物理学に強い人に質問です。 N^の固有値をn固有関数をとしてN^の固有方程式はN^ φ=nφ (φi

Question

物理学に強い人に質問です。

N^の固有値をn固有関数をとしてN^の固有方程式はN^ φ=nφ
 (φi,φj)=δi,jと規格化されている。
ただしN^=a^†a^
n=(φ,N^φ)から n≧0を示せ。
ただし、ブラケット記号は用いるな。

また、a^ φ=0を示せ。

a^φ(n)=√n φ(n-1)  a^†φ(n)=√(n+1)(φn+1)も使えません。

a^φ(n)=√nφ(n-1)  a^†φ(n)=√(n+1)(φn+1)は私の使用している参考書では次の問(√n、√(n+1)を決定する問題)になっていて、これは使えません。

ハット出力ができないため、累乗の記号^用いました。
また、添字の出力ができないため、φ(x)nと書くところをφ(n)と書きました。

よろしくお願いします。

rnakamra · Accepted Answer

n≧0を示すのは簡単で
n=(φ,Nφ)=(φ,a^†aφ)=(a^φ,a^φ)
=∫(a^φ)* (a^φ)dx (()*は()の複素共役)
=∫|a^φ|^2dx≧0

>a^ φ=0を示せ
これはn=0の固有状態をφとしたときの話ですか?
それなら上の式で∫|a^φ|^2dx=0となるのはa^φ=0である時に限られるのは明白。
もちろんn=0以外の場合の固有状態はそもそもa^φ=0にはならない。

fadklsj · Answer

**解答**

**1. $ n \geq 0 $ の証明**

演算子 $ \hat{N} = \hat{a}^\dagger \hat{a} $ の固有値方程式を $ \hat{N} \phi = n \phi $ とする。固有値 $ n $ は次のように表される：
$$
n = (\phi, \hat{N} \phi) = (\phi, \hat{a}^\dagger \hat{a} \phi).
$$
内積の性質 $ (\psi, \hat{A}^\dagger \chi) = (\hat{A} \psi, \chi) $ を用いると、$ \hat{A} = \hat{a} $ に対して：
$$
n = (\hat{a} \phi, \hat{a} \phi) = \|\hat{a} \phi\|^2.
$$
ノルムの定義より $ \|\hat{a} \phi\|^2 \geq 0 $ であるため、$ n \geq 0 $ が成り立つ。

**2. $ \hat{a} \phi_0 = 0 $ の証明**

$ n = 0 $ の固有状態 $ \phi_0 $ を考える。このとき：
$$
\hat{N} \phi_0 = 0 \cdot \phi_0 = 0.
$$
一方、$ \hat{N} = \hat{a}^\dagger \hat{a} $ より：
$$
\hat{a}^\dagger \hat{a} \phi_0 = 0.
$$
ここで $ \hat{a} \phi_0 = \psi $ とおくと、$ \hat{a}^\dagger \psi = 0 $。この両辺と $ \psi $ の内積を取ると：
$$
(\psi, \hat{a}^\dagger \psi) = (\hat{a} \psi, \psi) = \|\psi\|^2 = 0.
$$
したがって $ \|\psi\|^2 = 0 $ より $ \psi = 0 $、すなわち：
$$
\hat{a} \phi_0 = 0.
$$

**結論**  
固有値 $ n $ は非負であり、特に $ n = 0 $ の固有状態 $ \phi_0 $ に対して $ \hat{a} \phi_0 = 0 $ が成り立つ。

fadklsj · Answer

AI回答のコピペ
－－－－－－－－－－－－－－－－
解答

n≧0を示す

与えられた式 n=(φ,N^φ) に N^=a^†a^ を代入すると、
n=(φ,a^†a^φ)
となります。内積の性質 (φ,A^ψ) = (A^†φ,ψ) を用いると、ここで A^=a^† と考えると、(a^†)†=a^ より
n=((a^†)†φ,a^φ) = (a^φ,a^φ)
となります。ここで、波動関数ψに対する内積 (ψ,ψ) は、ψ(x) を位置表示での波動関数とすると、(ψ,ψ) = ∫ψ*(x)ψ(x)dx = ∫|ψ(x)|^2 dx で定義されます。
したがって、n = (a^φ,a^φ) = ∫|(a^φ)(x)|^2 dx となります。
| (a^φ)(x) |^2 は常に非負の実数であり、その積分も非負となるため、n≧0 が示されます。

