「実数tが変化するとき、直線y=2tx - (t+1)^2 がとおりえる範囲を図示せよ」という問題なのです。定石はtの2次方程式として、実数条件より解くのだと思うのですが、包絡線で考えた場合、そのtの2次方程式に実数条件Dを使ったときに出てくる式がなぜ包絡線なのかよくわかりません。これは、直接考えるのではなくて、「tの2次方程式として、実数条件より解いた結果」から考察すると、その軌跡が曲線になるので、もとの直線 y=2tx - (t+1)^2 はその曲線の接線だということでしょうか。それと、問題文の直線 y=2tx - (t+1)^2 とこれに実数条件を使った y=x^ - 2x という式を連立すると、x=t+1 で接するということがわかると思うのですが、このx=t+1がx=3tでもx=4t+3でもtが変数なのだから、図示してみるとどれもy≦x^2 - 2x と同じ領域を表す図になると思うのですが、なぜこれは違うのでしょうか。

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A 回答 (16件中1~10件)

s-wordさんのやっているのは逆の対応の概念による解法です。

tの存在条件から包絡線の接点を考える解法です。その解法は実は非常に経験的な解法で私はあまり美しい解法であると思いません。そこでtを直接動かすわかりやすい解法をお教えしましょう。そこらの凡庸な予備校講師では真似の出来ない解法であると思います。

<解>
y=2tx-(t+1)^2…(1)の両辺をtで微分すると、
0=2x-2(t+1)
よって、x=(t+1)で包絡線Cに接する。
また接点y=2t(t+1)-(t+1)^2 
     =t^2-1
よって、直線(1)は接点(x,y)=(t+1,t^2-1)で包絡線Cに接しつつ動く。
これより、C:y=(x-1)^2-1=x^2-2x
接線(1)はいつも曲線y=x^2-2xの下側を接しつつ通るので、
求める領域は「y≦x^2-2x」

<解説>はこれから書くので待っててください。
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さてリタイアする前に今度は平方完成による解をやっとこう。


<解>
tについて平方完成する。
y=2tx-(t+1)2
=-(t-x+1)^2+(x-1)2-1
=-(t-x+1)^2+x^2-2x≦x^2-2x(等号成立はt=x-1⇔x=t+1のとき)

これは直線y=2tx-(t+1)2 が曲線y=x^2-2xの下方を接点x=t+1で接しつつ動くということに他ならない。
よって領域は、y≦x^2-2x

まあ受験数学ではこんなもんかな。問題によって平方完成や微分でによる方法では解けない問題もある(らしい)が別に気にしなくてもよいし、そのときはこのコーナーで質問すればよい。しかし後継者として回答するのも忘れないように。自分だけ回答してもらうのはズルイからね。

以上。
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この回答へのお礼

>問題によって平方完成や微分でによる方法では解けない問題もある(らしい)が別に気にしなくてもよいし、そのときはこのコーナーで質問すればよい。しかし後継者として回答するのも忘れないように。自分だけ回答してもらうのはズルイからね。

かのページにもありましたが、平方完成もかなり役立つんですね。4次の微分の共通接線のところで以前教わったことがあるんですが、ここでもその考え方が使えるんですね。まず微分してみて、そのあとに平方完成してみようとおもいます。何度もお返事していただいて、newtypeさん、stomachmanさんどうもありがとうございました。そろそろ閉めたいと思います。

初めここにきたときは「みんなの質問に、みんなで答える、Q&Aサイト!!」なので、自分でもできれば解答していこうと思っていましたが、正直他の方々の解答をみると、自分がちっぽけな存在に思えて、いつの間にか、質問するだけでいいやと思うようになっていました。でも今思えば、私でも答えられそうな中学生や高校一年生の質問もあったような気がするので、もし見つければ積極的に解答していきたいと思います。間違ってたら他の方々がフォローしてくださるだろうし(^^) しかし後継者になるにはまだまだ修行が足らないと思うのですが。

お礼日時:2001/10/08 03:01

>x,yはtと無関係?x,y,tをそれぞれ好きな値にして


  y=2tx-(t+1)^2
が成り立つ訳じゃないでしょう?あるいは、x, yがtと関係ないのなら、どうしてx=t+1なんて関係が出てくるんでしょう?
おかしなことが起こるのは、x,yの意味を式によってころころ変えてしまっているからです。 No.2では<x,y>は初めのうちは直線上の任意の点を表していたのが、いつのまにやら包絡線上の点を表すものに化けている。これらをきちんと区別してみましょう。

「x,yはtと無関係」なのではなく、「x,yとはtと無関係」である。
言い換えると変数と任意定数とは無関係である。

さらに言い換えると、
P:(x,y)=(t+1,t^2-1)…(代入してあっという間に接点yもまとまる)
なので接点P:(x,y)はtを媒介変数として表わされる。
しかしtは(x,y)で表わせられない。
{t=x-1,t=±√(y+1)というように別々には表わせられるがt=f(x,y)とは表わせられない。}

