式」を使って証明する。

(1)で証明した
　xy + 1 > x + y　　　③
を、x→xy、y→z と書き直せば
　(xy)z + 1 > xy + z　　　④
になるのはよいですか？
この②の両辺に + 1 をすれば
　xyz + 2 > xy + z + 1　　　　⑤

同様に、③式の両辺に + z をすれば
　xy + z + 1 > x + y + z　　　⑥

⑤の右辺と⑥の左辺が等しいから
　xyz + 2 > xy + z + 1 > x + y + z
この最左辺と最右辺が証明する不等式です。

どうしてこんな方法を思いつくか？
経験と勘、というよりは「どうやったら解けるか」をジタバタと考えて試行錯誤してみることでしょうね。
「数学」って、公式にあてはめてスパッと一発で解くものではなくて、どうやったら解けるかをいろいろ試してみて、「こうやったら解ける」という方法を探し出すドンくさいものなのですよ。
数多くやってみれば、だんだんとコツがわかってくることが多いです。
もちろん、ある程度の「センス」も必要です。