【数学の問題】男女4vs4の合コンでカップルが成立するパターンは何通り？

Question

男男男男
　 VS
女女女女

このような合コンで、カップルが成立するパターン数（組み合わせ）を知りたいです。※誰も成立しないパターンや一部しか成立しないパターンも含めた数を知りたいです。

よろしくお願いします。

ありものがたり · Accepted Answer

4人ｖｓ４人 で 4 組できるカップルの組み合わせは、
各男性がどの女性とカップルになるかを考えて 4! = 24 通り。

3人ｖｓ3人 で 3 組できるカップルの組み合わせが
同様に考えて 3! 通りなので、
4人ｖｓ４人 で 3 組できるカップルの組み合わせは、
どの 3 人がカップルに含まれるかを考慮して総数 (3!)(4C3)^2 = 96 通り。

同様に、
4人ｖｓ４人 で 2 組できるカップルの組み合わせは、(2!)(4C2)^2 = 72 通り。
4人ｖｓ４人 で 1 組できるカップルの組み合わせは、(1!)(4C1)^2 = 16 通り。

MadSientist · Answer

4✖️4=16通り

kamiyasiro · Answer

プロポーズ大作戦っていうTV番組のフィーリングカップル５vs５を思い出しました。

８クイーン問題の亜流？それより簡単でしょうか。

ならば、セパ交流戦の一晩の組合せのパターン数みたいな？つまり対戦を消化するのに何日かかるか、という問題ですね。

これだと、対戦カードを一定回数に制限する必要があるから、カークマンの女子学生散歩問題に近いのでしょうか。ただ、３人１組でなく２人１組ですがね。

ところが、この問題では例えばAaが何度出現しても良いのだから、もっと簡単ですね。

実務で考えると・・・

実験計画法の一様計画の配置問題と同じですね。縦に射影しても横に射影しても、一様分布になっているという配置。

あるいは、ブリジストン、ヨコハマ、ダンロップ、トーヨーの４社のタイヤが１本づつあって、テスト車両の各位置に取り付けて摩耗テストを行う時、何通りの装着パターンがあるか、という問題ですね。

４組全て生成しないときは、ダミーのタイヤ１本が４箇所のどこかに加わると考えて、４社全てをテストすることを考えればよい。だからパターンが増えるんですよね。

見落としを避けるためには列挙でなく、No.4様のように式で考えるべきだと思います。

No.4様、素晴らしい。

ありものがたり · Answer

また丸コピがわいているな。

戸愚呂妹 · Answer

男性4人、女性4人の合コンでカップルが成立するパターンを求めます。
「誰もカップルにならない」「一部だけカップルが成立」「同性同士のカップルも成立する」すべてのケースを含めます。

ステップ1: 男女のペアを作る方法
まず、4人の男性と4人の女性を1対1でペアを作る方法を考えます。この部分は変わりません。

男性4人と女性4人をペアにする方法は、4!（24通り）です。

ステップ2: 各ペアがカップルとして成立するか
男女のペア（男性×女性）が成立するかどうか： 2通り（成立するか、しないか）
男性同士のペアが成立するかどうか： 2通り（成立するか、しないか）
女性同士のペアが成立するかどうか： 2通り（成立するか、しないか）

ステップ3: カップル成立パターン数
4人の男性から、2人がカップルとして成立するか否か（2通り）
4人の女性も同様に、2通りで成立の有無を判断
最終的なパターン数は、次の通りです：

(24)×4!=16×24=384

したがって、男女4名、女性4名の合コンで、カップルが成立するパターン数は384通りです。

kairou · Answer

＞29が正解ですか

具体的には どんな組み合わせになりますか。
実際に 書き出してみたら。
男子を A,B,C,D ；女子を a, b, c, d とする。
① 1つも 成立しない ・・・１通り。
② １組だけ成立 ・・・(A,a);(A,b);(A,c);(A,d) 、
　　　　　　　　　B, C, D も同様ですから 4x4=16 で 16通り 。
③ ２組 成立 ・・・男子の A,B だけが決まる ・・・
　　　　　　　　　女子は a,b ; a,c ; a,d ; b,c, b,d ; c,d の６通りで、
　　　　　　         逆の組み合わせもあるから 全部で 12通り。
　　　　　　　　　男子は 後 A,C ; A,D ; B,C ；B,D ; C,D も同じで、
　　　　　　　　　全部で 6x12=72  で 72通り。
④ ３組成立 ・・・男子と女子の 一人だけが 決まらない。
　　　　　　　　　他の３人は決まるので ② と同じ様に考えて、
　　　　　　　　  ３人同士が 成立するのが 6通り。
　　　　　　　　　決まらないのが 男女４人づつですから、16通り。
　　　　　　　　　全部で 6x16=96 で 96通り。
⑤ 4組 全部成立 ・・・A は a,b,c,d のどれかですから 4通り。
　　　　　　　　　　 B は 残りの 3人の 誰かですから 3通り。
　　　　　　　　　　C は 更に 残りの 2人の どちらかですから 2通り。
　　　　　　　　　　D は 残りの1人ですから 1通り。
　　　　　　　　　　全部で 4x3x2x1=24 で 24通り。
従って、総計で 1+16+72+96+24=209 で 209通り。

tknakamuri · Answer

一組もカップルが成立しない。　
　1通り。
1組カップルが成立する。
　それぞれ一人選んで順列で組み合わせを決めるので
  #男の順番を固定し、女の順番を順列で動かして
  #同じ位置の男女を娶わせる。
　4C1×4C1×1P1 = 16通り

同様に
2組カップルが成立する。
　それぞれ２人選んで順列で組み合わせを決めるので
　4C2×4C2×2P2 = 72通り
3組カップルが成立する。
　それぞれ３人選んで順列で組み合わせを決めるので
　4C3×4C3×3P3 = 96通り
4組カップルが成立する。
　それぞれ４人選んで順列で組み合わせを決めるので
　4C4×4C4×4P4 = 24通り

以上から 1 + 16 + 72 + 96 + 24＝209

ありものがたり · Answer

＞ 誰が「お願いします」をしたかは考えません。
＞ 結果的な組み合わせの数を知りたいです。
＞ 29が正解ですか？

いや、だから No.4

それとも、24 + 96 + 72 + 16 か
　　　　24 + 96 + 72 + 16 + 1 が答えてほしかったのかな？
29通りではないよ。もっとある。

ありものがたり · Answer

＞ 誰も成立しないパターンを含めると何通りになりますか？

誰も成立しないパターンは 1 通りだけど...
ひょっとして、誰が誰に「お願いします」したかを
別パターンとして数えろって言ってる？

ありものがたり · Answer

同性のカップルも許すなら
４ 組できる組み合わせは (8C2)(6C2)(4C2)(2C2)/(4!) = 105 通りだけど、
最近の学校教育って、そこまで行っちゃってるの？

【数学の問題】男女4vs4の合コンでカップルが成立するパターンは何通り？

4人ｖｓ４人 で 4 組できるカップルの組み合わせは、

4✖️4=16通り

プロポーズ大作戦っていうTV番組のフィーリングカップル５vs５を思い出しました。

また丸コピがわいているな。

男性4人、女性4人の合コンでカップルが成立するパターンを求めます。

＞29が正解ですか

一組もカップルが成立しない。

＞ 誰が「お願いします」をしたかは考えません。

＞ 誰も成立しないパターンを含めると何通りになりますか？

同性のカップルも許すなら

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4人ｖｓ４人で 4 組できるカップルの組み合わせは、

＞誰が「お願いします」をしたかは考えません。

＞誰も成立しないパターンを含めると何通りになりますか？