a-1/a-1/(1+a)が整数となるような有理数a≠0,-1って存在しますか？

a-1/a-1/(1+a)が整数となるような有理数a≠0,-1って存在しますか？

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2025/02/16 18:20

No.1 で使った定理：

　整係数の代数方程式が有理解を持つとすれば、それは
　(定数項の約数)/(最高次項の係数の約数) という形に限られる
は、多項式を因数分解するときに多用する定理です。
知っとくとよいと思います。教科書に載ってたでしょうか？

方程式 Σ[k=0..n] (c_k)x^k = 0, (c_k は整数)
が有理解 x = p/q, (p,qは互いに素) を持つとすると、

x を代入して整理すれば
(c_0)q^n = - Σ[k=1..n] (c_k)(p^k)q^(n-k) と書けます。
この右辺は p で割り切れますが、左辺の q^n は p と互いに素なので
c_0 は p で割り切れなければなりません。

別の整理のしかたをすれば
(c_n)p^n = - Σ[k=0..n-1] (c_k)(p^k)q^(n-k) とも書けます。
こんどの右辺は q で割り切れますが、左辺の ｐ^n は q と互いに素なので
c_n は q で割り切れなければなりません。

以上より、 x = p/q = (c_0 の約数)/(c_n の約数) となるのです。

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2025/02/16 17:07

a - 1/a - 1/(1+a) = k と置いて分母を払って整理すると、

a^3 - (k-1)a^2 - (k+2)a - 1 = 0 となります。
この式は、 a についての方程式と見ると、整係数の三次方程式です。

整係数の代数方程式が有理解を持つとすれば、それは
a = (定数項の約数)/(最高次項の係数の約数) という形に限られます。
今回の係数であれば、 k の値によらず候補は ±1 しかありません。
原式の分母のため a ≠ 0, -1 という条件がありあすから、
有理解としてあり得るのは a = 1 だけです。

a = 1 は解になっているでしょうか？ 原式へ代入すれば
k = 1 - 1/1 - 1/(1+1) = -1/2 となって、 k は整数になりません。

以上より、問題の式の値が整数になるような有理数 a はありません。