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力のモーメントの符号について質問があります。
私の使っている教科書「工業力学 入江敏博著」には「同一の平面内に働く時計回りのモーメントの符号を負、反時計回りを正」と書いてあるのですが、他の教科書やネットを見ていると「時計回りが正、反時計回りが負」と記述されているのも見られます。計算上の都合だけで、どちらでもかまわないのでしょうか?どちらがより一般的なのでしょうか。

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A 回答 (3件)

もともと,構造力学,特に工学系の初等力学では,時計回りが正,反時計回りが負ですが,マトリックスを用いることを前提とした力学以降では,時計回りが負,反時計回りが正とするのが,日本の慣習です。



つまり,日本の工業力学等の初等力学の分野では,「時計回りが正、反時計回りが負」というXY平面座標系で問題を解いていましたが,コンピュータの発達等で,マトリックスを用いて解く必要が生じて,逆になりました。
マトリックス力学では,3次元を視野に於いていますので,平面を表現する場合は,#1さんが(2)で説明されているXYZ座標系(ガウスの右手座標系と言います。x右正,y上正,z手前正)のXY方向を用います。現在の構造力学の最先端は,このマトリックス構造力学が主なのですが,初等(多分,工業力学,構造力学1あたりの教科書)では慣習的に以前の使い方をしています。
近い将来,「同一の平面内に働く時計回りのモーメントの符号を負、反時計回りを正」に統一されるのではないでしょうか。と言いながら,もう30年くらい過ぎて仕舞いましたが,未だに統一されていません。困ったものです。
結局,#1さんの言われているとおり,その教科書の定義の問題であって,中身は同じですが,この定義の部分を常にチェックしていなければならないという,変な状況になっているのです。どちらも正しくどちらも一般的と言わざるを得ないのが現状で,時と場合によって,うまく使い分けるしかないようです。
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この回答へのお礼

ご丁寧な解説、ありがとうございました。どうして符号が統一されていないのか疑問だったのでとてもすっきりしました。座標の問題なのですね・・・。定義の部分を確認し、述べながら問題を解いていこうと思います。
このたびは本当に有難うございました。

お礼日時:2005/05/31 08:03

ちょっと記憶があいまいなのですが、材料力学の世界では「時計回りが正」になっていたような気がします。



ベクトルを用いて力を表現する場合は「反時計回りを正」としたほうが自然なので、私は学生時代はずっと「反時計回りが正」できました。(社会人になってからはモーメントの計算をしなくなりました。)
私が大学1年で使った力学の教科書も「反時計回りが正」、ロボット工学の本でも「反時計回りが正」になっていますね。

とうことで、「反時計回りが正」に一票。
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この回答へのお礼

私の使っている材料力学の本では時計回りが正になっていたので、混乱してしまったのですが、同じ材料力学でも教科書によって定義が違うのですね。ありがとうございました。

お礼日時:2005/05/31 08:05

質問者様の事情がわからないので、慎重に答えます。

よくわからない場合は補足してください。

(1)「力のモーメントは空間のベクトルだから、単純に正負に区別できない」というのが、たぶん本来の回答です。力のモーメントの定義は、ベクトルの外積を使って、
 N = r × F
です。rは支点から作用点に向かう位置ベクトル、Fは作用点に働く力です。演算「×」は外積といいます。Nの大きさは、|r||F|sinθです。θはrとFの間の角です。Nの向きは、rからFに向かって近いほうの角に回転させたとき、右ねじが進む方向と定義します。Nは、rとFのどちらにも垂直です。

(例)紙面に図が書いてあって、rが右向き、Fが下向きとすると、時計回りの力のモーメントになります。このとき、Nの向きは、紙面の向こう側に向かう向きになります。反時計回りの力のモーメントの場合は、Nの向きは、紙面から手前に向かう向きになります。

