相対性理論マイケルソンの実験の謎その４

Question

再度ですが、マイケルソンの実験で図１の斜めの光線部分なんですが、
もしレーザーであった場合こうならないとおもいますが？
つまり、光源から出た光線は二通りのルートはとらない・・・

窪田さんもそう書いています。
どう考えますか？


■参考
今までの質問
１～３
https://oshiete.goo.ne.jp/qa/14048108.html
https://oshiete.goo.ne.jp/qa/14049461.html#ad1
https://oshiete.goo.ne.jp/qa/14049480.html

rnakamra · Accepted Answer

#12です。

これまでの内容で、動く鏡で反射された光の入射角と反射角は異なることがご理解いただけたと思います。

ここからが本題です。
このように作図した角度のずれが、実際に質問者の最初の図に書いた傾きと一致するのか、について検証します。

その前準備として、#12の図に1本線を引きます。
AB'C"を通る直線を引きこれをLと名付けます。
そうするとこの図は静止した面Lでの光の反射をホイヘンスの原理から説明した図に変わります!!そう、面Lに対しては入射角=反射角になるのです。

ということは面lと面Lのなす角θを求めれば、求める傾きの鉛直方向からの角度は2θとなります。質問にある右の図ではsin2θ=v/cとなります。
(入射角がθ増え、反射角がθ増えるのですから、入射光と反射光のなす角は2θ増えます)
ということはθを求めればよいことがわかります。

ここで面lの移動速度をv(これは入射光と同じ向きです)、入射光の幅(#12の図のACの長さ)をwと置きます。
さらにCC"とlとの交点をDとします。
時間Tの定義を#12と同じとします。

では△ADC"の各辺の長さを求めます。

AD:これは簡単ですね。ACの√2倍、つまり(√2)wです。
DC":時間Tでの平面lの移動距離ですね。つまりはvTです。
AC":△ACC"が∠ACC"=90°の直角三角形であることから計算します。
AC=w,CC"は時間Tでの光の伝達距離ですからcTです。
以上のことからAC"=√{w^2+(cT)^2}

次に∠DAC"=θに対して余弦定理を使いcosθを求める。
cosθ=(AD^2+AC"^2-DC"^2)/(2*AD*AC")
={2w^2+w^2+(cT)^2-(vT)^2}/[2*(√2)w*√{w^2+(cT)^2}]
={3w^2+(cT)^2-(vT)^2}/[2*(√2)w*√{w^2+(cT)^2}]

最終的に欲しいのはsin2θであるので(この値がv/cになってほしい)、sinθも求める。

そのあとsin2θ=2*sinθ*cosθを計算してそれがv/cに一致するか確認する。

後の計算は質問者でやってみましょう。
はたして正しい答えとなるか?

rnakamra · Answer

#11です。
先ず、
>レーザーのような場合は、どう考えますか？
平面波ではない場合です。

何をぼけているんですか?
レーザーは平面波ではないのですか?
あなたの平面波に対する認識が間違っています。

で本題に入ります。

ホイヘンスの原理で動いている鏡での反射の説明をします。
添付する図を見てください。
入射波は赤で記載しています。
黄色の線ABCがこの入射波の同一時刻での波面になります。
この面は必ず入射波の進行方向と垂直になります。
で、この入射波がA点に到達した時刻を0,C"点に到着した時刻をTとします。
当然CC"=cTとなります。
でB点はACの中点とし、B点を通る光が反射面とぶつかる点をB'とします。
BB'=CC"/2=cT/2となります。
質問者が最後に示している図2のbに当たる部分がBB'です。

ではC点を通った光が反射面に到達する時刻Tの時のC"点と同一位相になる点がどこになるか考えます。
A点を通る光は時刻0で反射面にいますので、A点を中心とした半径cTの球面まで進みます。この断面がSaの円です。この球面上が時刻TにおけるC"点と同位相の面です。
時刻0にB点を通る光はそのまま直進し(他の方向の光は平面波の他の点からの光と干渉して強度が0になり無視できます)、時刻T/2でB'点に到達します。
時刻TにはB'点から距離cT/2だけ移動した点が時刻TにおけるC"との同位相面となります。この面の断面がSbの円であり、その半径はcT/2となります。

