x‘’+ω0^2x=asin(ωt) pめ この微分方程式の一般解の解法を解まで導いて欲しいです。

x‘’+ω0^2x=asin(ωt) pめ
この微分方程式の一般解の解法を解まで導いて欲しいです。

右辺が0の時はx=e^λtとして求めればわかるんですけど少し形が変わったらどうすればいいんですか？

質問者からの補足コメント

• 1行目のpめと誤字っていますがω0≠ωと訂正します

    補足日時：2025/04/13 04:20

No.4 ベストアンサー 回答者： syotao 回答日時： 2025/04/13 21:45

まず、ｘ＝[a/(ω₀²－ω²)]sinωt　が方程式の特別解であることを確認する、

そうすれば方程式のもとめる一般解は
＝[a/(ω₀²－ω²)]sinωt＋（x‘’+ω0^2x=0の一般解）です。

No.6 回答者： ありものがたり 回答日時： 2025/04/14 09:49

＞ 解まで導いて欲しいです。

とのことだったので、No.3 の続き。
(あるいは、ここから先は自分でできるんだろうけど。)

(d/dt)^4 x + (ω^2 + ω0^2)x” + (ω^2)(ω0^2)x = 0
は、「右辺が0」の線型微分方程式なので
いつもの解法どおりにやる。

固有値を λ と置くと、この微分方程式の特性方程式は
λ^4 + (ω^2 + ω0^2)λ^2 + (ω^2)(ω0^2) = 0.
これは λ^2 についての二次方程式で、容易に因数分解できて
λ^2 = -ω^2, -ω0^2. したがって
λ = ±iω, ±iω0 と解が求まる。

この固有値を使って、
(d/dt)^4 x + (ω^2 + ω0^2)x” + (ω^2)(ω0^2)x = 0
の一般解は
x = A0 e^(iωt) + B0 e^(-iωt) + C0 e^(iω0t) + D0 e^(-iω0t).
(A0,B0,C0,D0 は初期条件で決まる定数)

オイラーの公式 e^(iθ) = cosθ + i sinθ を使って変形し、
定数を適当に置き換えると
x = A1 cos(ωt) + B1 sin(ωt) + C1 cos(ω0t) + D1 sin(ω0t)
と書けて、
三角関数の合成を使えば
x = A2 sin(ωt+δ1) + C2 cos(ω0t+δ2)
と書き換えられる。

これを
x” + (ω0^2)x = a sin(ωt)　
へ代入すれば
(-ω^2+ω0^2) A2 sin(ωt+δ1) = a sin(ωt)
となるので、係数を比較して
sin(ωt+δ1) = sin(ωt),
(-ω^2+ω0^2) = a.

これを解の式へ戻して、
x = { a/(ω0^2-ω^2) } sin(ωt) + C2 cos(ω0t+δ2).
(C2,δ2 は初期条件で決まる定数)

No.5 回答者： mpcsp079goo 回答日時： 2025/04/14 06:49

訂正！

x‘’+（ω0^2）x=asin(ωt)

ｘ＝Ａｃｏｓ（ωｔ＋θ）
とおく、
＝Ｒｅ（Ａｅ＾ｉ（ωｔ＋θ））
＝Ｒｅ（Ａｅ＾（ｉθ）ｅ＾ｉ（ωｔ））
＝Ｒｅ（Ｂｅ＾ｉ（ωｔ））
とする。

x‘’+（ω0^2）x=aＲｅ（ｅ＾ｉ（ωｔーπ／２））
に入れる。

Ｒｅ（Ｂω＾２ｅ＾ｉ（ωｔ））+（ω0^2）Ｒｅ（Ｂｅ＾ｉ（ωｔ））
=aＲｅ（－ｉｅ＾ｉ（ωｔ））
ーー＞
Ｒｅ（Ｂω＾２ｅ＾ｉ（ωｔ）＋（ω0^2）Ｂｅ＾ｉ（ωｔ））
=aＲｅ（－ｉｅ＾（ωｔ））
Ｒｅ（Ｂω＾２ｅ＾ｉ（ωｔ）＋（ω0^2）Ｂｅ＾ｉ（ωｔ）＋aｉ（ｅ＾（ωｔ））=０
ーー＞
Ｂω＾２＋（ω0^2）Ｂ=０

これから、
ω＾２＝ー（ω0^2）
ω＝±ｉω0

ｘ＝Ｒｅ（（Ｃｅ＾ｉ（ｉω0ｔ）＋Ｄｅ＾ｉ（ーｉω0ｔ））ｅ＾ｉ（ωｔ））
＝Ｒｅ（（Ｃｅ＾ー（ω0ｔ）＋Ｄｅ＾（ω0ｔ））ｅ＾ｉ（ωｔ））
＝（Ｃｅ＾ー（ω0ｔ）＋Ｄｅ＾（ω0ｔ））ｃｏｓ（ωｔ）

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2025/04/13 07:54

x” + (ω0^2)x = a sin(ωt)　を 2 回微分すると、

(d/dt)^4 x + (ω0^2)x” = (-ω^2) a sin(ωt)　になって
(d/dt)^4 x + (ω0^2)x” = (-ω^2)( x” + (ω0^2)x )　が成り立ちます。
なーんだ、移項したら
(d/dt)^4 x + (ω0^2 + ω^2)x” + (ω^2)(ω0^2)x = 0.
「右辺が0」の線型微分方程式になりましたね。

No.2 回答者： mpcsp079goo 回答日時： 2025/04/13 05:53

x‘’+（ω0^2）x=asin(ωt)

ｘ＝Ａｃｏｓ（ωｔ＋θ）
とおく、
＝Ｒｅ（Ａｅ＾ｉ（ωｔ＋θ））
＝Ｒｅ（Ａｅ＾（ｉθ）ｅ＾ｉ（ωｔ））
＝Ｒｅ（Ｂｅ＾ｉ（ωｔ））
とする。

x‘’+（ω0^2）x=aＲｅ（ｅ＾ｉ（ωｔーπ／２））
に入れる。

Ｒｅ（Ｂω＾２ｅ＾ｉ（ωｔ））+（ω0^2）Ｒｅ（Ｂｅ＾ｉ（ωｔ））
=aＲｅ（－ｉｅ＾ｉ（ωｔ））
ーー＞
Ｒｅ（Ｂω＾２ｅ＾ｉ（ωｔ）＋（ω0^2）Ｂｅ＾ｉ（ωｔ））
=aＲｅ（－ｉｅ＾（ωｔ））
Ｒｅ（Ｂω＾２ｅ＾ｉ（ωｔ）＋（ω0^2）Ｂｅ＾ｉ（ωｔ）＋aｉ（ｅ＾（ωｔ））=０
ーー＞
Ｂω＾２＋（ω0^2）Ｂ=０

これから、
ω＾２＝ー（ω0^2）
ω＝±ｉω0

ｘ＝Ｒｅ（Ｃｅ＾ｉ（ｉω0ｔ）＋Ｄｅ＾ｉ（ーｉω0ｔ））
＝Ｒｅ（Ｃｅ＾ー（ω0ｔ）＋Ｄｅ＾（ω0ｔ））
＝Ｃｅ＾ー（ω0ｔ）＋Ｄｅ＾（ω0ｔ）

合っているか？

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2025/04/13 04:33

「一般解の解法を解まで導く」はさっぱり意味がわからんが.

D^2 + ω0^2 = (D+i ω0)(D - i ω0)
だから, てきとうな積分を 2回やればいいだけだよね?

どこか困るところあるのかなぁ.