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たとえば、Arccos1/√5=ArcTanxといった問題の場合、
y=Arccos1/√5などと置き、cosyやtanyを表しますよね。

今困っている問題は、
Arccosx=Arcsin1/3+Arcsin17/9といったような
加法が用いられた場合に、
何をどのように置き換えたらいいのかがわかりません。
どなたか教えてください。

A 回答 (2件)

y=sinθ----(1)の逆関数がθ=Arcsin y ----(2)です。

yの値は-1から1になります。
ですので、Arcsin17/9というのはあり得ません。
ここからはタイプミスだったとして話を進めます。
(2)式よりArcsin1/3は角度を指定している式ということがわかりますよね。
Arcsin1/3=θ1----(3)
Arcsin17/9?=θ2----(4)とする。
θ3=θ1+θ2----(5)とすると
Arccosx=θ3
x=cosθ3

θ3の値が具体的に必要な場合は式(3)から(5)から求めてください。
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この回答へのお礼

おっしゃるとおり、タイプミスでした。
17/9ではなく、7/9でした。
わかりやすい説明ありがとうございます。
おかげで理解することが出来ました。

お礼日時:2005/05/27 06:56

θ=θ1+θ2



x = cosθ, 1/3 = sinθ1, 17/9 = sinθ2

として、sinθ=sin(θ1+θ2)=加法定理など、
三角関数の公式を使うのではないでしょうか。
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この回答へのお礼

17/9ではなくて7/9でした。
わかりやすい説明をありがとうございます。

お礼日時:2005/05/27 06:55

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Q逆三角関数の問題について

arccosX=arcsin(1/3)+arcsin(7/9)という問題の解き方を教えてください。

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arcsin(1/3)=Y
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arccosX=Y+Z
X=cos(Y+Z)
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あとは、sinY,sinZからcosY,cosZの値を求めたら完了です。
この手の問題はしょうがないですが、基本的に質問の丸投げは禁止されています。できたところまでは書いて質問するようにしましょう。

Q逆三角関数 方程式

この方程式の解き方が分かりません。教えてください。

arcsinx=arcsin1/3+arcsin7/9

Aベストアンサー

arcsin(x)=arcsin(1/3)+arcsin(7/9)
x=sin(arcsin(1/3)+arcsin(7/9))
=(1/3)(√(81-49)/9)+(√(9-1)/3)(7/9)
=((√32)/27)+(7(√8)/27)
=(4+14)(√2)/27
=2(√2)/3

Q積分で1/x^2 はどうなるのでしょうか?

Sは積分の前につけるものです
S dx =x
S x dx=1/2x^2
S 1/x dx=loglxl
まではわかったのですが
S 1/x^2 dx
は一体どうなるのでしょうか??

Aベストアンサー

まず、全部 積分定数Cが抜けています。また、積分の前につけるものは “インテグラル”と呼び、そう書いて変換すれば出ます ∫

積分の定義というか微分の定義というかに戻って欲しいんですが
∫f(x)dx=F(x)の時、
(d/dx)F(x)=f(x)です。

また、微分で
(d/dx)x^a=a*x^(a-1)になります …高校数学の数3で習うかと
よって、
∫x^(a-1)dx=(1/a)*x^a+C
→∫x^adx={1/(a+1)}*x^(a+1)+C
となります。

つまり、
∫1/x^2 dx=∫x^(-2)dx
={1/(-2+1)}*x^(-2+1)+C
=-x^(-1)+C
=-1/x+C

です。

Qn次導関数の求め方

x^3・sinxのn次導関数を求めたいんですけどやり方がよくわかりません。これはライプニッツの公式をつかうらしいんですけど…帰納法じゃできないんですか?あとよろしければライプニッツを使った解法もおしえてもらえればうれしいです。よろしくお願いします。

Aベストアンサー

合成関数の微分の公式
D(fg)=D(f)g+fD(g)
から何回か微分を行い,結果なり関係式なりを適当に推測して,それを帰納法を使って証明する方法でも別に問題ありません.

ライプニッツの公式は,2項定理
(a+b)^n=Σ[k=0,n]C[n,k]a^k*b^(n-k) (C[n,k]はnCkのこと・・・掲示板では見にくいので)
の「微分バージョン」みたいなもので
D^(n)(fg)=Σ[k=0,n]C[n,k]D^(k)f*D(n-k)g (D^(k)はk階微分のこと)---(*1)
というように合成関数の微分公式をn階微分まで拡張したものです.この公式を使えば推測して帰納法で証明しなくても一気に結果を求めることができます.