C"点からSa,Sbに対して接線をひくと直線A"B"C"になります。この直線上で光は同じ時刻で同一位相となります。これが反射光の波面です。

添付してある図では入射角が45°となるように書いてありますが、反射角は45°よりも大きくなることがわかります。

以上の議論に波長という言葉は一切出てきません。
反射の角度は波長に依存しないのです。

後お礼に対して
>＞bが長くなるとそれに合わせてcも長くなります
ーー＞
bが長くなるとそれに合わせてcはみじかくなるんでは？

そこは#10での説明が間違っていました。ということでの修正です。
私の図でいうところのBB"が質問者の図2の右側のbに当たるのですが、この長さは質問者の図2の左側の図のb(私の図でいうところのB点からの線が反射面lと交差する点との距離)よりも大きくなります。
質問者の図2の右側のcに当たるのはB'B"の長さであり、これはBB'と等しくなります。

なお、BB'とB'B"の距離が等しくなるのはB点を線分ACの中点としているためであり、それ以外の点とした場合は等しくなりません。そしてSbが直線ACに接するのはB点が線分ACの中点である場合に限ります。

rnakamra · Answer

#10です。

ちょっと修正。
>なりません。
鏡が動いてもa=b+cです。そうしないと同位相になりません。bが長くなるためcつまりは同一位相の球面の半径が小さくなります。

ここは結論は変わりませんが説明が間違っているので修正します。
bが長くなるとそれに合わせてcも長くなります。
そしてaがそれ以上に長くなります。それでa=b+cが維持されます。

rnakamra · Answer

#9です。

補足に対して。
>鏡が動いたとき、
ａ＜ｂ＋ｃ
となります。

なりません。
鏡が動いてもa=b+cです。そうしないと同位相になりません。bが長くなるためcつまりは同一位相の球面の半径が小さくなります。
(反射面に届くまでの時間が長くなるため、動ける距離が短くなるのです。)

>波面は波長によって全く異なるんです。

波面とはあなたが追記した図2のどの面を指すかわかりますか?
球面ではありませんよ。図2では直線となります。
あと、球面の半径は波長と全く関係がありません。例えばAを中心とする球の半径は左図のBDの長さと同じというだけで波長とは全く関係しないのです。
ですので、波長が長かろうが短かろうが図は全く変わりません。
球面は波面ではなく、単なるある時刻(左図の場合、B点に光が到着した時刻)における同一位相の点の形成する面にすぎません。
何度も言いますが、球の半径は波長と全く関係しません。

rnakamra · Answer

#7です。

まずは補足に対して
>ホイヘンス原理による反射理論では、波長により反射波の波面角度は変わりませんか？
BC間の位相差は波長によって異なるから・・・
どうだろうか？

ではホイヘンスの原理に基づく反射の法則の説明を見てみましょう。
https://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/physics/high-school_index/wave/henkan-tex.cgi?target=/math/physics/high-school_index/wave/wave_reflection.html

この内容で波長に関することがどこに言及されていますか?
波長は全く関係しません。
屈折の説明と勘違いしていませんか。
屈折の場合は材質による波長の違いがある点を波源とする同位相の点の集合体である球面の半径に現れるため波長依存性が出てきますが、反射の場合は材質はどこでも均一であるため波長依存は全く出てきません。そのため反射の法則に波長依存性はありません。
鏡が動いている場合でも同様です。

次にお礼に対して。
>わかるけど、
そうではなく、BとCの反射波の位相関係がいろいろ変わってしまうということ。
鏡の移動により、Bの位相は大きく変わる。
めちゃくちゃ、という意味はｖｔの距離で位相が大きく変わるということ。
この位相関係で反射波の波面は決まると思う。そう思わないですか？
光の波長とｖTの関係・・・

ホイヘンスの原理での反射の法則の説明を全く理解していませんね。
ホイヘンスの原理での説明で重要なのは、各時刻での同位相面がどのような面であるかということです。同じ時刻での点、ということが重要です。
質問者が#6の補足に示した図でいうところのB点とC点の位相差など問題ないのです。B点での位相を考えるのであれば、C点を波源とする同じ時刻での同一位相の点を結び付けて考えないといけないのです。同一光源から出た光の同じ時刻での同一位相面だけを考えればよいのです。
光源から同じ時刻から出た光ががB点とC点を通る時刻は異なるため、そんなものは無視してよいのです。

＞B点どC点が同位相であれば
ーー＞
実際は大きく異なるんでは？
だから、静止していてもホイヘンス原理は成り立つのか？？？

質問者は回答をちゃんと読んでいるかはなはだ疑問です。
B点とC点が同位相だったら、そもそも入射光の進行方向が違うといっているのです。つまり、そんなこと成り立ちません。

