「実数tが変化するとき、直線y=2tx - (t+1)^2 がとおりえる範囲を図示せよ」という問題なのです。定石はtの2次方程式として、実数条件より解くのだと思うのですが、包絡線で考えた場合、そのtの2次方程式に実数条件Dを使ったときに出てくる式がなぜ包絡線なのかよくわかりません。これは、直接考えるのではなくて、「tの2次方程式として、実数条件より解いた結果」から考察すると、その軌跡が曲線になるので、もとの直線 y=2tx - (t+1)^2 はその曲線の接線だということでしょうか。それと、問題文の直線 y=2tx - (t+1)^2 とこれに実数条件を使った y=x^ - 2x という式を連立すると、x=t+1 で接するということがわかると思うのですが、このx=t+1がx=3tでもx=4t+3でもtが変数なのだから、図示してみるとどれもy≦x^2 - 2x と同じ領域を表す図になると思うのですが、なぜこれは違うのでしょうか。

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A 回答 (16件中11~16件)

「判別式の結果から、経験的に放物線を思い浮かべて」或いは定石だの逆のナンとかだの、そういった受験数学テクニックの話をなさっているのであれば、以下無視してください。



一般に
「f(x,y,t)=0 を満たす実数tが存在するような、実数の対<x,y>の集合Aを求めよ。」
と言われれば、問題文そのまんま、
A = {<x,y> | ∃t(t∈R ∧ f(x,y,t)=0) }
で答になってる訳ですが、さらに「Aを媒介変数tを使わないで(x,yだけで)表せ。」と注文されている訳です。要するに「tを消去せよ。」ということ。
 tをある値に固定したときにf(x,y,t)=0が曲線や直線になっている、というのは問題の本質から言えばどうでも良いことです。
 例えば「yを固定してA(y) = {x| ∃t(t∈R ∧ f(x,y,t)=0) }を求める」というやり方でも構わない。
 包絡線で囲まれた領域がAであるなら、No.5でご紹介した方法で包絡線を求めるのも良い。
 まあ、好き勝手に攻めれば良いので、そうでなくては面白くも何ともないじゃありませんか。

tによる微分が全く無力である一例として
f(x,y,t) = x/y - [t]
は如何でしょう。ここに[t]は「tを越えない最大の整数」です。
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この回答へのお礼

「実数tが変化するとき、曲線y=x^2 + (t^2)x+t^2 がとおりえる範囲を図示せよ」
「実数tが変化するとき、直線y=2tx - (t+1)^2 がとおりえる範囲を図示せよ」という問題なのです。
-------------
ここについてなのですが、上の式をどうやったら下の式になるのでしょうか。2つの式の関係がわかりません。

-----------

 さて、問題にしている曲線がもし
(a) どこかで必ず包絡線と接していて、しかも
(b) パラメータtを微小に動かしたときにその交点も微小に動くのであれば、
パラメータtで決まる曲線とパラメータt+dt (dtは無限小)で決まる曲線との交点のうちの一つは包絡線上にあります。
 直線の場合、交点は高々1個しかありません。ですから(a)(b)が成り立っているなら、2本の直線
y=2tx - (t+1)^2

y=2(t+dt)x - (t+dt+1)^2
-----------
問題にしているのはどの直線なのでしょうか。
それと、2本の直線がどうやって出てきたのかわかりません。すいません、よろしくおねがいします。

お礼日時:2001/09/26 23:35

stomachmanさんの問題をやろう。


「実数tが変化するとき、曲線y=x^2 + (t^2)x+t^2 がとおりえる範囲を図示せよ」
これはもう逆の対応でやるしかない。
点(x,y)が題意の領域に属する
⇔点(x,y)についてy=x^2 + (t^2)x+t^2を満たす実数tが存在する。
⇔点(x,y)についてをy=x^2 + (t^2)x+t^2満たす実数解を持つ。
⇔tについて整理した t^2(x+1)+x^2-y=0が実数解を持つ。

x=-1のとき、y=1…(1)
よって実数解を持つ。

x≠-1のとき、判別式≦0で実数解を持つ。
D=0-(x+1)(x^2-y)≦0
⇔(x+1)(x^2-y)≧0

よって求める領域は
x<-1のとき、x^2≦y…(2)
-1<xのとき、y≦x^2…(3)

