「対角線の長さが5、6、交角30度の四角形の面積を求めよ。」という問題です。高校生の問題集からです。よろしくお願いします.

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A 回答 (2件)

「対角線の長さが5、6、交角30度の四角形」


に対し、各頂点を通る対角線に平行な線を引く。
こうして、もとの四角形に外接する平行四辺形をかくとこの平行四辺形はもとの四角形の2倍になるので、できた平行四辺形の面積を1/2すればよい。

それは、2辺の長さが5,6で、挟む角が30度の3角形の面積に等しい。
S=1/2・5・6・sin30°=15/2
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この回答へのお礼

とてもよくわかりました。ありがとうございました。

お礼日時:2001/09/26 00:46

四辺形の面積 = 1/2 X [両対角線長の積 X sin(対角線の交角)] で計算できます。

計算は自分でやってください。

でもこれだけでは、あまり素っ気無いので、上の式が、成立する証明を下記します。以下の説明で画を書いてください。

四辺形の頂点を、A,B,C,D, 対角線の交点を P、対角線の交角を、θ とします。(交角は、2種類ありますが、どちらか1つを、θ としてください。も1つは (2∠R - θ)となりますが、θ は以下の式のように sin の形で使いますから、sinθ = sin(2∠R-θ) で、どちらに決めても同じです。)

四辺形の面積 S = △ABP + △BCP + △CDP + △DAP
= 1/2 (AP X BP + BP X CP + CP X DP + DP X AP ) sinθ
= 1/2 (AP + PC) X (BP + PD) sinθ
= 1/2 X AC X BD X sinθ

これで証明を終わります。念のため、くどくなりますが、式の2行目から、3行目に移る、三角形の面積が三角形の2辺の積と交角の sin をかけたものの1/2に等しい、としているのは、三角形の正弦法則として、幾何の本にありますから、ご自分で調べてください。
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軽い質問ですみません。
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できれば式も教えていただけたらとおもいます。
よろしくおねがいします。

Aベストアンサー

ルート(√)の計算を知っているという前提で話をします。

まず、正四角形(正方形)で考えてみます。
・1辺の長さが1の正方形は面積も1(=1×1)になります。
・1辺の長さが√2の正方形は面積が2(=√2×√2)
辺の長さは、√2倍になるということです。
正方形は、相似形(同じ形)をしているので、
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Aベストアンサー

4辺の長さだけでは四角形の形は一つに決まりません。
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Q四角形対角線交差角度

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Aベストアンサー

No.1です。

ANo.1の補足の訂正をした場合

辺AB,CD,対角線AC,BDが指定された四角形ABCDについて

条件を満たす四角形ABCDを作図して添付します。
ABを基準に、半径は対角線AC,対角線BDの円弧1、円弧2を描くと、C,Dはそれぞれの円弧上に存在します。Dを円弧2上に1つ定めて、半径が対角線CDに等しい円弧3を描き、円弧1との交点をCとします。
Dは円弧2上に存在するので先のDとは異なる位置のD'に取れます。このD’から前と同様にして円弧1との交点C'を作図できます。それぞれの対角線の交点をP,P'とします。
すなわち、四角形ABCDと四角形ABC'D'は共に条件を満たす四角形ですが
対角線のなす角は常に∠APB=∠AP'Bとはなりません。

つまり、四角形ABCDの形状は一意に確定しません(異なる形状の四角形ABCDが何通りも作図できます。)
条件を満たす四角形ABCDの対角線の交点をPに対して、∠APB≠一定です。
つまり、条件を満たす異なる四角形ABCDについて対角線の交点Pは、同じ円弧上にない(円周角∠APBが同じではない)ので、∠APBは一定ではない。つまり∠APBは辺AB,BC,対角線AC,BDだけでは求まらないということです。

