確率の質問です

A　1回目のみ９０％で当たる、2回目以降は３０％で当たる
B　1回目のみ８０％で当たる、2回目以降は４０％で当たる
C　1回目のみ７０％で当たる、2回目以降は５０％で当たる
D　常に６０％で当たる
E　1回目のみ５０％で当たる、2回目以降は７０％で当たる
F　1回目のみ４０％で当たる、2回目以降は８０％で当たる
G　1回目のみ３０％で当たる、2回目以降は９０％で当たる

この中の好きなくじを選んで何回連続で当たるかという勝負をする場合
どれを選ぶのが一番いいですか？
尚、相手は自分が選んだ後に残っているくじの中から選ぶとする

No.10 回答者： ありものがたり 回答日時： 2025/03/25 20:54

No.6 の結果を、No.5 で置いた中間変数を消去して

問題文中のデータだけからなる式で書いてみます。

A は第1回のクジを確率 a1 で当たる箱から引き、
　　第2回以降は確率 a2 で当たる箱から引く。引いたクジは見たら箱に戻す。
B は第1回のクジを確率 b1 で当たる箱から引き、
　　第2回以降は確率 b2 で当たる箱から引く。引いたクジは見たら箱に戻す。
という試行を繰り返して、
第１回からずっとアタリ続けた回数が回数が多いほうを勝ちとする。
A が勝つ確率を pA, B が勝つ確率を pB と置く。

No.5 で挙げた例では、a1 = 0.9, a2 = 0.3, b1 = 0.8, b2 = 0.4 です。
ｐ1A, p1B, p1B, p2A, p2B, p2E などを消去すると、
pA = a1・{ 1 - (1 - a1)・ｂ１/(1 - a2・b2) },
pB = b1・{ 1 - (1 - b1)・a１/(1 - a2・b2) }　と整理できます。
1 - pA - pB は、A,B のアタリ続きが同じ回数で終わって、引き分けとなる確率です。

ちょっと味わいある式じゃないですか？
ｐA は a1 が大きく、b1 が小さいとき大きい。
ｐA に対する b1 の影響は、a1 が 1 に近いと減弱される。
pA の大きさを大雑把に律するのは a1 である。
このことから、
勝ちやすさが A > B > C > D > E > F > G になったことがうなづけます。
a2・b2 が pA と pB に対して対称に働いていることも、興味深いですね？

No.9 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2025/03/25 15:29

No.7です。

Gだとの誤解に対する説明です。

たしかに、例えば5回目で決着が付くというケースだけ考えれば、その時はGの方が勝率は高いです。しかし、両者4回連続して当たりが出て、5回目で決着がついたとしても、そんな事象が生起する確率は極めて低いのです。

勝負は何回目で決着が付くかは分からないので、全体の期待値（平均値）で考えなければなりません。

そう考えると、Aが圧倒的に有利なのです。

その理由としてNo.8様がおっしゃっていることを、No.7の累積確率グラフで説明すれば、一番上の黒の線で描いたAの初回の勝利確率0.63は、一番下の黄色い線のGの全てのケースを足し合わせても敵わない値であるということです。

No.8 回答者： tknakamuri 回答日時： 2025/03/25 13:35

例えば A と G を選んだ人が勝負すると

初回でAがGに勝つ確率は 0.9 × 0.7 = 0.63
で既にこれだけで勝率が5割を超えてます。

AはGより有利と言えるのでは？

No.7 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2025/03/25 13:08

解答はAです。

何回連続で当たるか。

もし、１回当たりで終了するということは、
（1回目当たり）×（2回目外れ）の確率

もし、2回当たりで終了するということは、
（1回目当たり）×（2回目当たり）×（3回目外れ）の確率

一般項：n回目の当たりで終了する確率は、
（1回目当たり）×（2回目以降当たり)^(nー1）×｛1－(2回目以降当たり)｝

これらの事象は排他事象。
勝てば１点もらえるとして、点数の期待値を計算する。期待値は、

（期待値）＝Σ(スコア)×(生起確率)

スコア＝1なので、これより各ケースについて累積確率を計算すればよいと分かります。

最終的な値だけでなく、途中で逆転しないかも調べました。
なお、本来は0回で終了する場合も考慮する必要がありますが、得点は0なので省略しました。

添付のグラフは、上からA～Gで、30回目までの累積確率をグラフ化しています。ほぼ30回でグラフはサチっています。30回も連続して当たることは極めて稀有だからでしょう。

