ωT＝2πなのは何でですか？vT=2πrなのになんでωT＝2πrにならないんですか？ どちらも速さ×

ωT＝2πなのは何でですか？vT=2πrなのになんでωT＝2πrにならないんですか？
どちらも速さ×時間＝距離で出してると思うんですが、なぜωT＝2πだけrがないんですか？

No.4 回答者： tknakamuri 回答日時： 2025/02/09 04:36

Tもωもその単位の次元に長さを含まないのに

積が長さ(2πr=円の周長)になったら思いっきり変。

話を等速円運動に限るにしても
T=周長÷周回速度=2πr/v
ω=周回速度の角度換算=v/r=周波数の2π倍=2π(1/T)
で
Tω=2πは明白。

No.3 回答者： finalbento 回答日時： 2025/02/09 01:58

そもそも「角速度」「周期」の意味を理解していないのでは? 角速度とは等速円運動の場合に「単位時間当たりにどれだけの角度だけ回転するか」と言うものであり、また周期とは等速円運動の場合に「一回転するのにどれだけの時間がかかるか」と言うものです。

なのでΔtだけの時間にΔθだけ回転する場合、角速度ωは

ω=Δθ/Δt

そして周期をTとすると、周期の定義から「時間Tだけ回転する角度が2π」となるわけですから

Δθ/Δt=2π/T

すなわち

ω=2π/T

はい、質問の式がほぼ自動的に出て来ました。

No.2 回答者： finalbento 回答日時： 2025/02/09 01:42

Tは周期でωは角速度ですよね。

角速度って速度じゃありませんよ。なので

vT=2πr…①

と同じ調子で

ωT=2πr…②

なんてやったら両辺の次元が合わなくなります。①では両辺とも距離の次元であるのに対して②では左辺が角度(すなわち無次元)であるのに対して右辺が距離になってるわけですから。

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2025/02/09 01:21

何の話をしている？

振動の角速度が ω [rad/s]、周期が T [s] というような話？

そのときの波の振幅は
　y(t) = Asin(ωt)
と書けます。
これは「周期 2パイ」の周期関数ということです。
なので「周期 t=T」のときに
　ωT = 2パイ
となるということです。

「何で？」って、そうなる時間を「周期」と呼ぶからです。
言ってみれば「定義」です。

＞vT=2πrなのに

v が円運動の「周速度」であれば
　v = rω　　　①
です。
この両辺に T をかければ
　vT = rωT = 2πr
になって、
　ωT = 2π
になるでしょう？

＞なぜωT＝2πだけrがないんですか？

それは「距離」ではなく、どんな半径でも成り立つ「角度」で表わしているからです。
半径 r をかければ「円周の長さ」になります。