数学が得意な方に質問!! 関数のグラフが描けなくてかなり困ってます。 描きたいものは f(x)=[1

数学が得意な方に質問!!
関数のグラフが描けなくてかなり困ってます。

描きたいものは

f(x)=[1+{sin√(x-1)}^2/{4x(x-1)}]^(-1)です。




～私の考え～

xで微分しても良いことなさそう。

まずルートの中身は正だからx≧1
しかし、分母に4x(x-1)があるから、x=1で発散する。→f(x)はx>1で定義される。またf(x)>0がわかる。

次にx→∞の極限をとってみる。
-1≦サイン≦1より

[1+1/{4x(x-1)}]^(-1)≦f(x)≦1

一番左の式において、x→∞で1に収束
はさみうちの原理よりx→∞でf(x)も1に収束

また、サインの中身=nπ (nは自然数)のとき、f(x)は1になる。

また、sinがあるので、くねくね上下する。

まとめると、

f(x)はx>1で定義され、f(x)>0。また、sinがあるから周期的に1をとって上下しつつ上昇し1に近づく。

logxに三角関数を加えたような見た目で描けば良いと思いました。


しかし、geogebraを使ってみると、くねくねせず、分数関数(1-1/x)のようにただ1に近づくだけのグラフでした。


私の考えのどこが間違っていたのでしょうか。


これは量子力学において、透過率T(ここではf(x))を縦軸エネルギーの比E/V(ここではx)を横軸とし、このグラフを描けという問題です。

No.1 ベストアンサー 回答者： rnakamra 回答日時： 2025/02/17 21:16

まず

>分母に4x(x-1)があるから、x=1で発散する
ここは間違い。
sin√(x-1)/√(x-1)→1(x→1+0)
ですから全体を2乗して
{sin√(x-1)}^2/(x-1)→1(x→1+0)
他の部分も収束するからf(x)はx→1+0で収束します。(収束値は4/5かな?)

x→∞では[]の中は1に収束する(厳密にははさみうちを使えばよいが、分子が有限の値で、分母が∞に発散するから{sin√(x-1)}^2/{4x(x-1)}は0に収束する。

あと周期的に1をとるというのも間違い。
√(x-1)=nπ　⇒x=(nπ)^2+1でf(x)=1となる。
当然ながらnが大きくなるとf(x)=1となる間隔は広がっていく。

f(x)は常に1以下であることは明らか。

f(x)のグラフはx>1で定義され、x→1+0の極限で4/5に収束。
x=(nπ)^2+1でf(x)=1となり、この点が極大となる。
でxが大きくなるにつれ、振れ幅はだんだん小さくなる。
(一応ふらふら上下はするが、振れ幅は小さく、極大値をとるxは100以下だと3個(π^2+1,4π^2+1,9π^2+1しかない。)
グラフの表示領域をx軸方向に広く取り(100以上)、縦軸を0.99～1.0くらいに絞れば上下に動くことが確認できるはず。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
sinx/x になってるのに気づきませんでした。たしかに→1+0で収束しました。

また、周期的に1をとるのは誤りで、nがどんどん大きくなるので、そんなにくねくね上下しないことが確認できました。

本当に助かりました。さらに深いところまで量子力学を勉強しようと思いました。

ramsauer townsend effectでgoogle検索すると、一番上に画像がでてきます。自分が描いたものとそっくりなグラフがでてきました。本当に助かりました。

お礼日時：2025/02/18 16:56

No.5 回答者： mtrajcp 回答日時： 2025/02/21 06:04

x>1

0≦sin√(x-1)≦√(x-1)
0≦{sin√(x-1)}^2≦x-1
0≦({sin√(x-1)}^2)/(x-1)≦1
0≦({sin√(x-1)}^2)/{4x(x-1)}<1/4
1≦1+({sin√(x-1)}^2)/{4x(x-1)}<5/4
4/5<1/{1+({sin√(x-1)}^2)/{4x(x-1)}}≦1

No.4 回答者： tknakamuri 回答日時： 2025/02/19 17:38

肝の

>{sin√(x-1)}^2/{4x(x-1)}
は
{sinc√(x-1)}^2/(4x)
で、sincは速やかに減衰する振動な上に、4xで更に
減衰が激しいので、式全体としての振動は
見えにくいでしょうね。

sinc関数
https://ja.m.wikipedia.org/wiki/Sinc%E9%96%A2%E6 …

No.3 回答者： rnakamra 回答日時： 2025/02/18 16:36

#1です。

geogebraで挙動を確認する場合、設定を変更するとよいでしょう。
右上の設定アイコンをクリックして、設定を選択します。

"基本"タグで以下の数値を書き換えます。
x最小:5 x最大:100
y最小:0.9994 y最大:1.0000001
くらいで設定すると波打っているのが確認できます。

xの最小値を1にしてしまうとyの最小値が1から離れすぎてしまい波打っているのが見えなくなります。yの最小値を上記の値に設定するのが一番見やすいです。
最初の極小値が0.99942くらいなので縦のスケールを0.1にしても変化は見えません。

x→1+0の挙動を見たい場合は
x最小:1 x最大:2
y最小:0.7 y最大1.01
くらいに設定すればよいでしょう。

#1で書いた設定は見積が甘すぎましたね。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

geogebraが間違うことは考えにくいので、自分がスケールを設定するのが肝でしたね。y=1みたいに見えてた部分もある程度拡大してみるとしなってましたね。設定難しいですね。

お礼日時：2025/02/18 17:32

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2025/02/17 21:33

いきなり微分はいいこと無いですね。

そのとおりです。
関数の合成へ持ち込んだらいいんですよ。

f(x) = [ 1 + { sin√(x-1) }^2 / { 4x(x-1) } ]^(-1).
↑
f(x) = [ 1 + ｇ(x) ]^(-1),
y = g(x) = { sin√(x-1) }^2 / { 4x(x-1) } ]^(-1) のグラフが描ければ、
それを加工して y = f(x) のグラフも描けそう。

y = g(x) = { sin√(x-1) }^2 / { 4x(x-1) } ]^(-1).
↑
y = h(x) = sin√(x-1) のグラフと
lim[x→1+0] g(x), lim[x→1-0] g(x) の値が判れば、
y = g(x) の概形は描けそう。

y = sin√(x-1).
↑
y = sin u と
u = √(x-1) を合成して、概形が判りそう。

...って順に分解してゆけば、y = f(x) のグラフも描けるはず。

質問文中のあなたの考えの間違いは、No.1 にもあるように
lim[x→1] g(x) の評価にミスがあるんです。

この回答へのお礼

解答ありがとうございます。

ごちゃごちゃしたg(x)を考えてから、全体像(f(x))を見た方がよさそうですね。

本当に助かりました。

お礼日時：2025/02/18 17:28