【 畳み込み積分 のτ 意味がよくわからないです 】 τ も時間みたいなものですか？もしくは過去の時

【 畳み込み積分 のτ 意味がよくわからないです 】
τ も時間みたいなものですか？もしくは過去の時間？
時間tとの違いは？
https://sciencefun.sakura.ne.jp/archives/3577
より青い線の信号のみを考えるとτでもtでも問題ないですか？

ただの変数と言われればそれまでですが……

No.3 ベストアンサー 回答者： tknakamuri 回答日時： 2025/04/09 11:50

純粋数学的な意味はよく知りませんが

信号処理において、線形不変システムでは、任意の入力に
対する応答は、入力とインパルス応答の畳み込みになります。

信号処理では任意の信号をインパルスの集合として扱います。
f(τ)dτ は時刻 τでの入力(インパルス)を表し
g(t-τ) は時刻τの単位インパルスに対する応答
とすると
#時刻τに入力されたものだから、応答もτだけ遅れます。
時刻tの出力は過去のインパルスの応答をかき集めたものなので
∫f(τ)g(t-τ)dt
が信号出力になります。

τだけずらしたものを重ね合わせるということは、
過去の入力（インパルス）に対する応答の重ね合わせが
応答になることを表しています。

No.6 回答者： tknakamuri 回答日時： 2025/04/09 22:32

こういう例も面白いかも。

時刻τに単位時間にf(τ)個英単語を学ぶとしましょう。
すると微小時間dτに学ぶ英単語の数はf(τ)dt

学んでからの時間経過β後も覚えている単語の割合を
g(β)、現在時刻をtとすると
時刻τで覚えた英単語のうち、時刻tでまだ覚えているのは
g(t-τ)f(τ)dτ
ですから、時刻tでまだ覚えている単語の総数は
∫g(t-τ)f(τ)dτ

No.5 回答者： ありものがたり 回答日時： 2025/04/09 16:28

畳み込みは、簡素な構造ですし、数学のいろいろな場面で登場します。

【意味】と言っても応用の場面ごとに様々なので、意味で語れるような話とも思えません。
例えば、「掛け算の意味って何ですか？」ときかれて、答えることができますか？
畳み込みの定義は、(f＊g)(x) = ∫[-∞,+∞] f(t)g(x-t) dt. それが全てです。
定義式以外の「意味」を見出したいなら、自分で見つけて納得する必要があるのでしょう。

No.4 回答者： tknakamuri 回答日時： 2025/04/09 12:08

修正

>∫f(τ)g(t-τ)dt
∫f(τ)g(t-τ)dτ

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2025/04/09 10:47

y(t)=∫[-∞～∞]x(τ)g(t-τ)dτ

で

y(t) の　t
g(t-τ) の　t

と同じ変数名tを使ってはいけないから

t
ではなく
τ
になる

No.1 回答者： mimon01 回答日時： 2025/04/09 10:12

よくある使い方としては、tを次元(秒など)を持つ変数として、それを無次元化した物をτにすることが多いですね。