(2)式、(3)式と(1)式より、求める領域は、
x<-1のとき、x^2≦y
x=-1のとき、y=-1
-1<xのとき、y≦x^2

つまり問題によって解法を使い分けるということだね。
以上
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 ご質問の問題の場合には、tが幾らであっても直線が包絡線に接していて、接点は<t+1,2t(t+1) - (t+1)^2>である。

この接点の集合が包絡線です。包絡線は媒介変数tを使って x=t+1, y=2t(t+1) - (t+1)^2と書いても良いし、t=x-1ですからtを消去して y=2(x-1)x-x^2と書いても良い。
 これを改めて別の媒介変数s(ただしx=4s+3)を使って
x=4s+3, y=2(4s+2)(4s+3)-(4s+3)^2
と書いても一向に構いません。tとsは別物である。この点が混乱しているのでは?

以下蛇足ですが...

 No.3で仰っている通り、No.1の方法はおぼえるようなもんじゃありません。
なにしろさっぱり応用がききません。
「実数tが変化するとき、直線y=x + t^2 がとおりえる範囲を図示せよ」
という問題だったら、どうでしょう?
いやいや、元の問題の両辺にtを掛け算しただけの
「実数tが変化するとき、直線ty=2(t^2)x - t(t+1)^2 がとおりえる範囲を図示せよ」
ではどうですか?
相手が曲線でも手も足も出ない。例えば
「実数tが変化するとき、曲線y=x^2 + (t^2)x+t^2 がとおりえる範囲を図示せよ」

 さて、問題にしている曲線がもし
(a) どこかで必ず包絡線と接していて、しかも
(b) パラメータtを微小に動かしたときにその交点も微小に動くのであれば、
パラメータtで決まる曲線とパラメータt+dt (dtは無限小)で決まる曲線との交点のうちの一つは包絡線上にあります。
 直線の場合、交点は高々1個しかありません。ですから(a)(b)が成り立っているなら、2本の直線
y=2tx - (t+1)^2

y=2(t+dt)x - (t+dt+1)^2
の交点は包絡線上にある。この交点を求めると
2tx -2(t+dt)x = (t+1)^2- (t+dt+1)^2
従って
<x,y> = <((t+dt+1)^2 - (t+1)^2 )/(2dt), 2tx - (t+1)^2>
がその交点です。交点のx座標はx=d((t+1)^2/2) / dt になってる。
これは((a)(b)が成り立つなら)曲線がy=....という形で与えられていなくても言える事です。
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この回答へのお礼

お返事ありがとうござい増しす。

>No.3で仰っている通り、No.1の方法はおぼえるようなもんじゃありません。

そうすると、判別式の結果から、経験的に放物線を思い浮かべて、放物線を書くということで良いのでしょうか。

お礼日時:2001/09/26 03:17

変数…1方が1つ決まると他方も1つ決まる、つまり「伴って変わる」


2つ1組の数。
y=f(x)で言うとyが従属変数、xが独立変数という。

定数…変数以外の数
「伴わないで変わる」…任意定数(パラメータ、y=axのaなど)
「伴わないで変わらない」…与えられた定数(y=2x)

任意定数∋媒介変数であって、任意定数の意味は媒介変数だけではない。
ここを間違ってはいけない。

私はこのように習いました(教えてもらいました)。「いや、違うよ」という方もいると思いますが、おそらくそれは間違った指導だと思います。

次に下記ですが、
>「f(t)=2tx-(t+1)^2 -y のようにしてから、tで微分すると、…」
「=0」を忘れています。

私は下記のように書いていると思います。
「y=2tx-(t+1)^2…(1)の両辺をtで微分すると…」
ですからyを移項すると、
0=-y+2tx-(t+1)^2の両辺をtで微分すると、という風になるはず。
疲れてますね?