a^φ=0を示す

N^の固有値方程式 N^φ=nφ に a^ を左から作用させると、
a^N^φ = a^(nφ) = n(a^φ)
となります。
ここで、交換関係 [N^,a^] = N^a^ - a^N^ = -a^ 、すなわち N^a^ = a^N^ - a^ を用いると、
N^a^φ = (a^N^ - a^)φ = a^N^φ - a^φ
となります。
固有値方程式 N^φ = nφ を代入すると、
N^a^φ = a^(nφ) - a^φ = n(a^φ) - a^φ = (n-1)(a^φ)
となります。
したがって、もし a^φ ≠ 0 ならば、a^φ は N^ の固有値 (n-1) に対応する固有関数となります。

今、n は N^ の固有値であり、n≧0 であることが示されています。
もし n が N^ の最小の固有値であると仮定します（基底状態に対応する固有値）。
上記の議論から、もし a^φ ≠ 0 ならば、n-1 も N^ の固有値となります。
しかし、n が最小の固有値であると仮定しているので、n-1 は固有値ではないか、あるいは n-1 ≧ n でなければなりません。
n-1 ≧ n は明らかに矛盾なので、n-1 は N^ の固有値ではないと考えられます。

ただし、固有値は非負であることがわかっているので、固有値は下限を持ちます。
最小の固有値を n_0 とし、対応する固有関数を φ_0 とします。N^φ_0 = n_0 φ_0。
もし a^φ_0 ≠ 0 であれば、a^φ_0 は固有値 n_0 - 1 の固有関数となります。
しかし、n_0 が最小の固有値なので、n_0 - 1 は固有値ではないか、あるいは n_0 - 1 ≧ n_0 でなければなりません。
n_0 - 1 < n_0 なので、n_0 - 1 は固有値ではないと考えるのが自然です。
しかし、固有値は非負なので、もし n_0 - 1 ≧ 0 ならば n_0 - 1 は固有値となり、n_0 が最小固有値であることに矛盾します。
したがって、n_0 - 1 < 0 であるか、または a^φ_0 = 0 でなければなりません。

もし n_0 が最小の非負の固有値であるならば、a^φ_0 ≠ 0 と仮定すると、a^φ_0 は固有値 n_0 - 1 の固有関数となり、n_0 - 1 も固有値であるならば、n_0 の最小性に矛盾します。
特に、最小の非負固有値が存在する場合、それよりも小さい非負の固有値は存在しないはずです。
もし最小の非負固有値が n_0 = 0 であれば、固有値は非負なので、これより小さい固有値は存在しません。
このとき、a^φ_0 が固有値 n_0 - 1 = -1 の固有関数となる可能性が考えられますが、固有値は非負なので、固有値が -1 となる固有関数は存在しません。
したがって、a^φ_0 ≠ 0 という仮定が誤りであり、a^φ_0 = 0 でなければなりません。

よって、最小の固有値に対応する固有関数 φ に対して、a^φ = 0 が成り立ちます。
最小の固有値は n_0 = 0 であることも導かれます。
実際、a^φ_0 = 0 ならば N^φ_0 = a^†a^φ_0 = a^†(0) = 0 = 0φ_0 となり、固有値は 0 となります。

結論

n≧0 であること、および基底状態の固有関数φに対して a^φ=0 であることが示されました。

補足
上記の議論では、最小の固有値が存在することを暗黙のうちに仮定しています。
より厳密には、固有値の下限が存在することから議論を進めるべきですが、物理的な状況を考えれば最小固有値の存在は自然に受け入れられるでしょう。
また、規格直交性 (φi,φj)=δi,j は、異なる固有値に対応する固有関数が直交することを示唆していますが、今回の議論では直接的には用いませんでした。
しかし、固有関数が規格化されていることは、内積 (φ,φ) が有限の値を持つことを保証し、議論の前提となっています。

物理学に強い人に質問です。 N^の固有値をn固有関数をとしてN^の固有方程式はN^ φ=nφ (φi

n≧0を示すのは簡単で

**解答**

AI回答のコピペ

似たような質問が見つかりました

このQ&Aを見た人はこんなQ&Aも見ています

関連するカテゴリからQ&Aを探す

このQ&Aを見た人がよく見るQ&A

デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング

マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング

解答