数学

座標平面上で、原点Oと点A（1,3）を結ぶ線分OAを考える。与えられた点Pに対し、Pと線分OAの距離をd(P)とおく、すなわちd(P)は、点Qが線分 OA 上を動くときの線分PQの長さの最小値である。 点Pの座標が（a,b）のとき、d(P)をa,bの式で表せ。
画像の数式がどうやって出てきたのか教えて欲しいです。

No.3 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2025/02/14 09:00

f(q) が、点P と直線OA の距離を表す式であることに注意。

P から OA へ降ろした垂線の足を点 H とすると、
H は線分OA に含まれる場合と含まれない場合があります。

(a+3b)/10 は、H の x座標です。
H が線分に含まれる 0 ≦ (a+3b)/10 ≦ 1 の場合は d(P) = |PH| = f((a+3b)/10),
H が線分OA から O 側の外にある (a+3b)/10 ≦ 0 の場合は d(P) = |PO| = f(0),
H が線分OA から A 側の外にある 1 ≦ (a+3b)/10 の場合は d(P) = |PA| = f(1)
になります。

赤丸の箇所は、d(P) = f((a+3b)/10) の場合ですから、
f(q) の式へ代入して
f((a+3b)/10) = √( 10((a+3b)/10 - (a+3b)/10)^2 + (3a-b)^2/10 )
　　　　　　= √( 0 + (3a-b)^2/10 )
　　　　　　= √( (3a-b)^2 ) / √10
　　　　　　= ｜3a-b｜ / √10
です。

一般に、実数 x に対して √(x^2) = ｜x｜ であることは解りますか？
両辺とも、2乗すると x^2 になる正の数ですからね。

No.4 回答者： mtrajcp 回答日時： 2025/02/14 17:03

画像の通り

No.2 回答者： tknakamuri 回答日時： 2025/02/14 06:59

f((a+3b)/10)

=√(10((a+3b)/10-(a+3b)/10)^2 + (3a-b)^2/10)
=√((3a-b)^2/10)
=|3a-b|/√(10)

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2025/02/13 21:50

「どういう」というほどのことはしていない. ただただ代入しただけ.