>「それと、微分するというのは、ある点の傾きを調べるということですよね。これは、接点を求めることとイコールなのでしょうか。」
tで微分すると書きましたが、結果を見るとtがない、つまりtを動かしきって求める領域の式だけになりましたよね。
解法のアプローチとしてはtの値を細かく「代入」して領域を推定することだよね。
しかし、いつまで経っても求める領域を表わすことは出来ない。それはtが全ての実数を動くからだ。だからこの場合tを動かす方法としては適当ではない。
だが「微分」を使ったら全てのtを動かせたのだ(実は平方完成でも出来る)。
これはどういうことか。つまり「微分」も文字を動かす道具ということだ。
(ある曲線の最大値を求めるという問題を思い浮かべてほしい。解くときに「代入」と「微分」を駆使している。)

逆のことやっているんだよね。
曲線y=x^2-2xの点x=t+1における接線の傾きを求める。⇔接線の方程式y=2tx-(t+1)^2を求める。

逆に、
直線y=2tx-(t+1)^2が曲線y=x^2-2xのx=t+1による接線の方程式であることがわかる。

しかし後者は逆の対応による解法をやっているのではない。tを直接動かしているからね。これはおそらくxで微分するのとtで微分することの違いだと思う。
それ以上は浅学な私では答えを出すことは出来ない。ごめんね。
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この回答へのお礼

ご回答してくださってどうもありがとうございます。
>定数…変数以外の数
「伴わないで変わる」…任意定数(パラメータ、y=axのaなど)
「伴わないで変わらない」…与えられた定数(y=2x)

今まで何もかもがごちゃ混ぜで混乱していたのですが、変数と任意定数などの違いを教えてもらえて良かったです。パラメーターも任意定数と考えれば理解がまします。

>私は下記のように書いていると思います。
「y=2tx-(t+1)^2…(1)の両辺をtで微分すると…」
ですからyを移項すると、
0=-y+2tx-(t+1)^2の両辺をtで微分すると、という風になるはず。

はい、すいません、私もそう思ったのですが、「x,yはtとは無関係だから、y=2tx-(t+1)^2=f(t)をそのままtで微分して・・・」のところの終わりの=f(t) が気になった物で。ちょっと混乱してきたのですが、
例えば、f(t)=3t^2 + 2t を微分すると、
f'(t)=6t + 2 になりますよね。これと、f'(t)=0を連立して、極値を求めると思うのですが、上のy=2tx-(t+1)^2 をtで整理して、2tx-(t+1)^2 -y =0
この方程式をf(t)とおいてf(t)=2tx-(t+1)^2 -yにしてから、微分するとf'(t)=2x-2(t+1)になると思うのですが、これは、上の式とどう違うのでしょうか。f(t)を導入したことが間違えなのでしょうか。

>逆のことやっているんだよね。
曲線y=x^2-2xの点x=t+1における接線の傾きを求める。⇔接線の方程式y=2tx-(t+1)^2を求める。
逆に、
直線y=2tx-(t+1)^2が曲線y=x^2-2xのx=t+1による接線の方程式であることがわかる。

すばらしい解法ですね。感激しました。これで以降の問題も解いていこうと思います。どうもありがとうございます。

お礼日時:2001/09/26 02:11

逆の対応による解法


点(x,y)が題意の領域に属する
⇔点(x,y)についてy=2tx-(t+1)^2を満たす実数tが存在する。
⇔点(x,y)についてy=2tx-(t+1)^2を満たす実数解を持つ。

⇔y=2tx-(t+1)^2をtについて整理した、t^2+(2-2x)t+1+y=0が実数解を持つ。
⇔D/4≧0より、(1-x)^2-(1+y)≧0
⇔x^2-2x≧y

となり、この場合はこの方法でも簡単に出来る。しかしtに制限がついた場合、判別式、軸、端点の値を考慮する必要。NO1で私が示した解は応用力があるので超おすすめなのだが無理して覚えなくても良い。

質問の意味がよくわからないんですが、この解法は別に包絡線のことを考えないで済むので悩む必要はないんじゃないですか?
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この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。

>質問の意味がよくわからないんですが、この解法は別に包絡線のことを考えないで済むので悩む必要はないんじゃないですか?

