No.7
- 回答日時:
ありさん
電気工学では同じ周期Tの交流電圧e、交流電流iのT期間における
平均電力P=(1/T)∫e・idt をe、iの実効値E、Iを使って
P=EIcosθ と表したいという要求があります。
そのためにE、Iをどう定義すればよいかというと
シュワルツの不等式
|∫e・idt|≦√(∫e²・dt)√(∫i²dt) の両辺をTで割って不等式は
|P|≦√[(1/T)∫e²dt]√[(1/T)∫i²dt]となるので
E=√[(1/T)∫e²dt]、I=√[(1/T)∫i²dt]と定義すれば
つまり電圧電流の実効値をeやiの2乗の周期Tの間の平均の平方根>0
と定義すれば明らかに
|P|/EI≦1 だからP=EIcosθとなるようなθが存在する、
このcosθを力率といいます。
とくに、正弦波交流の場合たとえば
e=Emsin(ωt)の実効置を上の定義式で計算すれば
E=Em/√2 つまり振幅/√2 が実効値 となる、
求めるベクトルはその長さを実効値表示したいのだから
√2で割るというのはこういう意味。
No.4
- 回答日時:
複素数zの実数部分、虚数部分をRez、Imzとすれば
v/10=(1/√2)Ime^j(ωt+π/4)+Re[e^j(ωt+π/6)]
ここでRez=Im(jz)なので
v/10=(1/√2)Ime^j(ωt+π/4)+Im[je^j(ωt+π/6)]
=Im[(1/√2)e^j(ωt+π/4)+je^j(ωt+π/6)] ω=100π
ここで
(1/√2)e^j(ωt+π/4)+je^j(ωt+π/6)
=[(1/√2)e^j(π/4)+je^j(π/6)]e^jωt
=[(1/√2)(1+j)/√2+j(√3+j)/2]e^jωt
=[(1+j)/2+(j√3-1)/2]e^jωt=[j(1+√3)/2]e^jωt なので
v=Im[j5(1+√3)]e^jωt
ゆえに求めるフェーズベクトルはj5(1+√3)/√2で
実数表示では
v=5(1+√3)sin(ωt+π/2)=5(1+√3)cosωt になります。
No.3
- 回答日時:
三角関数を、加法定理でバラしてから再度合成かな。
(10/√2) sin(100πt+π/4) + 10 cos(100πt+π/6)
= (10/√2) { sin(100πt)cos(π/4) + cos(100πt)sin(π/4) }
+ 10 { cos(100πt)cos(π/6) - sin(100πt)sin(π/6) }
= sin(100πt) { (10/√2) cos(π/4) - 10 sin(π/6) }
+ cos(100πt) { (10/√2) sin(π/4) + 10 cos(π/6) }
= sin(100πt) { 0 }
+ cos(100πt) { 5 + 5√3 }.
あ、 sin(100πt) の係数が 0 になったから
合成する手間は無かった。ラッキー
(10/√2) sin(100πt+π/4) + 10 cos(100πt+π/6)
= cos(100πt) { 5 + 5√3 }
= 5(1+√3) sin(100πt + π/2).
極形式では、これを 5(1+√3)∠90° って書くかな。
cosθ = sin(θ + π/2),
π/2 [ラジアン] = 90 [度] だから。
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