前日、学校でニュートンの運動方程式について
習ったのですが、ある問題で
 ニュートンの運動方程式を、ベクトル表示、デカルト表示、2次元の極座標表示で書けとあり、どういうことかよくわかりません。この3つはどのようにかくのですか? どなたか教えていただけませんか?よろしくお願いします。

A 回答 (2件)

ニュートンの運動方程式


取り敢えず式のみ。

ベクトル表示で
   →   →
md^2r/dt^2=F
(rとFはベクトルで上に→が付いている)

デカルト表示で
md^2x/dt^2=Fx
md^2y/dt^2=Fy
md^2z/dt^2=Fz   →
ただし、Fx,Fy,Fzは力Fのx,y,z成分です。

2次元の極座標で
mAr=Fr
mAθ=Fθ
ただし、
Ar=d^2r/dt^2-r(dθ/dt)^2
Aθ=2dr/dt・dθ/dt+rd^2θ/dt^2
   →
Frは力Fの動径方向の成分
   →
Fθは力Fの動径方向と直角な方向の成分

です。
大学の図書館に行き、教養の物理の本に書いてあります。
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ベクトル表示


m(a^→) = (F^→)
(a^→)は上付きバー

デカルト表示
m(a_x) = F_x
m(a_y) = F_y
m(a_z) = F_y
(a_z)は下つきz

2次元の極座標表示
m(a_r) = F_r
m(a_θ) = F_θ
r:半径、θ:角度

かな?
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x=rcosθ
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というところからスタートしてます
つまりrベクトルの先端の成分がx,yから始まっています

x=rcosθ
y=rsinθ
から

x''cosθ+y''sinθ=r''-rθ'^2=r''・er
y''cosθ-x''sinθ=2r'θ'+rθ''=r''・eθ
erはr方向の単位ベクトル eθはそれとは垂直な方向の単位ベクトルです

まで行ってつまってしまいました

しかし最後は
Fr=m(r''-rθ'^2)
Fθ=m(2r'θ'+rθ'')
になっています

それで答えとしてはあってるみたいですが

そうなるとr''-rθ'^2と=2r'θ'+rθ''がaということになります
これはどうしてそうなるのでしょうか?




'は微分記号です

Aベストアンサー

加速度aはベクトルです。2次元平面で考えていれば2つの成分を持っています。
直交座標系で考えれば2つの成分a1,a2が決まります。
x-y座標というのは固定した直交座標系です。成分はax,ayと表すことができます。
極座標というのは回転座標系ですがやはり、直交座標系です。rの方向(rの増える方向)とそれに垂直な方向(θの増える方向)の2つです。成分はar、aθになります。常に座標が直交しているという関係は維持しているのですが質点と共に回転しています。(これはもうすでに他の回答でも指摘されていることです。でも極座標に変換しても直交した2つの座標で表していることには違いはないというところが押さえられていないので不思議に思うのではないでしょうか。r方向だけの一つになると思っているのではないでしょうか。)

Fr=m(r''-rθ'^2)
Fθ=m(2r'θ'+rθ'')
これは互いに直交する2つの方向についての運動方程式です。
(これを導くのを「証明」とは言いません。座標を変換して導いた表現だというだけです。)

力がrの方向にしか働いていない場合(万有引力やクーロン力の場合)などではFθ=0になります。
この場合、(2r'θ'+rθ'')=0 です。rをかけると(r^2θ')'=0 になります。
r^2θ'=一定 ということです。これはケプラーの第2法則(=面積速度一定)と同じものです。中心力でさえあれば出てくるものですから万有引力に限りません。

円運動であるという指定があれば r=一定 ですから r'=0、r"=0です。
Fr=-mrθ'^2
Fθ=mrθ''
円の中心に向かって働く力と円周に沿っての方向に働く力の2つが存在していることが分かります。
等速円運動であるという条件があれば θ"=0 になりますから Fθ=0 になります。

(これは慣性座標系ではありません。原点がOになっています。存在する力は向心力です。座標の原点を質点に移せば慣性座標系になります。)

加速度aはベクトルです。2次元平面で考えていれば2つの成分を持っています。
直交座標系で考えれば2つの成分a1,a2が決まります。
x-y座標というのは固定した直交座標系です。成分はax,ayと表すことができます。
極座標というのは回転座標系ですがやはり、直交座標系です。rの方向(rの増える方向)とそれに垂直な方向(θの増える方向)の2つです。成分はar、aθになります。常に座標が直交しているという関係は維持しているのですが質点と共に回転しています。(これはもうすでに他の回答でも指摘されて...続きを読む

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詳しい解説お願いします。

Aベストアンサー

r↑=xex↑+yey↑

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m(d^2r↑/dt^2=F↑

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m(d^2x/dt^2)ex↑+m(d^2y/dt^2)ey↑=Fxex↑+Fyey↑

m(d^2x/dt^2)=Fx

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r↑=xex↑+yey↑    ここからどうすればよいのですか?

詳しい解説お願いします。

Aベストアンサー

x = x(t), y = y(t)とするね。

r↑ = x・ex↑ + y・ey↑
dr↑/dt = (dx/dt)・ex↑ + (dy/dt)・ey↑      (※)
d^2r↑/dt^2 = (d^2x/dt^2)・ex↑ + (d^2y/dt^2)・ey↑
そして、このd^2r↑/dt^2を運動方程式の左辺のd^2r↑/dt^2に代入すれば、いいんじゃないかな。


(※)
dr↑/dt = d(x・ex↑)/dt + d(y・ey↑)/dt
= (dx/dt)・ex↑ + x・(dex↑/dt) + (dy/dt)・ey↑ + y・(dey↑/dt)
となるのだけれど、
 dex↑/dt = 0↑
 dey↑/dt = 0↑
なので、
 dr↑/dt = (dx/dt)・ex↑ + (dy/dt)・ey↑

まぁ、ここまで詳しく書かなくてもいいと思うけれどね。

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運動方程式は、ベクトル形式でm(d^2r↑(t)/dt^2)=F↑(r↑(t),t)と表せる。

x軸、y軸方向それぞれの単位ベクトルをex↑,ey↑とする。

動径方向、角度方向の、それぞれの単位ベクトルをer↑、eθ↑とする。

er↑、eθ↑をex↑,ey↑、θでそれぞれあらわせ。

全くわかりません。

詳しい解説お願いします。

Aベストアンサー

まず、er↑は原点から質点のある場所に向かうベクトルの単位ベクトル。
eθ↑は、r↑とx軸がなす角度θが変化する方向への(単位)ベクトルで、結局のところr↑に対して直交する方向を向く。
別の見方をするなら、XY座標を例えばθだけ回転させてx軸がr↑の方向に一致するようにした場合に、ex↑がer↑になり、ey↑がeΘ↑になる。
これを踏まえて、er↑とeΘ↑をex↑とey↑とθであらわせばいいが、図を描くのに手間がかかるので、人の褌で相撲をとらせてもらいます。リンク先の図で、θを90度、φをθとすればあなたの問題と同じ状況になります。
http://www.th.phys.titech.ac.jp/~muto/lectures/Gmech08/chap05.pdf


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