はい、この問題では、包絡線を考えないでよいと書いてあったのですが、仰るように「tに制限がついた場合、判別式、軸、端点の値を考慮する必要がある」場合は、包絡線の考え方を身につけた方が良いと書いてありました。下で御説明をしてくださったのが、一読してもよくわからなかったところがあるので、もう一度読んでみます。たしかに、私の書き込みから包絡線を考えるのは経験的な考え方ですね。

お礼日時:2001/09/25 00:00

<解説>


y=2tx-(t+1)^2…(1)は直線の方程式であることは言うまでもないと思う。
ちょっとここで反則なことさせてもらいたい。直線(1)は曲線y=x^2-2xのx=t+1での接線の方程式であることはわかるはずだ。このように直線の方程式で任意定数tがどこかについてあるものは必ずある曲線Cにある点で接するのである。私はtを直接動かすと言ったが上記のことをふまえた上で解いているのである。
つまり、tを含む方程式はある点x=g(t)(y=h(t)で考えた方が美しく解ける場合もある)で曲線Cに接するということを勘(ゴーストのささやき)で理解し、その接点を求め、接点のパラメーター表示から曲線Cを求めるということをやる。ここでは直線y=2tx-(t+1)^2がx=(t+1)で接するということまではわからないが、ある点で接するということはわかっているものとする。

L(t):y=2tx-(t+1)^2と置く。Lは接点Pで「ある曲線C」に接しているものとする。
tを微少量Δtだけ動かすとLはL’まで動き、Cとの接点はPからP’にに変わる。
さてLとL’の交点をRとする。Rは次の直線(1)と(2)の交点の座標である。
y=2tx-(t+1)^2=f(t)…(1)
y=2(t+Δt)x-(t+Δt+1)^2=f(t+Δt)…(2)

(2)-(1)より、yを消去、 ……………………………………………☆1
0=2Δtx-2Δt(t+1)-(Δt)^2
両辺をΔt>0で割って、
0=2x-2(t+1)-Δt
よって接点x=t+1+Δt/2=Rx…………………………………………☆2

接点y=2t{(t+1)+(Δt)/2}-(t+1)^2…(1)
   =t^2-1+tΔt=Ry
∴R{t+1+Δt/2,t^2-1+tΔt}…(3)
今、Δt→0とすると、L’→Lであり、同時にP’→P,R→Pとなる。

よって、(3)でΔt→0としたときの極限値は、……………………………☆3
R{t+1+Δt/2,t^2-1+tΔt}→P(t+1,t^2-1)であり、
点Pはある曲線Cの接点であるから、
C:(x,y)=(t+1,t^2-1)→C:y=(x-1)^2-1=x^2-2x
∴直線Lはx=t+1で曲線C:y=x^2-2xに接しつつ動く。

問題文より、tは全実数である。また曲線Cは下に凸の関数であるので、
求める領域は「y≦x^2-2x」 である。

<考察>
原理を説明すると、上記<解説>のようになるが、
☆1→☆2→☆3の流れをよく見てみると、

☆1:f(t+Δt)-f(t)を作る。

☆2:{f(t+Δt)-f(t)}/Δtを作る。

☆3:(limΔt→0)[{f(t+Δt)-f(t)}/Δt]を計算。

となっているよね。
つまり、x,yはtとは無関係だから、y=2tx-(t+1)^2=f(t)をそのままtで微分して、x=t+1…(あっという間に接点xが求まる)
よって、
P:(x,y)=(t+1,t^2-1)…(代入してあっという間に接点yもまとまる)
Pは曲線Cの接点。
よって、曲線C:y=x^2-2x…(あっという間に包絡線!)
後は同じ。

どうですか。簡単でしょう。
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この回答へのお礼

お返事してくださってありがとうございます。

><解説>
「・・・・・このように直線の方程式で任意定数tがどこかについてあるものは必ずある曲線Cにある点で接するのである。・・・・」

この部分についてなのですが、任意定数tは2次以上の式だから、曲線Cに接するんですよね。tが1次の場合は、包絡点になりますよね。

-------
つまり、x,yはtとは無関係だから、y=2tx-(t+1)^2=f(t)をそのままtで微分して、x=t+1…(あっという間に接点xが求まる) よって、
P:(x,y)=(t+1,t^2-1)…(代入してあっという間に接点yもまとまる)
Pは曲線Cの接点。 よって、曲線C:y=x^2-2x…(あっという間に包絡線!)
後は同じ。 どうですか。簡単でしょう。