故に接点(x,y)とtは無関係である。

そもそもNO4で下記のように書いてあります。
変数…1方が1つ決まると他方も1つ決まる、つまり「伴って変わる」
2つ1組の数。
y=f(x)で言うとyが従属変数、xが独立変数という。

定数…変数以外の数
「伴わないで変わる」…任意定数(パラメータ、y=axのaなど)
「伴わないで変わらない」…与えられた定数(y=2x)

任意定数∋媒介変数であって、任意定数の意味は媒介変数だけではない。
ここを間違ってはいけない。

では説明しよう。
「任意定数∋媒介変数」かつ「変数≠任意定数」
⇒変数≠媒介変数

以上と言いたいところだがさらに問題文に戻って説明しよう。
実数tが変化するとき、直線y=2tx - (t+1)^2 がとおりえる範囲を図示せよ

実数tを決めれば直線が決まる。
逆に(x,y)の変数の組みを決めればそれらに対応する実数tが存在する。
xだけ決めただけではだめだ。stomachmanさんが「x,y,tをそれぞれ好きな値にして 」というのはここでだめというのがここでわかる。

つまりどういうことかというと私の表記ミスで~す。やっちまったッピー。
NO2の「つまり、x,yはtとは無関係だから、」を以下のように直してください。
「つまり、x,yの変数の組みはtとは無関係だから、」

これで完璧ズラ。
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この回答へのお礼

>「x,yはtと無関係」なのではなく、「x,yとはtと無関係」である。
言い換えると変数と任意定数とは無関係である。

ご回答してくださって、どうもありがとうございます。はい、私もnewtypeさんにそのように教えていただいて理解しました。

お礼日時:2001/10/08 02:44

x,yはtと無関係?


x,y,tをそれぞれ好きな値にして
  y=2tx-(t+1)^2
が成り立つ訳じゃないでしょう?
あるいは、x, yがtと関係ないのなら、どうしてx=t+1なんて関係が出てくるんでしょう?

おかしなことが起こるのは、x,yの意味を式によってころころ変えてしまっているからです。 No.2では<x,y>は初めのうちは直線上の任意の点を表していたのが、いつのまにやら包絡線上の点を表すものに化けている。これらをきちんと区別してみましょう。

二本の直線
  y=2tx-(t+1)^2
  y=2(t+δ)x-(t+δ+1)^2
の交点を<x[δ],y[δ]>とする。
より正確には、
L[t] = {<x,y> | y=2tx-(t+1)^2}
とするとき、
{<x[δ],y[δ]>} = L[t] ∩ L[t+δ]
です。
つまり連立方程式
  y[δ]=2tx[δ]-(t+1)^2
  y[δ]=2(t+δ)x[δ]-(t+δ+1)^2
の解が<x[δ],y[δ]>である。
そしてδ→0としたときの交点、すなわち<x[0],y[0]>は包絡線上にある(なぜ包絡線上に来るかは、ここでは\(^^\) (/^^)/置いといて)。

 具体的に解いてみましょう。y[δ]を消去して
2tx[δ]-(t+1)^2 =2(t+δ)x[δ]-(t+δ+1)^2
移項して
0 = 2δx[δ]-2δ(t+1)-δ^2
よって
x[δ] = (t+1)+δ/2
y[δ] =2t((t+1)+δ/2)-(t+1)^2 = t^2+δt-1
です。そして
<x[0],y[0]>=lim {δ→0} <x[δ],y[δ]>
ですから、
x[0] = t+1
y[0] = t^2-1

ちょっとやり方を変えてこの計算をしてみましょう。
  y[δ]=2tx[δ]-(t+1)^2
  y[δ]=2(t+δ)x[δ]-(t+δ+1)^2
差を取ると
  0 = 2δx[δ]-((t+δ+1)^2 - (t+1)^2)
両辺をδで割ると
  0 = 2x[δ]-((t+δ+1)^2 - (t+1)^2)/δ
δ→0の極限を取ると
  0 = 2x[0] - lim{δ→0}((t+δ+1)^2 - (t+1)^2)/δ
このlimの中身は d((t+1)^2)/dt に他なりませんから
  0 = 2x[0] - d((t+1)^2)/dt
この微分を計算すると
  0 = 2x[0] - 2(t+1)
かくて
x[0] = t+1
を得ます。

これがNo.2の方法で旨く行っちゃうからくりです。
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この回答へのお礼

>おかしなことが起こるのは、x,yの意味を式によってころころ変えてしまっているからです。 No.2では<x,y>は初めのうちは直線上の任意の点を表していたのが、いつのまにやら包絡線上の点を表すものに化けている。これらをきちんと区別してみましょう。