>ーー＞
うーーん・・・
波長λに関係なく、BC間の位相差２πｖT／λで反射方向は決まる、ですか？

違う。反射方向を決めるのは入射光がB点に到達したとき、C点で発生した波面のうちB点と同一位相にある点がどこにあるのかということだけです。そこに関与するのは波長ではなく、C点に到達した時刻とB点に到達した時刻の差とその間に光がどれだけ移動したのか、ということだけです。

masa2211 · Answer

質問の本体に対する回答。
レーザーとは。
1.特定波長のみ。（電球や太陽光は各種波長の混合。）
2.指向性がある。
ただ、指向性の実現方法は、スリットで細く絞る。
つまり、望遠鏡の十字線と同じ。（十字線は、特定方向だけ見えない。）

結論
普通の光であってもレーザーであっても、反射に関しては何も変わらない。

で、そもそも意味がわからない部分。
マイケルソン実験というのは、ニュートン力学の立場から光の運動を述べたもの。で、結果的にニュートン力学NGとなったわけですが.....
相対性理論に懐疑的なのにニュートン力学にイチャモンつけてるのは何故なのか？もともとニュートン力学に懐疑的なら意味は分かるんだけど、ニュートン力学が正しい前提で相対性理論に懐疑的な立場の人がニュートン力学にイチャモンつけるのは、ホント、意味わからん。（窪田さんも同じ。）

次に、誤解の根源ですが、
質問文の図1、右が静止系（＝鏡が動く）、左が運動系と考えているんでは？
そうではなくて、
静止系の記述において、右が鏡が動いているとき、左が鏡が静止系に固定されているとき。つまり、全くの別状態なので、当然経路は一致しない。

あと、これも変。
＞TをC点下部に光線が到達した後、上部の光線がB 部分に到達する時間
＞とすれば、
＞Ｔ＝Ｌ／（ｃーｖ）
この文章は、鏡が右へ動いていて、Bの位置の鏡までの到達時間を求めているように思える。
それなら以下が正。
・Ｔを、光線が発射されてからCに到達するまでの時間とすれば....
質問文では、鏡で反射後と言っているが、計算式は反射までのことを書いている。
あと、イチャモンの付け方も変。
Bまでの往復時間とCまでの往復時間を比べないとまずいところ、Cまでの往復時間の記述が無いのに騒ぎ立てるのは記述不足なのでオカシイし、
（マイケルソン実験（ニュートン力学解釈）では、Cまでの時間はＴ＝Ｌ／ｃではない。Ｌ／（ｃーｖ）でもない。）
マイケルソン実験（ニュートン力学解釈）は、BとCの時間は異なると言っているので位相がずれるのと同義。一方窪田さん理論ではBとCの時間はズレないので位相はズレないことに。

結局は
相対性理論に懐疑的なのにニュートン力学にイチャモンつける
ということから、わけわかんない状態になっています。

rnakamra · Answer

＃６の補足に対して

まず一番の問題は
>Ａの移動によるB,C間の位相関係はめちゃくちゃである。

あなたはホイヘンスの原理を使った反射の法則の説明を全く理解していない。
B点とC点での位相が同じわけないでしょ。たとえ鏡が静止ていていたとしても同位相ではない。
(同位相面の法線方向が光が進行する向きである。もし、B点どC点が同位相であれば光の進行方向はBC面に垂直な方向であり、質問者の図で右下45°の方向となる。
でも図を見ると光線は水平右向きに入射している。これは完全に矛盾である。)

C点を波源とするB点と同じ位相の点は同じ時刻の点、つまり、C点を出てからT経過した点である。つまり、C点を中心とした半径cTの球面である。
反射波の進行方向はこのような球面を鏡の面内全てで作成した時の球面の包絡平面の法線方向となる。で、そのような包絡平面はC点から直径cTの球面に接し、B点から右にvT離れた点を通る平面となる。
cT>vTであることから図に書き込むとC点を中心とした半径cTの級の断面となる円はB点を通り水平な直線とC点を通り鉛直な直線の交点よりも上を通る。そのような円にB点の移動先から接線を引けば水平よりもちょっと左側が上になるように傾く。
反射光の進行方向はこの垂線の法線方向であるから、上から少し右に傾いた方向になります。

