誤差の大きさ

何かを計算したり作ったり推定したりするとき誤差ってありますよね。

5%の誤差は大きいですか？
0.05%の誤差は小さいですか？

No.17 回答者： sorewasennsei 回答日時： 2025/03/18 15:34

大きい小さいなどの形容詞の使い分けは定量的ではなく定性的です。

分野によれば合意が得られているものもあります。電気回路の設計では計算結果に10％の許容誤差が認められます。コンデンサでは容量の表示に20％の許容誤差があります。破壊工学での安全係数は数10倍程度です。

No.16 回答者： mtrajcp 回答日時： 2025/03/18 05:35

円周率を3にすると

円と内接する正6角形の周の長さが同じになってしまい
区別できないから
ダメなのだけれども
円周率を3.14としてもダメです.

円周率を3より大きい,4より小さいある値π
3<π<4
とするのがOK
3.1<π<3.2
とするのもOK
3.14<π<3.15
とするのもOK
…

この回答へのお礼

「ダメ」
というのは、どのように定義していますか？

「どういうとき」にダメなのでしょうか？

見ていると、
「無限桁まで考慮した時」
を条件としていませんか。

「無限桁まで考える」
というのは、様々な場合の一つであって
「無限桁までは考えず、ある桁数で近似し、その桁以降は無視する」
という場合もあっていいはずではないですか？

なぜ、暗黙的に
「無限桁まで考える」
という条件を課しているのですか？

お礼日時：2025/03/21 09:17

No.15 回答者： ありものがたり 回答日時： 2025/03/17 13:15

←No.12

今回の字面は③だけど、質問者本人も言ってる(No.3 お礼欄)ように
ことの起こりは前回質問 https://oshiete.goo.ne.jp/qa/14056279.html
に集まった回答だから、もとはといえば②の話だった
と思うんだ。その上で、
テストで何桁計算させるか？と
授業で何桁覚えろというか？も
また別の問題だと思うんだけど。

π≒3 では明らかに精度が足りないことは、
円に内接する正六角形を描いてみれば一目瞭然。
この点については、議論の余地は無いだろう。

しかし、計算の目的によって必要な精度は異なる
という観点からいうと、教育の目的から見て、
明らかに精度不足だからこそ却って π≒3 がいい
という意見もありそうだ。

算数から高校数学にかけて、近似を扱う上で
誤差評価という考えが完全に抜け落ちている
ことは、大きな問題だろうと思われる。
中学高校の理科では、数学が放置している誤差を
扱わないわけにもいかなくて、
「有効数字」などという数学的には荒唐無稽な
計算規則を導入し、考えずに従う生徒を育てる
日本式教育の一端を担っている。馬鹿じゃん？

その点 π≒3 だと、これがごく荒い近似でしかない
ことは生徒の目にも明らかで、誤魔化しようがない。
π≒3.14 を真値と勘違いしている人がいるような
現状と比べて教育的によい という考えはあってもいい。
円周率に限らず、近似計算では誤差を意識する
というアタリマエをアタリマエにするための指導
方法の第一歩と位置づけることもできるかと。

でもね、あまりに主観的で言い訳できないが、
π≒3 じゃあさすがに誤差が大きすぎるって気持ちは
抑えようがないんだ。
それが、前に書いた「深みが足りない」って話。