なるほど、区別するとこうなるのですね。お返事どうもありがとうございます。なるほど、そういうことだったのですか、わかりました。どうもありがとうございました。

お礼日時:2001/10/08 02:36

>回答に対するお礼


stomachmanさんがnewtypeさんのご説明にご意見されていますので、もう一度寄ってご意見をお願いできますか。

非常に情けないんですが私の回答が本質的に違うのか、それとも表現的に違うのか、それとも両方とも違うのか…これらのうちどれかもよくわかりません。
可能ならば忠恕のお心持ちでお教え下さい。

だいたい下記のことについて意見されているということぐらいはわかります。
つまり、x,yはtとは無関係だから、y=2tx-(t+1)^2=f(t)をそのままtで微分して、x=t+1…(あっという間に接点xが求まる)
よって、
P:(x,y)=(t+1,t^2-1)…(代入してあっという間に接点yもまとまる)
しかし代入せずにyを残すようにしてtで微分したときも同じ結果が得られます。
だから本質的に間違っているとは思えないんですよ。
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この回答へのお礼

>非常に情けないんですが私の回答が本質的に違うのか、それとも表現的に違うのか、それとも両方とも違うのか…これらのうちどれかもよくわかりません。

再び足を運んでいただいてどうもありがとうございます。
私もどう違うのかあまりわからなくて困っていました。newtypeさんが御説明していただいたときはスゴイ解法だと思って、今拝見しても別に問題はないような気がします。
stomachmanさんが御返事をされておられるようなのでそちらの方も拝見してみます。ありがとうございました。

お礼日時:2001/10/06 07:02

あれれ?newtype氏はリタイヤですか?もっと笑わせて欲しいけどな。



●No.5は手抜きしました。すいませんね。
dtはd×tじゃないんです。
 x=d((t+1)^2/2) / dt
ってえのは、
 x= 「((t+1)^2/2)をtで微分したもの」
って意味です。
「y=2tx - (t+1)^2 と y=2(t+dt)x - (t+dt+1)^2 の交点は、dt→0としたとき包絡線上に来る。」と表現すれば良かったです。
 実際に包絡線を描いてみるとこのへんの事情が腑に落ちると思います。たとえばグラフ用紙と定規と鉛筆を用意して
 <t,0>と<0,100-t>を通る直線 (0<t<100)
を描いてみてはどうでしょう。初めはtを10mm刻みで、それから5mm刻みで、...

●どうやら微分を使う意義の理解にちょっと怪しいところがおありかと思います。もしそこのところをすっ飛ばして公式だのテクニックばかりに注目なさるならば、それは受験数学です。そして、ご質問は受験数学からの脱却を目指していらっしゃるように思われる。(でなきゃ、回答付けません。)

●練習問題をやってみましょう。
「問:x,yは実数とする。曲線 y =(x+1)^2の極値を求めよ」

×「こたえ:
 y=x^2 の両辺をxで微分して、
 0=2(x+1) <===(ここが間違い。yは定数ではないので両辺をxで微分すると、正しくはdy/dx=2(x+1))
これを解いて x=-1
 y=(x+1)^2 に代入して <====(ここが間違い。代入すれば答が出るという根拠がありません。)
 y=0」
これ間違いです。まぐれで答が合っただけ。どこがまぐれって、曲線の表現がy=(yを含まない式)の形をしていたのと計算間違いとが重なって丁度旨くいった。正しくは以下のようです。

○「こたえ :
極値は dy/dx=0 が成り立つようなxにおけるyの値である。
だから方程式
 dy/dx=0
を満たすx(つまり集合{x|dy/dx=0})を求めたい。そこでまず、dy/dxをxだけで表した式を求める。
 *このために y=(x+1)^2  の両辺をxで微分すると、
  dy/dx=2(x+1)
  となり、dy/dxをxだけで表した式が得られた。#
  (*から#までは、曲線がどんな式で与えられているかによってやり方を色々工夫する必要があります。)
よって、方程式 dy/dx=0 は
 2(x+1)=0
と書ける。これを解いて x=-1 (つまり{x|2(x+1)=0} = {-1})
従って、x=-1のときにだけ、dy/dx=0 になる。
x=-1のときの y=(x+1)^2 の値を求めると、 y=0」

これならオッケー。違いがお分かりでしょうか?