(2)力のモーメントは、ベクトルの成分に分けて考えることができます。
 右手の親指・人差し指・中指をフレミングの法則のように垂直にしてそれぞれx,y,z軸とする座標系で考えます。
 紙面の右方向をx軸、紙面の上方向をz軸として考えている場合は、紙面内で回転する力のモーメントはy軸方向になります。上の(例)とあわせてみると、時計回りはNyが正、反時計回りはNyが負となります。

 一方、紙面の右方向をx軸、紙面の上方向をy軸として考える場合は逆です。時計回りはNzが負、反時計回りはNzが正となります。

(3)そもそも、紙に実験装置か何かの絵が描いてあったとして、その装置を裏側から見れば回転は逆になるのですから、座標軸がない限り回転方向の正負は決められません。

(3)以上のようなことですから、紙面に書かれた図で力のモーメントを考える場合は、上のように座標軸を決めるか、または時計回りと反時計回りのどちらを正にするのかを、まず宣言する必要があります。

「力のモーメントは時計回りを正とする」と宣言すれば、以後の計算はそれに従います。宣言していない場合は、式の形から見分けるしかありません。

分野によっては、何か習慣があるかもしれません。そのあたりの事情はわかりません。
ご質問の趣旨に合わなければ申し訳ありません。補足をお願いします。
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この回答へのお礼

とてもご丁寧な解説、本当に有難うございました。外積がいまひとつ理解していないので、復習したいと思います。ちゃんと宣言する事を面倒くさがらずにきちんとしていきたいと思います。

お礼日時:2005/05/31 08:09

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Qせん断力と曲げモーメントの符号について

せん断力と曲げモーメントの符号を以下のルールで考え以下の2つの問題を考えると私の計算では正解と合いません。問題1は正解ですが、同じやり方で問題2を解くとどうしても合いません。どなたか教えてください。

<ルール>
座標軸は右向きをx軸の正方向、下向きをy軸の正方向とする。
部材を仮想的に分割する分割面は外向きの法線ベクトルがx軸の正方向を向く面を分割面x+とする。逆をx-とする。面の符号と力の符号が一致すればせん断力の符号は+、そうでなければ-となる。
曲げモーメントは、はりの上面が凹となる場合を+、はりの上面が凸となる場合を-とする。

<問題1>
等分布加重wを受ける方持ちはりのB.M.DおよびS.F.Dを求めよ。

<回答>
原点をはりの自由端に置く。x点のつりあい式を作る。原点からx点までの全荷重はwx。荷重はx/2の距離に集中して作用すると考えると曲げモーメントMは
x点より自由端側の等分布荷重に対抗する曲げモーメントははりの上面を凸とするので-となり、
M=-wx^2/2
せん断力Fは等分布荷重と逆向きに働くので-方向となり、
F=-wx

<問題2>
等分布加重wを受ける両端支持はり(はりの長さはL)のB.M.DおよびS.F.Dを求めよ。

<回答>
支持点をA、B点として原点をA点とする。
支持点A、Bの反力RA、RBはRA=RB=wL/2(計算省略)。
曲げモーメントMは
A点の反力によるモーメントに対抗する曲げモーメントははりの上面を凹とするので+、等分布荷重によるモーメントに対抗する曲げモーメントははりの上面を凸とするので-となり合わせて、
M=RA・x-wx^2/2
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F=-RA+wx

問題2の正解は
M=-RA・x+wx^2/2
F=RA-wx

せん断力と曲げモーメントの符号を以下のルールで考え以下の2つの問題を考えると私の計算では正解と合いません。問題1は正解ですが、同じやり方で問題2を解くとどうしても合いません。どなたか教えてください。

<ルール>
座標軸は右向きをx軸の正方向、下向きをy軸の正方向とする。
部材を仮想的に分割する分割面は外向きの法線ベクトルがx軸の正方向を向く面を分割面x+とする。逆をx-とする。面の符号と力の符号が一致すればせん断力の符号は+、そうでなければ-となる。
曲げモーメントは、はりの上面...続きを読む

