問題 √2が無理数であることを入り方を用いて示せ。 この写真は回答なのですが、n２乗は4の倍数だから

問題　√2が無理数であることを入り方を用いて示せ。
この写真は回答なのですが、n２乗は4の倍数だから、と解決しているんですけど2の倍数だから、でもいいんですか？4の倍数だからって書くのはなぜですか?

No.6 回答者： ありものがたり 回答日時： 2025/04/09 21:38

n^2が2の倍数だから、n^2は4の倍数だと言えるんだよ。

ただ、「n^2は2の倍数」からは、「n^2は4の倍数」を経由しないと
「2m^2は4の倍数」が言えないだけ。
「n^2は2の倍数」だけではヒトコト足らんという話。

No.5 回答者： ssawatake 回答日時： 2025/04/09 20:46

回答は既に出ている通りです。

高校では今もこんな回りくどい証明をやってるんだ。
素因数分解の一意性定理を使えば一発で出来るのに・・・。
2m²=n²より、素因数2は左辺で奇数個、右辺で0個か偶数個。
これが=になる事が矛盾。

No.4 回答者： mtrajcp 回答日時： 2025/04/09 15:16

n^2は2の倍数だからというだけでは

2m^2は4の倍数とはいえないから
m^2は偶数とはいえない

No.3 回答者： finalbento 回答日時： 2025/04/08 21:31

恐らくは「4の倍数」ではなくて「2^2の倍数」と言う事ではないかと。

No.2 回答者： tknakamuri 回答日時： 2025/04/08 17:50

>2の倍数だから、でもいいんですか？

>4の倍数だからって書くのはなぜですか?

n^2 が４の倍数でないと
2m^2=n^2 から
mが偶数を導けないでしょ？

偶数は素因数として素数2を含み、平方数は同じ素数を素因数として偶数個含むので
偶数の平方数は４の倍数です。

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2025/04/08 01:40

n が偶数ってのは、n=2k (kは整数)と書けるってことです。

このとき、n^2 = 4k^2 となって、n^2 は 4 の倍数です。
2m^2 = n^2 の両辺を 2 で割ると、m^2 = 2k^2 となるので、
m^2 が偶数になることが判ります。
n^2 が 4 の倍数だから、m^2 が偶数と判ったのです。

「n^2 は 4 の倍数」の代わりに「n^2 は 2 の倍数」
ではダメです。
n^2 が 2 の倍数とは n^2 = 2L (Lは整数)ってことですが、
ここで 2m^2 = n^2 の両辺を 2 で割っても
m^2 = L になるだけで、「m が偶数」は出てこず、
証明の次の行へ進めません。

n^2 が平方数であることから、n が偶数なら n^2 は 4 の倍数
と言えることが、証明の要点なのでした。