曲線 y = (x+1)^2 の両辺をxで微分した
 dy/dx = 2(x+1)
と元の曲線との関係はどうなってるか。
 y=(x+1)^2 ⇒ dy/dx = 2(x+1)
つまりy = (x+1)^2 が成り立つなら必ずdy/dx = 2(x+1)である。
しかし「dy/dx = 2(x+1)が成り立つなら必ずy = (x+1)^2 である。」とは言えません。
実際、 y=(x+1)^2+1 も dy/dx = 2(x+1) を満たします。一般に
 y=(x+1)^2+定数 ⇔ dy/dx = 2(x+1)
言い換えれば「微分方程式 dy/dx = 2(x+1)の一般解は y=(x+1)^2+定数」 です。

練習問題のこたえ(○の方)ではまずdy/dx =0となるxを求めています。
 dy/dx = 2(x+1)
であるようなどんな曲線でも、「dy/dx =0となるx」はx=-1ですから、
 y=(x+1)^2+1
の極値もやはり、x=-1の時のyの値である。
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この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。

>「こたえ:
 y=x^2 の両辺をxで微分して、
 0=2(x+1) <===(ここが間違い。yは定数ではないので両辺をxで微分すると、正しくはdy/dx=2(x+1))

についてなのですが、
newtypeさんのNO,2を引用させていただくと、

>x,yはtとは無関係だから、y=2tx-(t+1)^2=f(t)をそのままtで微分して、x=t+1…(あっという間に接点xが求まる)

はあっているんですよね。これを代入するのに問題があるんですよね。

>実際、 y=(x+1)^2+1 も dy/dx = 2(x+1) を満たします。一般に
 y=(x+1)^2+定数 ⇔ dy/dx = 2(x+1)
言い換えれば「微分方程式 dy/dx = 2(x+1)の一般解は y=(x+1)^2+定数」 です。

なるほど、不定積分は積分定数Cが出てくるのですね。必要十分ではないんですね。

お礼日時:2001/10/05 01:55

>すいません、接線を動かして、領域を書いて終わりではいけないのでしょうか。

何をされているのかわからないのですが。-1<x<1のときの曲線C:y=x^2-2xの接線を動かせば良いんですよね。すいません、何度もお手を煩わせてしまって申し訳ないのですが(^^:)

良いです。どうやら取り越し苦労だったみたいだ。
さらばだ。うぬに教えることはもう何もない。あとはラ○ウの血がうぬを進むべき道に導くだろう。これからは私の後継者としてうぬがこのコーナーで回答するのだ。頼んだぞ。

以上。
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この回答へのお礼

stomachmanさんがnewtypeさんのご説明にご意見されていますので、もう一度寄ってご意見をお願いできますか。

お礼日時:2001/10/05 02:03

s-wordさん、まず最初の質問ですが私が書いたNO2を見てください。

直線の方程式から導いてるので関係大ありです。絶対疲れてるね。キュー○ーコー○○ー○○Aを飲むか、薬用養○酒飲んで疲れを癒してください。

次に、あのページを参考するのはよいとして真似してはいけません。私の回答をご覧になってください。さて今回の問題で0≦t≦1という条件がついたらどういう領域になるでしょう。
「直線Lはx=t+1で曲線C:y=x^2-2xに接しつつ動く。」
と導けたのだから、図を書いて接点x=1(t=0)での接線、接点x=2(t=1)のときの接線を曲線Cといっしょに書く(接していることに注意)。後はy=x^2-2xの1<x<2における接線を考慮して(動かして)領域を「視察」で求めればよい。

ちなみに領域は一瞬で求まったが、式で表わすのは以外と面倒だ。でも慣れればこちらの解法の方が直感的で求めやすいね。
<解>
x<1のとき、y≦-1かつ2x-4≦y
1≦x<3/2のとき、y≦x^2-2xかつ、2x-4≦y
3/2≦x<2のとき、y≦x^2-2xかつ、-1≦y
2≦xのとき、-1≦yかつ、y≦2x-4
合ってる?

像に準じてやると領域を求めるのは簡単だが式を表わすのに一苦労。
逆写像の概念から考えると領域を求めるのは難しいが式は簡単似求められる。
stomachmanさんではないが問題によってどっちか答えやすい方を考えた方がよいということ。
以上
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この回答へのお礼

>s-wordさん、まず最初の質問ですが私が書いたNO2を見てください。直線の方程式から導いてるので関係大ありです。絶対疲れてるね。キュー○ーコー○○ー○○Aを飲むか、薬用養○酒飲んで疲れを癒してください。

すいません、特に疲れているようには感じないのですが、見えないところでたまっているかもしれませんね。親父に薬用養○酒をもらって飲もうと思います(^^)。
文型なので、微分の導き方をすっとばしていつも公式ポンをしているので、いまいち関係性がつかめませんでした。確かにnewtypeさんがお返事していただいたNO2をよく見て、微分の過程をよく見ると、互いの式は密接に結びついているように思えました。同時に微分する必然性も見えてきました!

>ちなみに領域は一瞬で求まったが、式で表わすのは以外と面倒だ。でも慣れればこちらの解法の方が直感的で求めやすいね。
<解>
x<1のとき、y≦-1かつ2x-4≦y
1≦x<3/2のとき、y≦x^2-2xかつ、2x-4≦y
3/2≦x<2のとき、y≦x^2-2xかつ、-1≦y
2≦xのとき、-1≦yかつ、y≦2x-4
合ってる?