No.14 回答者： mtrajcp 回答日時： 2025/03/17 10:03

円周率を3にするとダメなのは

誤差が大きいからではありません

円周率を3にすると

円周の長さ
と
内接する正6角形の周の長さ
が
同じになってしまい

区別できないから

ダメなのです

この回答へのお礼

「内接する正6角形の周の長さが同じになってしまうからダメ」

これがわかりません。

別に3.14だって、
「内接する正20角形の周の長さが同じになってしまう」
とかなわけです。

「内接する正21角形の周の長さよりも小さくなってしまう」
とかなわけです。

現実問題無限桁まで考えるわけにいかないから
「真値と違うけど、このくらいの差ならまあいいだろう」
とするのが「近似」なわけです。

「正６角形と同じはダメだけど、正20角形と同じは良い。」
という理屈はどこから来ていますか？

そもそも、円周率=3として計算している分野もあるわけで、それは
「円と正六角形を近似的に同じとみても問題ない」
という場合なわけです。

大昔、円周率という概念が登場する前は、必要に応じて
・円の面積を正６角形で近似
とかしていたわけです。

それで、もっと精度良くしたい場合は
・円の面積を正１２角形で近似
とかしていたわけです。

それで、もっと精度良くしたい場合は
・円の面積を正２４角形で近似
とかしていたわけです。

それの何がいけないのですか。

それって、

・円の面積を円周率３で近似して計算する
もっと精度良くしたい場合は
・円の面積を円周率３．１で近似して計算する
もっと精度良くしたい場合は
・円の面積を円周率３．１４で近似して計算する
もっと精度良くしたい場合は
・円の面積を円周率３．１４１５で近似して計算する
とかと同じじゃないですか？

正六角形が特別な理由は何ですか？
「正６角形は悪魔を呼び出すからダメ」
とかそういう宗教的な理由ですか？

お礼日時：2025/03/21 09:15

No.13 回答者： himagene 回答日時： 2025/03/17 08:21

計算する時の計算誤差には何種類かあって、最近はコンピュータの性能が上がったので桁の打ち切り誤差は少ないが、シミュレーションプログラムの性質上避けられない誤差はありますが、実用上問題にならない精度まで求めます。

多分、あなたのご質問は日常生活においてのこと。何を対象にするかで変わります。「円周率は3ではダメで、3.14はOK。なぜなら、3だと誤差が大きすぎるから」を例に挙げると、普通の物差しで読み取れる桁数と比べての議論になります。大雑把な計算（暗算）では10%程度の違いなら問題にならない場合もあるし、精密な測定では0.05%では大きすぎてお話にならない場合も多くあります。

No.12 回答者： tknakamuri 回答日時： 2025/03/16 23:59

なんか混沌としてきましたね。

①真値がわかっている定数を何桁まで覚えれば実用的か？
②電卓持ち込み禁止の小学生のテストで、出題する問題の数値は何桁くらいまでにすべきか？
③誤差5%は大きいのか小さいのか?

それぞれ別の話だよ。まぜこぜに議論しても意味ない。
質問は③じゃなかったの？

この回答へのお礼

「問題を分割して考えよう」
ですか。

意識高い系の人が使うテンプレートですね。

お礼日時：2025/03/21 09:17

No.11 回答者： isoworld 回答日時： 2025/03/16 17:28

その円周率のデータを何に使うか、です。

小学校の授業で円周がどれだけあるか、おおよそのことを知るだけの目的なら３でいいだろうし、人工衛星の打ち上げを正確にやって成功させようとすれば、3.14159265(私はここまでは知っています)のうち、上６桁は要ることでしょう。
モノ作りを趣味(私は道楽と言っています)の一つにしている私は、設計と製作(寸法測定など)には3.14までは必要です。

この回答へのお礼

>その円周率のデータを何に使うか
そうそう。その通り。
（正確には「その円周率を使った計算結果を何に使うか」ですが。）

円周率に関した話ではなくても、誤差の大小なんて言うものは、
「どの程度の誤差を許容するか」
に依存するわけで、一切の前提がない状態で
「5%は大きいからダメ」
とか、
「0.1%は小さいからOK」
とか言えないはずです。

にも拘わらず、円周率の話になったとたん
・3にすると誤差が大きいからダメ
・3.14は誤差が小さいからOK
って意見が多数派になるんですよ。

https://oshiete.goo.ne.jp/qa/14056279.html

>3.14159265(私はここまでは知っています
数値計算をする人は8または16桁覚えている人多いですよね。
(8桁は単精度実数で16桁は倍精度実数なので)

自分の分野も真面目に計算する際に3.14なんて使ったら笑われますよ。

お礼日時：2025/03/16 17:39

No.10 回答者： ありものがたり 回答日時： 2025/03/16 12:37

＞ 数学的な意味ではなく、情緒的な意味が「14」の部分な気がしています。

＞ 3 とかくと「円周率は整数」みたいな雰囲気が出てしまうので。

全く同意なんだが、そもそも「約 3」で教えたいという考え自体が、
3.14 が出てくると計算が面倒で生徒が混乱するから
3 にしてしまってサクサク計算させたほうが図形のほうに集中させられる
って考えなんだからね。 これはもう、前提となる
教育についての考え方が真っ向違うとしか言いようがない。