わかりました!!上の式は丁寧に微分の過程を説明していただいていたのですね。文型なので、今までは、微分するというとは接線の式を求めることだけだと思っていたのですが、上のように軌跡も求められるんですね。教えてくださった考え方でいくと、疑問のひとつの「x=t+1 で接するということがわかると思うのですが、このx=t+1がx=3tでもx=4t+3でもtが変数なのだから、図示してみるとどれもy≦x^2 - 2x と同じ領域を表す図になると思うのですが、なぜこれは違うのでしょうか。」というのもわかりました。tを動かしていく方が理解しやすいですね。
--------

ところで、任意定数と変数の違いがわからないのですが。どう区別すればよいのでしょうか。
それと、
>x,yはtとは無関係だから、y=2tx-(t+1)^2=f(t)をそのままtで微分して、x=t+1…(あっという間に接点xが求まる)

の部分にについてなのですが、y=2tx-(t+1)^2をこのままtで微分すると、0=2x - 2(t+1) になってx=t+1が出てくると思うのですが、もし上の式を
f(t)=2tx-(t+1)^2 -y のようにしてから、tで微分すると、
f'(t)=2x - - 2(t+1) となって、普通のtの式になってしまうのですが、どう違うのでしょうか。
それと、微分するというのは、ある点の傾きを調べるということですよね。これは、接点を求めることとイコールなのでしょうか。

お礼日時:2001/09/25 00:49

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z=x^2-y^2+xy
へ代入,
倍角公式をつかって整理すると
z=5cos2t/12+√6sin2t/12+1/12
単振動の合成によって

z=√31sin(2t+a)/12+1/12 (4)

ここにsina=3/√31, cosa=√6/√31
aは0<a<π/4なる角度である。

(4)はsin(2t+a)=1のとき最大値(1+√31)/12をとる。
この時2t+a=π/2即ち
   t=π/4-a/2
このtは(3)の中に入っている。

(4)はsin(2t+a)=-1のとき最小値(1-√31)/12をとる。
この時2t+a=π3/2即ち
   t=π3/4-a/2
このtは(3)の中に入っている。

QDBに接続する時のオープンとクローズについて

VB.NET+ACCESSでWEBアプリケーションを作っております。
開発は特に問題がないのですが、少し疑問に思ったことがありますので、どなたかご存知の方がおられましたら教えてください。

DBに接続するとき、接続をオープンします。
この後で接続をクローズせずにアプリケーションを閉じるとどのような影響があるのでしょうか?
書籍などには必ずクローズをするようにと書かれていますが、その理由がよくわかりません。
どなたかご教授ください。

Aベストアンサー

Java,OracleでWEB開発をしています。

>接続をクローズせずにアプリケーションを閉じるとどのような影響があるのでしょうか?

徐々にパフォーマンスが落ちてきたり、ある時DB接続できなくなったりします(実体験)DB接続のオープン、クローズだけでなく Java の場合は ResultSet, PreparedStatement のクローズも行わないと問題が発生します。

あと#1さんの
>WEB系では、そのページでのDBへのコネクションは、ページが読み込み終了した時点でオブジェクトが解放されますので、自動的にクローズされていると思います。

Javaだとオブジェクト自体がガベージコレクションの対象になるだけで接続は保持されています。明示的にクローズしてやらないと最初に言ったような問題が発生します。

VB.NET+ACCESS の場合は実はボクはどうだか分かりません。(^^;
御参考までに。

Q線形です (1)を x+3y-2z=0 x-2y+4z=0 x^2+y^2+z^2=1をもちいて 答

線形です
(1)を
x+3y-2z=0
x-2y+4z=0
x^2+y^2+z^2=1をもちいて
答えが+-の答えになりました
(2)では外せきが8,-6,-5となり
おおきさの5ルート5で割ると
+-の答えにはなりませんでした
どちらが正しいのでしょうか?