すいません、接線を動かして、領域を書いて終わりではいけないのでしょうか。何をされているのかわからないのですが。-1<x<1のときの曲線C:y=x^2-2xの接線を動かせば良いんですよね。すいません、何度もお手を煩わせてしまって申し訳ないのですが(^^:)

お礼日時:2001/10/02 11:05

gooで調べた結果、下記ページがありました。

その考え方4を見てください。
そこに私が示した微分を使う解法が載っています。
微分を文字を動かす道具ととらえています。(これも私が示しましたね)
残念ながらそれ以上のことは載ってなく、なぜそうやっていいのかが載っていません。受検テクニックなどと表現していますが、技法を真に理解していなければそれらを使ってはいけないということがどうもわかってないようだ。
もしその技法が正しくなかったとしたら?この疑問に答えるためにも、過程を正しく記載しなければならない。
s-wordさんには単なる受検テクニックの話をしているのではないので、下記ページはあくまで「参考」にしてくれたらいいと思います。その後に私のところを読んでいただければいいと思います。

ちなみにs-wordさんが書いた以下のところなんですが、
「問題文の直線 y=2tx - (t+1)^2 とこれに実数条件を使った y=x^ - 2x という式を連立すると、x=t+1 で接するということがわかると」

これは平方完成を使った解法の質問ですね。大学への数学 数学ショートプログラムという本に載っています。この解法はこねくり回している様であまり好きにはなれません。ちゃんと理解すると簡単なのかもしれませんが、最初に習ったのが「微分」による解法なんでこのやり方を飛ばしました。だから出来ません。下記ページを見てください。
またstomachmanさんが微分による解法ではできない問題を出していますが、私が知る限り受検でこのような問題が出ることはなかったと思います。もしこのような問題が出て、いろいろ解法を試してみて出来なかったらあきらめましょう。

以上

参考URL:http://www.e-t.ed.jp/edotori39021/2bu-kan29.htm
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この回答へのお礼

お返事ありがとうございました。早速いってみました。いろいろな解法があるんですね。今まできっちり系統だって学習していなかったものが体系的になっていたのでつながってきました。どうもありがとうございます。他にも勉強になる問題が、たくさんあるので、ひととおり見てみようと思います。

「y=2ax+1-a^2・・・ (1)を aについて整理すると、a^2-2xa+y-1=0   
両辺をaについて微分すると、2a-2x=0     ∴  a=x
これを直線の方程式に代入して、y=2x^2+1-x^2=x^2+1  (2)     
ここで(1)(2)より、yを消去すると、2ax+1-a^2=x^2+1
x^2-2ax+a^2=0,(x-a)^2=0,
∴x=a(重解)
よって、(1)(2)は、x=aで接することがわかる。
また、0≦a≦1より、0≦x≦1の範囲で接している。
よって、求める領域は、図の影の部分(境界を含む)」

長くなりましたが、少し気になったことがあるので質問させてください。微分前の式と微分後の式ではその関係性が保たれているので、微分して出てきたa=xを(1)に代入できると思うのですが、なぜ微分してもその関係性が保たれているのかがピンときません。全く違う式なので理解できないのですが。それと、「0≦a≦1より、0≦x≦1の範囲で接している。」の部分なのですが、これはx=aから導かれてきたと考えて良いのでしょうか。すいませんよろしくお願いします。これからもう一度書き込んでいただいた内容を振り返ってみたいと思います。どうもありがとうございました。

お礼日時:2001/10/01 07:43

No.7に関するご質問の意図がもうひとつよく分からないんですが…



>「実数tが変化するとき、曲線y=x^2 + (t^2)x+t^2 がとおりえる範囲を図示せよ」
>「実数tが変化するとき、直線y=2tx - (t+1)^2 がとおりえる範囲を図示せよ」という問題なのです。
> -------------
> ここについてなのですが、上の式をどうやったら下の式になるのでしょうか。
> 2つの式の関係がわかりません。

もちろん両者は無関係。前者はNo.1の解法がそのままでは旨く行かない例として挙げた問題であり、後者はご質問の問題です。2つの問題の間には何の関係もありません。

> 問題にしているのはどの直線なのでしょうか。

厳密に言えば、問題にしてるのは直線じゃなくて関数
f(x,y,t) = 2tx - (t+1)^2 - y
ですね。

> それと、2本の直線がどうやって出てきたのかわかりません。

tを定数であると考えれば
y=2tx - (t+1)^2
を満たす<x,y>の集合は一つの直線です。
また微少量dtを使ってtをt+dtで置き換えた式(t+dtを定数と考えて)
y=2tx - (t+1)^2
を満たす<x,y>の集合もまた一つの直線です。これら2本の交点が包絡線上にある。

