行列の「行」基本変形について

行列 A を

　　A = [a1↑ a2↑ a3↑]

のように列ベクトルで表します。

　A を行基本変形した行列 B を

　　B = [b1↑ b2↑ b3↑]

とするとき

　　b3↑= sb1↑+ tb2↑ ⇒ a3↑= sa1↑+ ta2↑

が当然成り立つと思うのですが、これをきちんと証明するにはどうしたらいいですか。

No.2 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2025/02/15 18:08

B = [ b1↑ b2↑ b3↑ ] というのは、

行列 B の 第1列,第2列,第3列 がそれぞれ
b1↑,b2↑,b3↑ だという意味でいいのかな？

そのように置くと、
b3↑ = s b1↑ + t b2↑ は
3行1列のベクトル c↑ = 転置(s,t,-1) によって
B c↑ = 0↑ と書けます。

A を行基本変形して B になるということは、
適当な基本変形行列 E があって
EA = B だということです。
E は、基本変形行列だから、正則です。

以上をあわせると、
A c↑ = (E^-1 B)c↑ = E^-1 (B c↑) = E^-1 0↑ = 0↑ が言えます。
それは、 A = [ a1↑ a2↑ a3↑ ] に対して
a3↑ = s a1↑ + t a2↑ が成り立つということです。

この回答へのお礼

丁寧な回答まことにありがとうございました。

お礼日時：2025/02/16 07:10

No.5 回答者： mtrajcp 回答日時： 2025/02/16 05:35

画像の通り

この回答へのお礼

ありがとうございました。よくわかりました。

お礼日時：2025/02/16 07:09

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2025/02/16 05:20

なぜ、いつもいつも丸パクリなのかな？

No.3 回答者： tknakamuri 回答日時： 2025/02/15 22:13

縦ベクトル u↑=(s、t、-1)^T (^Tは転置)とすると

b3↑=sb1↑+tb2↑
は
Bu↑=0↑
と書ける
BはAの行基本変形の結果だから
B=RA(Rは行基本変形の行列)
RAu↑=0↑
Rは正則だからその逆行列をQとすると
QRAu↑=Q0↑
→Au↑=0↑
これはa3↑=sa1↑+ta2↑

以上から、Rは行基本変形の3種の行列で無くても
正則でありさえすれば成り立ちます。

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2025/02/15 15:43

定義どおりきちんと成分で書く。