No.1です。

ANo.1の補足の訂正をした場合

辺AB,CD,対角線AC,BDが指定された四角形ABCDについて

条件を満たす四角形ABCDを作図して添付します。
ABを基準に、半径は対角線AC,対角線BDの円弧1、円弧2を描くと、C,Dはそれぞれの円弧上に存在します。Dを円弧2上に1つ定めて、半径が対角線CDに等しい円弧3を描き、円弧1との交点をCとします。
Dは円弧2上に存在するので先のDとは異なる位置のD'に取れます。このD’から前と同様にして円弧1との交点C'を作図できます。それぞれの対角線の交点をP,P'とします。
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同じようにして四角形AEFBは三角形AEO-三角形BFOだから
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Aベストアンサー

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ここで x+y=π(=180°)です。

x=π-∠EBC-∠ECB
cos(x)=-cos(∠EBC+∠ECB)=sin(∠EBC)sin(∠ECB)-cos(∠EBC)cos(∠ECB) ...(※)
余弦定理より
cos(∠EBC)=cos(∠DBC)=(BC^2+BD^2-CD^2)/(2BC*BD)
cos(∠ECB)=cos(∠ACB)=(BC^2+AC^2-AB^2)/(2BC*AC)
sin(∠EBC)=√{1-(cos(∠EBC))^2}=√{4(BC*BD)^2-(BC^2+BD^2-CD^2)^2}/(2BC*BD)
sin(∠ECB)=√{1-(cos(∠ECB))^2}=√{4(BC*AC)^2-(BC^2+AC^2-AB^2)^2}/(2BC*AC)
この4つの三角関数を(※)に代入して arccosをとれば角度x[ラジアン]が求まります。
対角線の角度xの単位はラジアンですが、度数法にするには「180/π」をかけてやれば 度(°)の単位に変換できます。
もう1つの補角の角度yなら y=π-x[ラジアン]で求まります。度(°)単位であれば「180/π」を掛ければ変換できます。

対角線の交点をEとすると対角線の交わる角度は
∠BEC=∠AED=x, ∠AEB=∠CED=yです。
ここで x+y=π(=180°)です。

x=π-∠EBC-∠ECB
cos(x)=-cos(∠EBC+∠ECB)=sin(∠EBC)sin(∠ECB)-cos(∠EBC)cos(∠ECB) ...(※)
余弦定理より
cos(∠EBC)=cos(∠DBC)=(BC^2+BD^2-CD^2)/(2BC*BD)
cos(∠ECB)=cos(∠ACB)=(BC^2+AC^2-AB^2)/(2BC*AC)
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sin(∠ECB)=√{1-(cos(∠ECB))^2}=√{4(BC*AC)^2-(BC^2+AC^2-AB^2)^2}/(2BC*AC)
この4つの三角関数を(※)に代入して arccos...続きを読む

Q数学I 関数 三角形に内接する四角形の面積の最大を求める

一辺の長さが2の正三角形ABCがある。
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Aベストアンサー

丸投げなんで、ヒントだけ。

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四角形ABCDで、AD、BCの中点をそれぞれP、Qとし、また対角線AC、BDの中点をそれぞれR、Sとするとき、四角形PSQRは平行四辺形になることを証明せよ。

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たぶん、中学の幾何の問題ですよね?

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No.2の方が、四角形PSQRの向かい合う2組の辺が平行であることを指摘していらしたので、こちらは別解として向かい合う1組の辺が平行で長さが等しいことからの証明にしてみました。

Q「1辺の長さが4cmの正八角形の面積を求めよ。」という問題があるのです

「1辺の長さが4cmの正八角形の面積を求めよ。」という問題があるのですが、
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Aベストアンサー

私は文系大卒ですが、15分くらいで解きました。
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(サインコサインの定理を全て忘れたし、中学生は知らないはず)

次に、正八角形を正方形で囲むと、四隅が底辺4cm、低角45度の直角二等辺三角形になる事に気づき、解けました。

因みに48歳です。

Q2本の対角線が、下の図のように交わっている四角形の名前を書きなさい。

自分で選んだ答えは、

(1)正方形、ひし形
(2)ひし形、平行四辺形
(3)平行四辺形
(4)長方形

解答をみると、
(1)正方形
(2)ひし形
(3)平行四辺形
(4)長方形

でした。

(1)でひし形、(2)で平行四辺形を選ぶのは間違ってますか?