どんなtについても同じようにして(包絡線上にある)交点が求められ、従って包絡線上にある点の集合が得られます。
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この回答へのお礼

ご回答くださってどうもありがとうございます。すいません、何度もお聞きして申し訳ないのですが、

>直線の場合、交点は高々1個しかありません。ですから(a)(b)が成り立っているなら、2本の直線
y=2tx - (t+1)^2

y=2(t+dt)x - (t+dt+1)^2
の交点は包絡線上にある。この交点を求めると
2tx -2(t+dt)x = (t+1)^2- (t+dt+1)^2
従って
<x,y> = <((t+dt+1)^2 - (t+1)^2 )/(2dt), 2tx - (t+1)^2>
がその交点です。交点のx座標はx=d((t+1)^2/2) / dt になってる。

ここから、どうやってdとtを消去して、y=(xの式)のようにするのでしょうか。tだけだったら普通にやればよいと思うのですが、2文字あるので、どうやって包絡線を求めればよいのかよくわかりません。

お礼日時:2001/09/28 01:05

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単純にp1p2=(x-x1,y-y1) をやって方向ベクトルをもとめ、x=x1+tl,y=y1+tmの公式にしたがってx=-1+3t,y=3-4tと方向ベクトルを求めていたのですけど、
今回はx-x1にあたる部分が題意を読んで何処なのかわかりませんでした。

題意のx=-3-2t、y=4+t (1)と(2)の式からx1の部分をー3、y1の部分を4とみるのでしょうか?
そうすると、x-x1、y-y1のx1とy1の部分はわかるのですけど、xとyが解らないので、引き算ができず、方向ベクトルが求まりませんでした。

答えをみるとl→=(-2,1)(1) m→=(-3、-4)(2)となってました。どうやったらこのように求まるのでしょうか?

問題3は手が付けられませんでした>_<

だれかこの問題詳しく教えてください、宜しくおねがいします!!>_<

問題1
直線 x=-3-2t、y=4+t ...(1) と直線 x=-3+3t, y=-7+4t....(2)のグラフを書き、その交点を求めよ。

問題2
直線(1)、(2)のなす角をΘ(0°≦Θ≦90°)とするとき、CosΘを求めよ。

問題3
直線(1)と(2)について、それぞれの方向余弦のうち、xの値が正であるものを求めよ。

⇔問題1はとけましたけど、問題2と3がわかりませんでした。

まず問題1は、x=-3-2t=-3+3s y=4+t=-7+4sとしました。sと置き換えたのは=とした時にtの値が同じとは限...続きを読む

Aベストアンサー

宿題かも知れませんが、きちんと自分でお考えのようなので。

(2)です。

直線(1)は、(x,y)=(-3,4)+t(-2,1)
直線(2)は、(x,y)=(-3,-7)+t(3,4)

と書けます。ということは、

直線(1)は、点(-3,4)を通って、ベクトル(-2,1)に平行な直線
直線(2)は、点(-3,-7)を通って、ベクトル(3,4)に平行な直線

ということなので、2直線のなす角θは、2つのベクトル(-2,1),(3,4)[←これって、それぞれの直線の方向ベクトルです。]のなす角と同じか、又は、「180°-なす角」です。すると、内積を考えて、

cosθ=(-2*3+1*4)/√(4+1)・√(9+16)
=(-2)/(5√5)
=(-2√5)/25

となります。cosがマイナスなので、θは90°よりも大きいことが判ります。今、0≦θ≦90°なので、求めたい値は、

cos(180°-θ)
=-cosθ
=2√5/25

となります。

答の中で、(2)の方向ベクトルを(-3,-4)としているのは、最初から0≦θ≦90°を考慮しているためです。

宿題かも知れませんが、きちんと自分でお考えのようなので。

(2)です。

直線(1)は、(x,y)=(-3,4)+t(-2,1)
直線(2)は、(x,y)=(-3,-7)+t(3,4)

と書けます。ということは、

直線(1)は、点(-3,4)を通って、ベクトル(-2,1)に平行な直線
直線(2)は、点(-3,-7)を通って、ベクトル(3,4)に平行な直線

ということなので、2直線のなす角θは、2つのベクトル(-2,1),(3,4)[←これって、それぞれの直線の方向ベクトルです。]のなす角と同じか、又は、「180°-なす角」です。すると、内積を考えて、

cosθ=...続きを読む

Q今回の普天間、辺野古問題は、鳩山内閣の迷走ぶりばかりがクローズアップさ

今回の普天間、辺野古問題は、鳩山内閣の迷走ぶりばかりがクローズアップされていますが、これを機会に日本の防衛問題を改めて考え直してみるという方向にはなら無いのでしょうか?