とはいうものの,実際この公式を適用するためには(*1)の右辺を見ればわかるように,個々の関数fとgについての1~n階微分までの情報はあらかじめ知っている必要があります.
この問題では個々の関数の微分は下のように
x^3 → 3x^2 → 6x→ 6 →0(以降すべて0)
sin(x) → cos(x) → -sin(x) → -cos(x) → …(以降繰り返し)---(*2)
簡単に求められます.しかもx^3の方は4次以上の微分は0なので,f=x^3, g=sin(x)とおくと(*1)の右辺でk=4以降の項は出てきません.すなわち,
D^(n)(x^3*sin(x))=x^3*D^(n)(sin(x))+C[n,1]*3x^2*D^(n-1)(sin(x))+C[n,2]*6x*D^(n-2)(sin(x))+C[n,3]*6*D^(n-3)(sin(x))
となります.sin(x)の微分は(*2)よりまとめて
D^(n)(sin(x))=sin(x-nπ/2)
とかけますので,
D^(n-1)(sin(x))=sin(x-nπ/2+π/2)=cos(x-nπ/2)
D^(n-2)(sin(x))=cos(x-nπ/2+π/2)=-sin(x-nπ/2)
・・・
のように変形しておけば,最終的に
D^(n)(x^3*sin(x))=x^3*sin(x-nπ/2)+3nx^2*cos(x-nπ/2)-3n(n-1)x*sin(x-nπ/2)-n(n-1)(n-2)*cos(x-nπ/2)
となることがわかります.

合成関数の微分の公式
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ライプニッツの公式は,2項定理
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Qy=x^(1/x) の 微分

y=x^(1/x) の微分を教えてください。
簡単な問題なのにすいません。

Aベストアンサー

対数微分法で微分できます。まずは両辺の対数をとって

y = x^(1/x)
→log|y| = log|x^(1/x)|
→log|y| = (1/x)log|x|

このlog|y| = (1/x)log|x|の両辺をxで微分します。

まず左辺をxで微分することを考えます。
f(x) = log|x|とおき、g(x) = yとおくと、
log|y| = f(g(x))
ですので、

(log|y|)'
={ f(g(x)) }'
= f'(g(x)) × g'(x)

です。f'(x) = 1/xですのでf'(g(x)) = 1/y、
g'(x) = (y)' = y'より、
(log|y|)'
= f'(g(x)) × g'(x)
= y' / y

です。
y = x^(1/x)を代入すると

(log|y|)'
= y' / y
= y' / { x^(1/x) }

となります。

(log|y|)' = { (1/x)log|x| }'
→y' / { x^(1/x) } = { (1/x)log|x| }'

この両辺に{ x^(1/x) }をかけると

y' = { x^(1/x) } × { (1/x)log|x| }'

となります。
なので{ (1/x)log|x| }'の計算をすればy'が求まります。
積の微分で解いてください。

対数微分法で微分できます。まずは両辺の対数をとって

y = x^(1/x)
→log|y| = log|x^(1/x)|
→log|y| = (1/x)log|x|

このlog|y| = (1/x)log|x|の両辺をxで微分します。

まず左辺をxで微分することを考えます。
f(x) = log|x|とおき、g(x) = yとおくと、
log|y| = f(g(x))
ですので、

(log|y|)'
={ f(g(x)) }'
= f'(g(x)) × g'(x)

です。f'(x) = 1/xですのでf'(g(x)) = 1/y、
g'(x) = (y)' = y'より、
(log|y|)'
= f'(g(x)) × g'(x)
= y' / y

です。
y = x^(1/x)を代入すると

(log...続きを読む

Qlim[n→∞](1-1/n)^n=1/e について

こんにちは

lim[n→∞](1+1/n)^n=e
が成り立つことは簡単に示せるのですが、
lim[n→∞](1-1/n)^n=1/e
となることの証明はどのようにすればいいのでしょうか?
ご存知の方がいらっしゃいましたらご回答よろしくお願いします。

Aベストアンサー

e=lim(1+t)^(1/t)   〔t→0〕
がeの定義なので、(t→+0でもt→-0でもOK)
-1/n=tとおきます。

n→∞のとき、t→-0なので、
(与式)=lim(1+t)^(-1/t)   〔t→-0〕

これを変形すると、
=lim{(1+t)^(1/t)}^-1   〔t→-0〕
=e^-1
=1/e

高校の範囲なら、この証明で大丈夫です。

Q行列の消去法のコツなど教えてください。

只今、学校にて行列を習っているわけですが、最近行列を使った消去法を習い始めました。

たとえば

3  1 -7  0
4 -1 -1  5
1 -1  2  2

このような行列があったとします。
習った方法は、
(1)一つの行に0でない数をかける。
(2)一つの行にある数をかけたものを他の行に加える。
(3)二つの行を交換する。

