△ABCの外側に正三角形ABP, ACQを作るBQ = CP かつ，両直線は60°の角をなすことを示

△ABCの外側に正三角形ABP, ACQを作るBQ = CP かつ，両直線は60°の角をなすことを示せ。


解答

Aを原点とする複素数平面を設定し、各点を表す複素数をその点の小文字を用いて表す。

A を原点とする複素数平面を設定し、各点を表す複素数をその点の小文字で表す。

AP は AB を -60° 回転させたものなので、

p = (cos(-60°) + i*sin(-60°)) * b


AQ は AC を 60° 回転させたものなので、

q = (cos(60°) + i*sin(60°)) * c

よって、QB, CP を表す複素数はそれぞれ

QB = b - q = b - (cos(60°) + i*sin(60°)) * c

CP = p - c = (cos(-60°) + i*sin(-60°)) * b - c
このとき

(p - c) / (b - q) = cos(-60°) + i*sin(-60°) ⭐️

が成り立つので、CP は QB を -60° 回転させたものである。

これより、BQ = CP かつ、両直線は60°の角をなすことが示された。■

⭐️がついてるところの計算方法がわかりません教えてください

No.2 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2025/04/19 13:38

cos(60°) + i sin(60°) = 1/( cos(-60°) + i sin(-60°) )

なのは解りますか？

直に
( cos(60°) + i sin(60°) )( cos(-60°) + i sin(-60°) )
= ( cos(60°) + i sin(60°) )( cos(60°) - i sin(60°) }
= cos(60°)^2 - (-1)sin(60°)^2
= 1
を計算しても確かめられるし、
オイラーの公式 e^(iθ) = cosθ + i sinθ を使って
cos(60°) + i sin(60°) = e^(iπ/6)
　　　　　　　　　　= 1/e^(-iπ/6)
　　　　　　　　　　= 1/( cos(-60°) + i sin(-60°) )
のほうが、意味が解って解りやすいかもしれない。

ともかく、これを使って
p - c = ( cos(-60°) + i sin(-60°) ) b - c
　　= ( cos(-60°) + i sin(-60°) ) { b - c/( cos(-60°) + i sin(-60°) ) }
　　= ( cos(-60°) + i sin(-60°) ) { b - ( cos(60°) + i sin(60°) ) c }　　←ココ！
　　= ( cos(-60°) + i sin(-60°) ) { b - q }
となりますから、
(p - c)/(b - q) = cos(-60°) + i sin(-60°)
です。

この回答へのお礼

解答が綺麗すぎてうっとりしました。

お礼日時：2025/04/19 13:56

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2025/04/19 13:49

あれ？ 1 get と思ったら、なぜか No.2 になってる。

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2025/04/19 13:48

でも、この証明は、複素数で計算するより

中学の幾何学で示すほうが、個人的には好きかなあ。

正三角形ABP の辺より AB = AP、
正三角形ACQ の辺より AQ = AC、
また
∠BAQ = ∠BAC + 60° = ∠PAC
なので、
二辺挟角相等によって △BAQ ≡ △PAC.

したがって、
合同な三角形の対応辺だから BQ = CP だし、
△BAQ を点 A 中心に時計回りに ∠CAQ = 60° 回転すると △PAC に重なる
ことも解ります。よって、BQ と CP のなす角は 60°

No.1 回答者： mtrajcp 回答日時： 2025/04/19 13:09

QB = b - q = b - (cos(60°) + i*sin(60°)) * c

CP = p - c = (cos(-60°) + i*sin(-60°)) * b - c

(cos(-60°) + i*sin(-60°))*(b - q)
=(cos(-60°) + i*sin(-60°))*(b - (cos(60°) + i*sin(60°)) * c)
=(cos(-60°) + i*sin(-60°))*b - (cos(-60°) + i*sin(-60°))*(cos(60°) + i*sin(60°))*c

↓(cos(-60°) + i*sin(-60°))*(cos(60°) + i*sin(60°))=1だから

= (cos(-60°) + i*sin(-60°)) * b - c
=p-c

(cos(-60°) + i*sin(-60°))*(b - q)=p-c

↓両辺をb-qで割ると

cos(-60°) + i*sin(-60°)=(p - c) / (b - q)