そちらの方が重要問題だと思います。

日本全体が、日本の防衛問題の方針をを分からずままに、あるいは分かろうとしないままに、騒いでるだけのようで、無責任もはなはだしい気がしますが。

Aベストアンサー

鳩山首相は素晴らしいと思います。「美味しんぼ」の作者雁屋哲氏のブログを読むと、愚民の日本人が魔女狩り言論で無責任に鳩山首相を叩いていると思うようになります。

鳩山由紀夫氏を攻撃するのは誰か
http://kariyatetsu.com/nikki/1228.php

敵を間違えるな
http://kariyatetsu.com/nikki/1240.php

Q≪問題≫実数x,y,zは関係式,x+y=2…(1),x^3+y^3+z^3

≪問題≫実数x,y,zは関係式,x+y=2…(1),x^3+y^3+z^3=8…(2)を満たす。
(1)x^2+y^2+z^2をzを用いて表せ。

(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)-3xyz=x^3^+y^3+z^3
の関係式を使ってみようかな。。。
って思ったんですが…できません^^;

どなたかよろしくお願いします。

Aベストアンサー

x^2+y^2+z^2をzで表すのだからx^2+y^2の部分が問題です。
x^2+y^2はx+yとxyで表せますね。
だから目標はxyをzで表すことです。

(1)が使えるように(2)を変形してみる。
(x+y)^3-3xy(x+y)+z^3=8
(1)を代入してみる。
2^3-3xy*2+z^3=8
xy=z^3/6
となった。

Qクローズアップレンズ

トイカメラのSharanを持っています。このカメラの焦点距離は1.2m~
∞です。マクロ撮影をしたいのですが、勿論、Sharan向けのクローズ
アップレンズはありません。それで、サイズの問題がありますが、
他のクローズアップレンズを使って撮影する方法は無いでしょうか。
お教え下さい。

Aベストアンサー

シャランの撮影範囲からすると,多分ピントの中心は2.4mあたりに来ているかと思います.(1.2m-∞は撮影距離で,レンズの焦点距離ではないです.ちょっと気になったので)
クローズアップレンズ自体の焦点距離(33-20cm)と比べると,この撮影距離(2.4m)は充分長く,クローズアップレンズを使ったときの撮影距離にはほとんど影響しないかと思います.
結果,撮影距離はクローズアップレンズの焦点距離程度になるかと.

Qx,yが2x^2+3y^2=1をみたす実数のとき、x^2-y^2+xy

x,yが2x^2+3y^2=1をみたす実数のとき、x^2-y^2+xyの最大値を求めよ


解き方を教えてください
よろしくお願いします

Aベストアンサー

x=cost/√2    (1)
y=sint/√3    (2)

とおくとx,yが2x^2+3y^2=1を満たす。
0≦t<2π     (3)

(1),(2)を
z=x^2-y^2+xy
へ代入,
倍角公式をつかって整理すると
z=5cos2t/12+√6sin2t/12+1/12
単振動の合成によって

z=√31sin(2t+a)/12+1/12 (4)

ここにsina=3/√31, cosa=√6/√31
aは0<a<π/4なる角度である。

(4)はsin(2t+a)=1のとき最大値(1+√31)/12をとる。
この時2t+a=π/2即ち
   t=π/4-a/2
このtは(3)の中に入っている。

(4)はsin(2t+a)=-1のとき最小値(1-√31)/12をとる。
この時2t+a=π3/2即ち
   t=π3/4-a/2
このtは(3)の中に入っている。

QDBに接続する時のオープンとクローズについて

VB.NET+ACCESSでWEBアプリケーションを作っております。
開発は特に問題がないのですが、少し疑問に思ったことがありますので、どなたかご存知の方がおられましたら教えてください。

DBに接続するとき、接続をオープンします。
この後で接続をクローズせずにアプリケーションを閉じるとどのような影響があるのでしょうか?
書籍などには必ずクローズをするようにと書かれていますが、その理由がよくわかりません。
どなたかご教授ください。

Aベストアンサー

Java,OracleでWEB開発をしています。

>接続をクローズせずにアプリケーションを閉じるとどのような影響があるのでしょうか?

徐々にパフォーマンスが落ちてきたり、ある時DB接続できなくなったりします(実体験)DB接続のオープン、クローズだけでなく Java の場合は ResultSet, PreparedStatement のクローズも行わないと問題が発生します。

あと#1さんの
>WEB系では、そのページでのDBへのコネクションは、ページが読み込み終了した時点でオブジェクトが解放されますので、自動的にクローズされていると思います。

Javaだとオブジェクト自体がガベージコレクションの対象になるだけで接続は保持されています。明示的にクローズしてやらないと最初に言ったような問題が発生します。

VB.NET+ACCESS の場合は実はボクはどうだか分かりません。(^^;
御参考までに。

Q線形です (1)を x+3y-2z=0 x-2y+4z=0 x^2+y^2+z^2=1をもちいて 答

線形です
(1)を
x+3y-2z=0
x-2y+4z=0
x^2+y^2+z^2=1をもちいて
答えが+-の答えになりました
(2)では外せきが8,-6,-5となり
おおきさの5ルート5で割ると
+-の答えにはなりませんでした
どちらが正しいのでしょうか?