それ以外だと
>Ｔ＝Ｌ／（ｃーｖ）≒Ｌ／ｃ

こんな横着しちゃダメ。この近似は高速がほぼ無限としているようなもの。
この式を使うとガリレオ変換で計算した場合と全く同じ結果になる。
実際の反射をイメージできるほどの角度のずれを生じる場合、vの大きさはcと比較してもさほど極端には小さくならない。だから上記の近似はしてはいけない。

あと別の補足に対して
>反射角の違いは、波長によっても違いますよね？
光路差と波長の関係から・・・

そんなわきゃねーだろ。
それこそあなたが言っている
>鏡も光線も同じであるのに、観測者によって反射角が変わる？

が波長の違いで起こるということになる。
白色光を入射して同じ実験をした場合、動いている系から見るとプリズムのように色が分かれて見えるのか?おかしいと思わない?
もちろん、干渉縞にはいろがつきます。それは波長が違うため同じ光路差でも位相差が異なるためそうなるのが当然である。

rnakamra · Answer

#5です。
>その反射角の違いはこの実験と一致していますか？
超高速のプラズマにレーザーを当てた時の反射の測定ではこの補正を行うそうです。

>ホイヘンスの原理はレーザーのような波面の小さい場合、成り立たないのでは？
それほど集光度の小さいビームの場合、当然ながらホイヘンスの原理は成り立ちません。当然ながら反射というよりも散乱されてしまいます。
散乱ですから反射の法則そのものが成り立ちません。

>鏡も光線も同じであるのに、観測者によって反射角が変わる？
反射角が変わると、光線の到達点が変わる。
到達点は観測者には依存しないからおかしいのでは？

光が無限の速度を持てば到達点は変わらないでしょうが、光の速度が有限である以上、光の到達までには時間がかかるため、到達点は移動します。
例えば、質問者の図の左側で考えると、上にあるミラーの中央で反射しています。
ミラーに対して動いている系から見ると、1枚目のミラーで反射されてから2枚目のミラーまで到達するまでの時間で2枚目のミラーも動いているため、その分斜めに移動しないといけない。

もしかすると質問者は次のような状況を考えているのかもしれない。
この光学系全体に埃が舞っていてその光路が散乱で光って見えるような状態を動いている系から見た場合を考える。
ある瞬間にとてつもなく速いスピードで写真を撮るとどのように映るか?
これは質問者の図の左側のように映ります。

こうすると反射光は入射角=反射角で反射していると思うだろう。
だが、これは考え方が間違っている。
写真に写っている光の筋の各点での光は、おおもとの光源から発射されている時刻が異なるということを忘れている。つまりはこの各光点は別々の光の先端の集合であり、同じ光源を同時に発射された光ではないのだ。
なお、当然のことながら、この別々の光点の光はディテクターにたどり着く時刻が異なるため干渉しない。当然干渉縞には影響しない。

実際の光の反射経路を確認するには、埃の舞っている空間に強力なパルス光を一発放つ。この光跡を動いている系から見ると反射光が斜めに向かっているのが見える。

rnakamra · Answer

#4です。
>球面波ではなく光線よ！
ホイヘンスの原理での反射の法則の証明を見たことないのですか?
通常は平面波の反射を証明しています。
平面波であろうと、各点を源とする球面波としてとらえる、というのがホイヘンスの原理です。ビームであろうとそれは変わりません。

>静止系との関係は
鏡に対して静止している系から見たらホイヘンスの原理から
入射角=反射角
となります。

相対的に動いている系から観察すると反射面がが動いているため今回のように反射面が光の進行方向成分が正となるように動くときは
入射角<反射角
となることがホイヘンスの原理から示せます。

実際に相対速度が光速と比べても小さいとは言えない状況においては
入射角=反射角
は成り立たないのです。

他の質問で言っているようなビームの広がりとかではなく、単純に反射しているビームの角度が変わるのです。

rnakamra · Answer

反射の法則というものをもう少し深く考えましょう。

入射角と反射角が等しくなることはホイヘンスの原理から説明されますが、動く鏡に対してホイヘンスの原理を適用すると入射角と反射角は等しくならないことが簡単に導けます。

相対性理論 マイケルソンの実験の謎 その４

#12です。

#11です。

#10です。

#9です。

#7です。

質問の本体に対する回答。

＃６の補足に対して

#5です。

#4です。

反射の法則というものをもう少し深く考えましょう。

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