三角関数単体の積分で奇数乗なら相互関係の式を代入、偶数乗なら半角の公式代入って覚えることなんですか？

三角関数単体の積分で奇数乗なら相互関係の式を代入、偶数乗なら半角の公式代入って覚えることなんですか？
それが成り立つとしたらなぜ成り立つのですか？（なぜ偶数乗で相互関係、奇数乗で半角がダメなんですか？）

質問者からの補足コメント

• 回答者の皆様ありがとうございます。
  偶数乗で相互関係、奇数乗で半角でもうまく行くこともあることもあることはわかったのですが、なぜ偶数乗で半角、奇数乗で相互関係の方がうまく行くことが多いのですか？それでうまく行くことが多い理由が知りたいです。

    補足日時：2025/02/21 23:13

No.7 回答者： mtrajcp 回答日時： 2025/02/20 20:38

奇数乗で半角がダメではありません

奇数乗で半角を使う方法は画像の通り

No.6 回答者： syotao 回答日時： 2025/02/19 15:17

以上のような考え方でたとえば

∫sin⁵ｘｄｘ＝－cosｘ＋(2/3)cos³ｘ－(1/5)cos⁵ｘ
∫sin⁶ｘｄｘ＝（1/8)[(5/2)ｘ－2sin2ｘ＋(3/8)sin4ｘ＋(1/3)sin³2ｘ]
などと出てきます。
よって、参考書の解説は覚えておく必要あります。

No.5 回答者： syotao 回答日時： 2025/02/18 17:00

No.4つづき

cosｘの奇数乗も同様
こんどはcos^2ｘ＝1-sin^2ｘとしてsinｘ＝ｔとおけばよい。

つぎに偶数2ｎ乗のとき
たとえば
sin^2ｎｘ=（sin^2ｘ)^ｎ＝[(1/2)(1-cos2ｘ))]^ｎ
右辺を2項展開すればcos2ｘの奇数乗の項と偶数乗の項が出るけど
ｃos2ｘの奇数乗の項の積分は前に述べたようにすれば
多項式の積分に帰着するし
cos2ｘの偶数2ｒ乗の項は指数2ｒが2ｎの半分以下だから
ふたたび、cos^(2ｒ)2ｘ＝[(1/2)(1＋cos4ｘ)]^ｒとして
2項展開してcos4ｘの奇数乗項の積分は多項式の積分になるし
cos4ｘの偶数乗の項は2ｒの半分の指数になる･･･
などと繰り返せば
偶数乗の項の積分は最終的にsin(^2)（ｋｘ）かcos(^2)(ｋｘ)　の項の積分に帰着する、
sin(^2)（ｋｘ）＝(1/2)(1-sin2ｋｘ)　
cos(^2)(ｋｘ)＝(1/2)(1＋2ｋｘ)だから
sin^2ｎｘの積分は可能、
cos^2ｎｘの積分も同様に可能です。
sin、cosの偶数乗の積分は半角公式の連続使用で可能になります。

No.4 回答者： syotao 回答日時： 2025/02/18 14:51

たとえば指数が奇数＝2ｎ＋1のとき

sin^(2n+1)x＝sin^(2n)ｘ･sinｘ＝(sin^2ｘ)^ｎ･sinｘ
＝(1-cos^2ｘ)^ｎ･sinｘとなるから
cosｘ＝ｔとおけば-sinｘdx＝dtなので
∫sin^(2n+1)xdx＝∫-(1-t^2)^ｎdtとなって
積分がtの多項式の積分に帰着する。

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2025/02/17 09:14

その写真に書いてある手順は、あくまで「コツ」です。

方法のひとつであって、そのやり方でないといけないわけではありません。

例えば、２変数多項式 f(X,Y) に対して ∫f(cos x,sin x)dx を計算するには
ｔ = tan(x/2) で置換積分すればいい っていう万能の方法があって、
それを使う手だってあります。

でもね、手間を考えたら、たいていの場合結局写真の方法を使うのが
得策なんですよ。そういう意味で「コツ」だと言っている。

写真の方法がお得だって自分で気づける程度に、積分以前に
sin, cos の式変形に慣れてることが理想ですが...
それが自分で解らないなら、しかたがないので
公式として覚えてしまうのも一方でしょう。

使い慣れてゆくうちに、暗記したものというよりも
それが自然な手順だと思えるようになりますよ。
っていうか、これが自然だと思えるとこまで計算に親しまないと、
受験なんてとてもおぼつかないと思います。

No.2 回答者： finalbento 回答日時： 2025/02/17 00:38

そんな「ザコの公式」なんか覚える必要ありません。

知らなくても計算できる旨写真の参考書にも書いてるわけですし。

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2025/02/17 00:11

単に、どうやって「三角関数の一次式」に変換するかだけの話では？

＞なぜ偶数乗で相互関係、奇数乗で半角がダメなんですか？

やりたければやってみればよいだけ。
誰もダメなんて言ってないでしょ？