Aベストアンサー

外積からでてきた単位べクトルは、外積の定義から、ベクトルa、bに垂直ですよね。
だからそれと正反対のベクトルも、ベクトルa、bに垂直な単位ベクトルだから、これも答えに入れれば
よいのです。つまり外積から出した単位ベクトルの各成分に(-1)をかけた成分のベクトルも答えに
なります。そしてこうして出した2つのベクトルは、先に内積で出した2つのベクトルと一致します。

Qwinクローズ時に異常発生しクローズ出来ない

win7、64ビット、マイクロソフトexplorer 12,
極最近ですがPCをクローズするべく通常の手順でクローズしようとしても、注意書きが表示されてしまいます。
(待機中) explorer.exe
 ログオフ時の音を再生しています。と表示されます。いくら待っても変化せず
強制終了を選ぶと→クローズするような表示に変化しますが「ログオフ」という表示で小さい丸印が
ぐるぐると回りますがエンドレスの如くに続きますので、PC電源を強制終了する事でやっと終了します。電源offによる強制シャットダウンは良くないのは理解していますが他の方法がわかりません。

問題解決の方法をどなたかご教示戴けませんか?

どうしてこうなったのかも見当が付きません。

 

Aベストアンサー

> 何故か急にPCの不具合が直り、元に戻りました。
>  情けないですが何が原因で直ったのか解って居ませんが
>  当分様子を見たいと思います。

下記とよく似た現象です。
自然復旧ということでしょうか。

シャットだうん時のメッセージ
http://oshiete.goo.ne.jp/qa/6745665.html

たまたまクローズ処理がうまくいったのだと思われます。
この例も、Windows 7 の現象ですね。
何かこれと共通点はないのでしょうか?

何か分かったら、後学のため補足願うと有難いです。

Q(1)半径rの円x^2+y^2=r^2と直線3x+y+10=0が共有点

(1)半径rの円x^2+y^2=r^2と直線3x+y+10=0が共有点をもつとき、rの値の範囲を求めなさい。
(2)円x^2+y^2=18と直線y=x+mが共有点をもつとき、定数mの値の範囲を求めなさい。
(3)半径rの円x^2+y^2=r^2と直線4x-y+17=0が異なる2点で交わるとき、rの値の範囲を求めなさい。
(4)円x^2+y^2=5と直線y=3x+mが接するとき、定数mの値の範囲を求めなさい。
(5)半径rの円x^2+y^2=r^2と直線x-3y-10=0が共有点を持たないとき、rの値の範囲を求めなさい。

解き方含め教えてください!!
お願いします。

Aベストアンサー

(1)
共有点を持つ、つまり実数解をもつということです。
実数解をもつということは、判別式DがD≧0となればよいのは分かりますね?
さて、何と何が実数解をもつかというと、x^2+y^2=r^2と3x+y+10=0ですね。
3x+y+10=0をy=-3x-10と変形して、これをx^2+y^2=r^2に代入して、xの2次方程式にしてD≧0を計算すればいいわけです。

(2)
同様に考えましょう。
y=x+mをx^2+y^2=18に代入してxの2次方程式にして、D≧0を計算すればmの値の範囲が分かるはずです。

(3)
異なる2点で交わる。つまり重解を持たずに実数解をもつ場合です。このとき判別式DはD>0となります。
他の考え方は一緒です。
4x-y+17=0を変形してx^2+y^2=r^2に代入し、その2次方程式の判別式DをD>0として計算するだけです。

(4)
接するとき、つまり重解をもつ時です。この時判別式DはD=0となります。

(5)
共有点を持たないときは、実数解をもたないときになります。
D<0ということです。


長くなりましたが、判別式の使い方さえ把握していれば全部同じ考え方で解ける基本問題ですね。

(1)
共有点を持つ、つまり実数解をもつということです。
実数解をもつということは、判別式DがD≧0となればよいのは分かりますね?
さて、何と何が実数解をもつかというと、x^2+y^2=r^2と3x+y+10=0ですね。
3x+y+10=0をy=-3x-10と変形して、これをx^2+y^2=r^2に代入して、xの2次方程式にしてD≧0を計算すればいいわけです。

(2)
同様に考えましょう。
y=x+mをx^2+y^2=18に代入してxの2次方程式にして、D≧0を計算すればmの値の範囲が分かるはずです。

(3)
異なる2点で交わる。つまり重解を持たずに実数解をもつ...続きを読む


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