Aベストアンサー

ピンぼけかもしれませんが
想い出しながら、下のように半信半疑で解いてみました。
本当の正解が早く見つかるといいですね、頑張ってください。

許容されるなら、ルールに次のことを補足して考えました。
****************************************************************
仮想点において、下向き荷重は+ 上向き荷重(反力)は-
        時計まわり(右まわり)の曲げモーメントは+ 反時計は- とする。
****************************************************************
問題1
荷重による曲げモーメントは反時計まわりに働くから-
M=-wx^2/2
荷重によるせん断力は下向きに働くから+
F=+wx

問題2
反力による曲げモーメントは時計まわりに働くから+
荷重による曲げモーメントは反時計まわりに働くから-
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荷重によるせん断力は下向きに働くから+
F=-RA+wx

ピンぼけかもしれませんが
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本当の正解が早く見つかるといいですね、頑張ってください。

許容されるなら、ルールに次のことを補足して考えました。
****************************************************************
仮想点において、下向き荷重は+ 上向き荷重(反力)は-
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****************************************************************
問題1
荷重による曲...続きを読む

Q材料力学 モーメントの向き、符号について

画像にある問題(両端の梁は壁に固定)なのですが、モーメントの向きがなぜこのように置くのかが分かりません。

わたしが習ったのは、モーメントは梁(はり)が下向きに凸となるような場合は、画像にある両端のモーメントの向きは逆になると思います。
画像の力の加わり方方して、明らかに梁は下向きに凸ですよね。

なのになぜ画像のようにモーメントの向きを置くのでしょうか??

しかも答えはMo=ql^2/12となっているので正だから、このモーメント
の向きで正しいということですよね。

なんだか、モーメントの符号を気にしだしたら、訳が分かんなくなって
しまいました。教授に聞いても、なんだか分かりませんでした。
どなたか教えて下さい。お願いします。

Aベストアンサー

 梁に働く荷重は等分布荷重q/単位長さ当たり、合力の大きさql。固定端A,Bにおける反力をそれぞれRa,Rbとおく。これは、合力qlが固定端に作用する結果、力の釣り合いから、固定端が梁に作用する力です。
 
 Ra+Rb=ql   ∴Ra=Rb=ql/2
 
Ra,Rbは合力qlとは向きが反対です。次に述べるようにモーメントの場合も同様に考えます。
 
 荷重qlが作用すると固定端にはこれと釣り合うモーメントMa, Mbが生ずる。これを固定モーメントと言います。対称であるのでMa=Mb。不静定問題であるので大きさは簡単には求められません。2番目の図でのモーメントの記号はこの固定モーメントです。
 
 材料力学での「下向きに凸となるような・・・・」の表現は、荷重によって梁の断面に生ずる曲げモーメントと変形の関係です。物理や力学でのモーメントと曲げモーメントの符号の表現は異なるので注意が必要です。図の記号のモーメントは物理や力学でのモーメントと考えた方が理解しやすいです。
 
 材料力学の曲げモーメントでは、例えば、長さxの梁に「下向きに凸となるような曲げモーメント」が作用する場合、左側の端面には時計方向のモーメント、右側の端面には反時計方向のモーメントが作用することになります。距離の原点が左側にあれば、右側の端面の反時計方向のモーメントを曲げモーメントMxと置いています。

 梁に働く荷重は等分布荷重q/単位長さ当たり、合力の大きさql。固定端A,Bにおける反力をそれぞれRa,Rbとおく。これは、合力qlが固定端に作用する結果、力の釣り合いから、固定端が梁に作用する力です。
 
 Ra+Rb=ql   ∴Ra=Rb=ql/2
 
Ra,Rbは合力qlとは向きが反対です。次に述べるようにモーメントの場合も同様に考えます。
 
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QNをkgに換算するには?