Aベストアンサー

外積からでてきた単位べクトルは、外積の定義から、ベクトルa、bに垂直ですよね。
だからそれと正反対のベクトルも、ベクトルa、bに垂直な単位ベクトルだから、これも答えに入れれば
よいのです。つまり外積から出した単位ベクトルの各成分に(-1)をかけた成分のベクトルも答えに
なります。そしてこうして出した2つのベクトルは、先に内積で出した2つのベクトルと一致します。

Qwinクローズ時に異常発生しクローズ出来ない

win7、64ビット、マイクロソフトexplorer 12,
極最近ですがPCをクローズするべく通常の手順でクローズしようとしても、注意書きが表示されてしまいます。
(待機中) explorer.exe
 ログオフ時の音を再生しています。と表示されます。いくら待っても変化せず
強制終了を選ぶと→クローズするような表示に変化しますが「ログオフ」という表示で小さい丸印が
ぐるぐると回りますがエンドレスの如くに続きますので、PC電源を強制終了する事でやっと終了します。電源offによる強制シャットダウンは良くないのは理解していますが他の方法がわかりません。

問題解決の方法をどなたかご教示戴けませんか?

どうしてこうなったのかも見当が付きません。

 

Aベストアンサー

> 何故か急にPCの不具合が直り、元に戻りました。
>  情けないですが何が原因で直ったのか解って居ませんが
>  当分様子を見たいと思います。

下記とよく似た現象です。
自然復旧ということでしょうか。

シャットだうん時のメッセージ
http://oshiete.goo.ne.jp/qa/6745665.html

たまたまクローズ処理がうまくいったのだと思われます。
この例も、Windows 7 の現象ですね。
何かこれと共通点はないのでしょうか?

何か分かったら、後学のため補足願うと有難いです。

Q(1)半径rの円x^2+y^2=r^2と直線3x+y+10=0が共有点

(1)半径rの円x^2+y^2=r^2と直線3x+y+10=0が共有点をもつとき、rの値の範囲を求めなさい。
(2)円x^2+y^2=18と直線y=x+mが共有点をもつとき、定数mの値の範囲を求めなさい。
(3)半径rの円x^2+y^2=r^2と直線4x-y+17=0が異なる2点で交わるとき、rの値の範囲を求めなさい。
(4)円x^2+y^2=5と直線y=3x+mが接するとき、定数mの値の範囲を求めなさい。
(5)半径rの円x^2+y^2=r^2と直線x-3y-10=0が共有点を持たないとき、rの値の範囲を求めなさい。

解き方含め教えてください!!
お願いします。

Aベストアンサー

(1)
共有点を持つ、つまり実数解をもつということです。
実数解をもつということは、判別式DがD≧0となればよいのは分かりますね?
さて、何と何が実数解をもつかというと、x^2+y^2=r^2と3x+y+10=0ですね。
3x+y+10=0をy=-3x-10と変形して、これをx^2+y^2=r^2に代入して、xの2次方程式にしてD≧0を計算すればいいわけです。

(2)
同様に考えましょう。
y=x+mをx^2+y^2=18に代入してxの2次方程式にして、D≧0を計算すればmの値の範囲が分かるはずです。

(3)
異なる2点で交わる。つまり重解を持たずに実数解をもつ場合です。このとき判別式DはD>0となります。
他の考え方は一緒です。
4x-y+17=0を変形してx^2+y^2=r^2に代入し、その2次方程式の判別式DをD>0として計算するだけです。

(4)
接するとき、つまり重解をもつ時です。この時判別式DはD=0となります。

(5)
共有点を持たないときは、実数解をもたないときになります。
D<0ということです。


長くなりましたが、判別式の使い方さえ把握していれば全部同じ考え方で解ける基本問題ですね。

(1)
共有点を持つ、つまり実数解をもつということです。
実数解をもつということは、判別式DがD≧0となればよいのは分かりますね?
さて、何と何が実数解をもつかというと、x^2+y^2=r^2と3x+y+10=0ですね。
3x+y+10=0をy=-3x-10と変形して、これをx^2+y^2=r^2に代入して、xの2次方程式にしてD≧0を計算すればいいわけです。

(2)
同様に考えましょう。
y=x+mをx^2+y^2=18に代入してxの2次方程式にして、D≧0を計算すればmの値の範囲が分かるはずです。

(3)
異なる2点で交わる。つまり重解を持たずに実数解をもつ...続きを読む