得点の期待値が一番大きいのはAで、最初から逆転されることはありませんでした。

No.6 回答者： ありものがたり 回答日時： 2025/03/24 23:54

ミスプリ：

A が勝つ確率は
p1A + p1E * p2A + p1E * p2E * p2A + p1E * (p2E)^2 * p2A + ...
= p1A + p2A * p1E / (1 - p2E)　　；２項目以降、等比級数の和
≒ 0.3272
B が勝つ確率は
p1B + p1E * p2B + p1E * p2E * p2B + p1E * (p2E)^2 * p2B + ...
= p1B + p2B * p1E / (1 - p2E)　　；２項目以降、等比級数の和
≒ 0.3090
これは A が有利。

No.5 回答者： ありものがたり 回答日時： 2025/03/24 23:52

A 一択。

A vs B で考えてみよう。
1回目で勝ちが決まらない確率 p1E = 0.9 * 0.8,
A が １回当たりで勝つ確率 p1A = 0.9 * (1 - 0.8),
B が １回当たりで勝つ確率 p1B = 0.8 * (1 - 0.9),
1回目で引き分けが決まる確率 p1X = (1 - 0.9) * (1 - 0.8).
1回目に勝ちが決まらなかったという条件下に、
2回目で勝ちが決まらない確率 p2E = 0.3 * 0.4,
A が 2回当たりで勝つ確率 p2A = 0.3 * (1 - 0.4),
B が 2回当たりで勝つ確率 p2B = 0.4 * (1 - 0.3),
２回目で引き分けが決まる確率 p2X = (1 - 0.3) * (1 - 0.4).
同様に続きを考えて、結局
A が勝つ確率は
p1A + p1X * p2A + p1X * p2X * p2A + p1X * (p2X)^2 * p2A + ...
= p1A + p2A * p1X / (1 - p2X)　　；２項目以降、等比級数の和
≒ 0.3272
B が勝つ確率は
p1B + p1X * p2B + p1X * p2X * p2B + p1X * (p2X)^2 * p2B + ...
= p1B + p2B * p1X / (1 - p2X)　　；２項目以降、等比級数の和
≒ 0.3090
これは A が有利。

A〜G の各組み合わせで同様に計算すると、
A > B > C > D > E > F > G の順に有利なことが判る。

No.4 回答者： yhr2 回答日時： 2025/03/24 23:17

実際に計算してみればよい。

論より証拠。

１回目に当たる確率
A　0.9
B　0.8
C　0.7
D　0.6
E　0.5
F　0.4
G　0.3

１、２回に連続で当たる確率
A　0.9 * 0.3 = 0.27
B　0.8 * 0.4 = 0.32
C　0.7 * 0.5 = 0.35
D　0.6 * 0.6 = 0.36　　←これが最高
E　0.5 * 0.7 = 0.35
F　0.4 * 0.8 = 0.32
G　0.3 * 0.9 = 0.27

１、２、３回に連続で当たる確率
A　0.9 * 0.3 * 0.3 = 0.081
B　0.8 * 0.4 * 0.4 = 0.128
C　0.7 * 0.5 * 0.5 = 0.175
D　0.6 * 0.6 * 0.6 = 0.216
E　0.5 * 0.7 * 0.7 = 0.245
F　0.4 * 0.8 * 0.8 = 0.256　　←これが最高
G　0.3 * 0.9 * 0.9 = 0.243

１、２、３、４回に連続で当たる確率
A　0.9 * 0.3 * 0.3 * 0.3 = 0.0243
B　0.8 * 0.4 * 0.4 * 0.4 = 0.0512
C　0.7 * 0.5 * 0.5 * 0.5 = 0.0875
D　0.6 * 0.6 * 0.6 * 0.6 = 0.1296
E　0.5 * 0.7 * 0.7 * 0.7 = 0.1715
F　0.4 * 0.8 * 0.8 * 0.8 = 0.2048
G　0.3 * 0.9 * 0.9 * 0.9 = 0.2187　　←これが最高

これ以上の回数であれば、「G」の確率が最も高くなるのは明らかです。

No.3 回答者： Tacosan 回答日時： 2025/03/24 22:31

この文章だと「どのような勝負なのか」が正確には記述できていないと思うのだ. 設定によっては G がベストかもしれないよ.

No.2 回答者： ピクセル7 回答日時： 2025/03/24 21:09

Aでしょう。

No.1 回答者： Andro 回答日時： 2025/03/24 20:50

https://x.com/i/grok/share/tu8qImfnGeSTpdGAQ5CHL …