1  0  0  3
0  1  0  5
0  0  1  2
このような式に変形してx=3,y=5,z=2みたいな感じにするということでしたが、

今回教えていただきたいことは、
→1度に前述の3つの式を何回も使っていいのか。
→うまく変形するコツ。

の二つです。

やり方自体はなんとなくわかるのですが、単位行列に持っていくまでの手順がイマイチ難しくわからないので、よろしければご教授願います。

2月頭辺りからテストなのでズバリを突いて欲しいと思います。

よろしくお願いします。

Aベストアンサー

→1度に前述の3つの式を何回も使っていいのか。
何回でも使っていいです。1+1=2と1+1+1-1+1-1+1-1=2が等価なのと同じことと思ってください。

→うまく変形するコツ。
”うまく”はないですけど、初心者向けの解法のコツみたいなものとして、参考までに。
(1)n列目のn行を1にする。
(2)「n列の他の行の数」を、(1)で作った1に-(「n列の他の行の数」)をかけてたして0にする。
(3)単位行列になるまで(1)~(2)を繰り返す。
※nは1~行列の次数(2次正方とか3次正方とかの2,3)です。

Qe^-2xの積分

e^-2xの積分はどうしたらよいのでしょうか…。e^xやe^2xsinxなどはのってるのですがこれが見つかりません。お願いします。

Aベストアンサー

いささか、思い違いのようです。

e^-2x は、 t=-2x と置いて置換してもよいけれど、牛刀の感がします。

e^-2x を微分すると、(-2)*( e^-2x )となるので、

e^-2x の積分は、(-1/2)*( e^-2x )と判明します。

Q∫1/(x^2+1)^2 の不定積分がわかりません

∫1/(x^2+1)^2 の不定積分がわかりません

答えは

( 1/2 )*( (x/(x^2+1)) + tan-1(x) )

となるようですが、過程がまったくわかりません。
部分積分、置換積分、部分分数分解をためしてみましたが、できませんでした・・・。

見づらく申し訳ありません。画像を参照していただければと思います。
よろしくおねがいします。

Aベストアンサー

1/(x^2+1)^2 = (x^2+1)/(x^2+1)^2 - x^2/(x^2+1)^2
= 1/(x^2+1) - (1/2) x・(2x)/(x^2+1)^2
と分解しよう。

∫{ x・(2x)/(x^2+1)^2 }dx は、
∫{ (2x)/(x^2+1)^2 }dx が容易であることを用いて、
部分積分する。

∫{ 1/(x^2+1) }dx は、arctan の定義式だから、
知らなければどうしようもない。
(x=tanθ と置くのは、結論の先取で好ましくない。)

Qロピタルの定理を使った問題について

この3つ問題が分かりませんでした。 教えてください宜しくお願いします。
途中まで解いたのですが、そこから進みません。回答と違ってしまいます。

(1)lim[x→∞] logx/e^x

=(1/x) / e^x

(2)lim[x→+0] x logx^2

= (logx^2) / (1/x)

(3)lim[x→∞] xe^(1-x)


全ての回答がゼロです。

Aベストアンサー

(1)
lim[x→∞] (log x)/e^x = (1/x) / e^x じゃなく、
lim[x→∞] (log x)/e^x = lim[x→∞] (1/x) / e^x でしょう?

lim[x→∞] (1/x) = 0, lim[x→∞] e^x = ∞ なのだから、
lim[x→∞] (1/x) / e^x = 0 です。
ロピタルの定理は、不用意に便利過ぎて、摘要条件や
ひどい場合は使い方すら理解せずに、何となく運用している人が
少なくありません。だから、必要も無いときにやたらと使うな…
と、機会あるごとに書いているのですが。

この例も、
lim[x→∞] (log x)/e^x = lim[x→∞] { (log x)/x }{ x/e^x }
で処理できます。

(2)
lim[x→+0] x log(x^2) = 2 lim[x→+0] x log(x)
= 2 lim[y→∞] -y/e^y  ←{y = -log(x) で置換}

(3)
lim[x→∞] xe^(1-x) = lim[x→∞] xe/e^x

lim[x→∞] x/e^x が解らなければ重篤ですが、
証明を要するということであれば、e^x のマクローリン展開を
途中で打ち切って e^x < 1 + x + x^2/2 から
0 < x/e^x < x/(1 + x + x^2/2) とハサミウチにできます。

lim[x→∞] (log x)/x = lim[z→∞] z/e^z も、同じことですね。

(1)
lim[x→∞] (log x)/e^x = (1/x) / e^x じゃなく、
lim[x→∞] (log x)/e^x = lim[x→∞] (1/x) / e^x でしょう?

lim[x→∞] (1/x) = 0, lim[x→∞] e^x = ∞ なのだから、
lim[x→∞] (1/x) / e^x = 0 です。
ロピタルの定理は、不用意に便利過ぎて、摘要条件や
ひどい場合は使い方すら理解せずに、何となく運用している人が
少なくありません。だから、必要も無いときにやたらと使うな…
と、機会あるごとに書いているのですが。

この例も、
lim[x→∞] (log x)/e^x = lim[x→∞] { (log x)/x }{ x/e^x }
で処理できます。...続きを読む