クレメールの公式について教えてください

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質問者：サカジ
質問日時：2025/03/08 23:59
回答数：10件

クレメールの公式について教えてください

行列の問題で
X.Y.Zを連立方程式で求めます。

ax＋by＋cz＝d-①

ax＋ 0y＋cz＝2d-②

2a +1y＋3z＝3d-③

これからx.y.zの値を求めます。

補足日時：2025/03/09 03:23
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x. y. z の求め方です？

補足日時：2025/03/09 04:42
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回答 (10件)

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No.10ベストアンサー

回答者：ありものがたり
回答日時：2025/03/09 23:05

正誤以前に、その①②③がいったいどこから涌いて出たかなんだよなあ。

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No.9

回答者： syotao
回答日時：2025/03/09 18:59

条件式2a +1y＋3z＝3d-③の2aは2xのまちがいじゃないの？

他の条件式もまちがいないか点検してください。

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No.8

回答者： mtrajcp
回答日時：2025/03/09 18:43

画像の通り

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No.7

回答者：ありものがたり
回答日時：2025/03/09 17:51

No.4 に誤字というか、文字列の編集ミスがあったので

改訂です。前の式じゃ、意味解らんもんね。

x の第 k 成分を xk, A の第 k 列を ak と置くと、 Aｘ = Σ xk ak.
ｂ = Ax より、
｜A の第ｊ列を b で置き換えた行列｜
　= ｜A の第ｊ列を Ax で置き換えた行列｜
　= ｜A の第ｊ列を Σ xｋ aｋで置き換えた行列｜
　= Σ xk ｜A の第ｊ列を aｋで置き換えた行列｜.

｜A の第ｊ列を aｋで置き換えた行列｜は
　j = k のとき｜A｜　(A の第 k 列を aｋで置き換えた行列は A 自身なので),
　j ≠ k のとき 0　　(置き換えた行列に重複する列 ak ができるので）
となりますから、上の式へ代入すると
｜A の第ｋ列を b で置き換えた行列｜ = xk ｜A｜になります。

｜A｜ ≠ 0 であれば xk = ｜A の第ｋ列を b で置き換えた行列｜ / ｜A｜
と書けますね。

(ところで、No.6 はいったい何なんだろう？)

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No.6

回答者： mtrajcp
回答日時：2025/03/09 11:18

2a+1y+3z=3d…③

↓両辺から2aを引くと
1y+3z=3d-2a
↓
0x+1y+3z=3d-2a…③

ax+by+cz=d…①
ax+0y+cz=2d…②
0x+1y+3z=3d-2a…③

|a,b,c|
|a,0,c|
|0,1,3|
=
-3ab

だから
a=0またはb=0のときはクラメルの公式は使えません

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No.5

回答者： tknakamuri
回答日時：2025/03/09 09:38

連立方程式を

Ax=b
としたとき
(xは未知数ベクトル、bは定数ベクトル、Aは正方の係数行列))
detA≠0ならx_i=detAi/detA
がクラメルの公式。
但し、Ai=Aのi列をbに入れ替えたもの。
x_iは未知数のi番目

これにあなたの質問を放り込めば答えがでます。

計算量がやたらに多いので
2元や3元ならともかく、4元以上では使われないです。

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No.4

回答者：ありものがたり
回答日時：2025/03/09 08:38

クラメルの公式は、連立一次方程式の解公式です。

Ax=b (Aは既知の行列、ｂは既知のベクトル、ｘが未知のベクトル) に対して
(x の第 k 成分) = (A の第 k 列を b で置き換えた行列の行列式) / (A の行列式)
という形をしています。

導出はイロイロありますが...
x の第 k 成分を xk, A の第 k 列を ak と置くと、 Aｘ = Σ xk ak.
ｂ = Ax より、
｜A の第ｊ列を b で置き換えた行列｜
　= ｜A の第ｊ列を Ax で置き換えた行列｜
　= ｜A の第ｊ列を Σ xｋ aｋで置き換えた行列｜
　= Σ xk ｜A の第ｊ列を Σ aｋで置き換えた行列｜.
この変形では、行列式が各列について線型であることを使いました。

｜A の第ｊ列を Σ aｋで置き換えた行列｜は
　j = k のとき｜A｜　(A の第 k 列を Σ aｋで置き換えた行列は A 自身なので),
　j ≠ k のとき 0　　(置き換えた行列に重複する列 ak ができるので）
となりますから、上の式へ代入すると
｜A の第ｋ列を b で置き換えた行列｜ = xk ｜A｜になります。
この式は｜A｜ = 0 であっても成り立ちますが、
｜A｜ ≠ 0 であれば xk = ｜A の第ｋ列を b で置き換えた行列｜ / ｜A｜
と書けますね。