円周率については、結局多数決で「約 3.14」が優勢となったようだが、
教育関係者の算数観が数学者や数学オヤジとはかけ離れている
ことが浮き彫りになって、先々がまだ不安な印象を遺した。

この回答へのお礼

＞教育関係者の算数観が数学者や数学オヤジとはかけ離れている
ちなみにですが、自分は数学（のある分野）が専門なのですが、
「円周率を３と覚えさせる」
はかなり肯定的です。

お礼日時：2025/03/16 17:48

No.9 回答者： virgo_o_99 回答日時： 2025/03/16 11:54

>>「円周率は3ではダメで、3.14はOK。

なぜなら、3だと誤差が大きすぎるから」
>>と考える人が多いのです。
それは、円周率という対象についての誤差許容度の問題ですよね。

円周率を使うシーンというのは、円の面積、円周、球の体積、球の表面積の算出が必要な場合でしょうから、解として得たいそれらの数値にどの程度の誤差を許容するかと密接に関わることだと思います。

例えば、構造物の設計では、家屋の建築でもミリ単位の精度は普通に要求されます。その計算で、100分の14以上の誤差があるということは、ミリ単位の精度が保証されないことになります。
例）8×3＝24
　　8×3.14＝25.12　　なので、わかりますよね。
そうすると、「誤差が大きすぎるから」というのは、円周率を利用した計算結果の影響を考えれば、首肯されることだと思います。

他方で、例えば経済成長率や、企業の過年度業績との業績推移を評することが日常的にありますが、これらの数値には様々な要因が絡むので、結果としてでる「●●率」は概括的な傾向がわかることが大事であって、細かい精緻な値を追究しても、それは一要素の刹那的な影響というどんどん細かい些末な隘路に陥ってしまうことになりかねません。
そこで、大まかな傾向がわかる程度（例えば、数％単位で、小数点までは求めない）というような数字の捉え方をするものです。

こんな回答で理解をしていただけるかどうかわかりませんが。

この回答へのお礼

建造物って最大10mのオーダーだと思うんです。
だとすると、3.14だとミリオーダーのずれでてしまいませんか？

お礼日時：2025/03/16 17:43

No.8 回答者： ありものがたり 回答日時： 2025/03/16 11:22

＞ その良し悪しの根拠と言うか考え方がよくわからなかったので、

＞ 質問したんです。

No.4 にも書いたが、教育方法の良し悪しについては
前提として教育の目的が何かを同意してからでないと、
議論が最初から最後まで噛み合わない。

個人的には、円周率については、算数段階で
「小数で書くと無限桁続いて循環もしない、分数では書けない何か。
値としては 3 よりちょっと大きいくらい。」くらいに教えるのが適切
だと思っているので、
約 3 ではダメで約 3.14 くらいが丁度いいかな？ という感覚。
約 3.1416 でもいいけど、数値計算するとき流石に面倒でしょ。
これが、前回質問のとき書いた「深み」についての私の感覚かな。

約 3 では、式中に登場したとき毎回難なく計算できてしまい、
存在感が軽すぎるのが宜しくない気がしてならない。

この回答へのお礼

＞前提として教育の目的が何かを同意してからでないと、
＞議論が最初から最後まで噛み合わない。
はい。
なので、
「円周率に関して何が目的で3.14まで覚えるのか」
「どんな目的に合わないから3はダメなのか」
が私の疑問になります。

自分も14の部分には「円周率のふしぎさ、奥深さ」みたいなものを
表現している気がするんですよね。

つまり、数学的な意味ではなく、情緒的な意味が「14」の部分な気がしています。
3とかくと「円周率は整数」みたいな雰囲気が出てしまうので。

とはいえ、ほぼすべての人が
「3だと誤差が大きくてダメ、3.14だと誤差が小さいからOK」
と書いていました。
なので、多くの人が、状況によらず
「5%の誤差は大きく、0.05%の誤差は小さい」
と思っているのかな、と思った次第です。

お礼日時：2025/03/16 11:50