他の問題で「対角線が直角に交わる四角形を選べ」というのがあって、答えは「正方形とひし形」。
対角線が直角に交わるものは平行四辺形と見なしてはいけないんでしょうか。

それぞれの選んではいけない理由も教えてください。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

(1)「正方形」は「ひし形」の特殊な場合(頂角が直角)。その「特殊」の条件が成立していたら、「特殊」な方の名前で呼ぶのが普通です。

(2)同様に、「ひし形」は「平行四辺形」の特殊な場合(長辺と短辺の長さが等しい)。こちらも、「特殊」の条件が成立していたら、「特殊」な方の名前で呼ぶのが普通です。

 質問者さんの論法でいくと、お示しの問題の答はすべて「四角形」でもよいということになってしまいます。

 ものごとの概念には、「上位の概念」と「下位の概念」とがあって、「下位」にいくほど「具体化、詳細化」され、上位ほど「抽象化、包括化」されます。また、どういうくくりで概念化したかの経路にも依存します。
 どのレベルの概念でいうべきかは一律には決められませんが、通常は「その場で要求される最も具体化、詳細化されたレベル」で述べるのが普通と考えるべきでしょう。

 たとえば「質問者さんは何人(なにじん)ですか」と聞かれて、
(宇宙人に聞かれたら)「地球人」
(人種的な意味で聞かれたら)「アジア人」(黄色人)
(国際会議で聞かれたら)「日本人」
(国内で聞かれたら)「関西人」「東北人」
など、いろいろなレベルでの答え方があり、その場その場で「適切なレベル」を選択すると思います。宇宙人や国際会議で「関西人」と答えても意味が通じないでしょう。

 数学の「図形」の問題では、「共通認識」として上のようなレベルだということです。「正しい」「間違っている」ということではなく、「そういう共通認識」ということです。「数学」という土俵で論じる以上、それを「知らない」では済まされないということです。

(1)「正方形」は「ひし形」の特殊な場合(頂角が直角)。その「特殊」の条件が成立していたら、「特殊」な方の名前で呼ぶのが普通です。

(2)同様に、「ひし形」は「平行四辺形」の特殊な場合(長辺と短辺の長さが等しい)。こちらも、「特殊」の条件が成立していたら、「特殊」な方の名前で呼ぶのが普通です。

 質問者さんの論法でいくと、お示しの問題の答はすべて「四角形」でもよいということになってしまいます。

 ものごとの概念には、「上位の概念」と「下位の概念」とがあって、「下位」にいく...続きを読む

Q任意の四角形の4つの角の二等分線でできる四角形は 円に内接する

「任意の四角形の四辺の中点を結んでできる四角形は平行四辺形」

ですが、これはベクトルなどを使えば簡単に示すことができました。
次に、

「任意の四角形の4つの角の二等分線でできる四角形は 円に内接する」

を示したいのですが、どのようにすればよいのでしょうか?

http://marine.sci.hyogo-u.ac.jp/~hammer/weblog/2006/03/post_11.html

Aベストアンサー

ANo.1さんの補足ですが、四角形の内角をそれぞれ 2α、2β、2γ、2δ とすれば
 (1) 四角形の内角の和は 360度( α + β + γ + δ = 180度 )
 (2) 内角の二等分線と両辺とのなす角度はそれぞれ α、β、γ、δ
から、作図によって、二等分線でできる四角形の内角(4箇所)が計算できます。その後
 (3) 二等分線でできる四角形が円に内接するならば、その四角形の対角の和は180度(1箇所がそうなっていれば(1)から、もう1方の和も180度のはず)
となっていることを示せばいいわけです。なお、この四角形は円に内接するので、いわゆる平行四辺形になることはありません(長方形にはなります)。元の四角形の1部が凹んでいる場合は、内角の1部が180度を越えるということを考慮すれば同じように証明できると思います。


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