ある試験片に40kgの重りをつけた時の荷重は何Nをかけてあげると、重り40kgをつけたときの荷重と同等になるのでしょうか?一応断面積は40mm^2です。
1N=9.8kgfなので、「40kg=N×0.98」でいいのでしょうか?
ただ、式の意味がイマイチ理解できないので解説付きでご回答頂けると幸いです。
どなたか、わかる方よろしくお願いします。

Aベストアンサー

こんにちは。

kgfはSI単位ではないですが、質量の数値をそのまま重さとして考えることができるのがメリットですね。


>>>
ある試験片に40kgの重りをつけた時の荷重は何Nをかけてあげると、重り40kgをつけたときの荷重と同等になるのでしょうか?

なんか、日本語が変ですね。
「ある試験片に40kgの重りをつけた時の引っ張りの力は何Nの力で引っ張るのと同じですか?」
ということですか?

・・・であるとして、回答します。

40kgのおもりなので、「おもりにかかる重力」は40kgfです。

重力は万有引力の一種ですから、おもりにも試験片にも、地球からの重力はかかります。
しかし、試験片の片方が固定されているため、見かけ、無重力で、試験片だけに40kgfの力だけがかかっているのと同じ状況になります。

試験片にかかる引っ張り力は、

40kgf = 40kg×重力加速度
 = 40kg×9.8m/s^2
 = だいたい400N

あるいは、
102グラム(0.102kg)の物体にかかる重力が1Nなので、
40kg ÷ 0.102kg/N = だいたい400N


>>>1N=9.8kgfなので、「40kg=N×0.98」でいいのでしょうか?

いえ。
1kgf = 9.8N
ですね。


>>>一応断面積は40mm^2です。

力だけでなく、引っ張り応力を求めたいのでしょうか。
そうであれば、400Nを断面積で割るだけです。
400N/40mm^2 = 10N/mm^2 = 10^7 N/m^2
1N/m^2 の応力、圧力を1Pa(パスカル)と言いますから、
10^7 Pa (1千万パスカル) ですね。

こんにちは。

kgfはSI単位ではないですが、質量の数値をそのまま重さとして考えることができるのがメリットですね。


>>>
ある試験片に40kgの重りをつけた時の荷重は何Nをかけてあげると、重り40kgをつけたときの荷重と同等になるのでしょうか?

なんか、日本語が変ですね。
「ある試験片に40kgの重りをつけた時の引っ張りの力は何Nの力で引っ張るのと同じですか?」
ということですか?

・・・であるとして、回答します。

40kgのおもりなので、「おもりにかかる重力」は40kg...続きを読む

Q台形の重心を求めるには

上底a 下底b 高さ h とした場合、台形の重心をもとめる公式は、 (2a+b)/(a+b)*h/3 でよろしいでしょうか?

Aベストアンサー

計算してみました。
面積
 A=(a+b)h/2
下底周りの断面一次モーメント
 S=a・h^2/2 + (b-a)h^2/6
  =h^2(2a+b)/6

重心位置、S/Aですから、
 G=(2a+b)/(a+b) ・ h/3

合ってますね。

Q大学院別のTOEICの合格点を教えてください。

大学院入試でTOEICの点数を英語の点数として換算している大学院が多くあると知ったのですが大学院別にどのぐらいが合格点なのでしょうか?
東大の院生の平均点が730というデータはネットでみたのですが他のいろいろな大学院について教授からや友達からの情報でもいいので参考にさせてください。

Aベストアンサー

このサイトに、大学院入試でTOEIC(R)Testを活用する52の大学院が、
国公立、私立別で掲載されており、
ある一定のスコアで、英語の独自試験免除など、詳しい情報が見れます!

参考URL:http://www.toeicclub.net/graduateschool.html

Q積分で1/x^2 はどうなるのでしょうか?

Sは積分の前につけるものです
S dx =x
S x dx=1/2x^2
S 1/x dx=loglxl
まではわかったのですが
S 1/x^2 dx
は一体どうなるのでしょうか??

Aベストアンサー

まず、全部 積分定数Cが抜けています。また、積分の前につけるものは “インテグラル”と呼び、そう書いて変換すれば出ます ∫

積分の定義というか微分の定義というかに戻って欲しいんですが
∫f(x)dx=F(x)の時、
(d/dx)F(x)=f(x)です。

また、微分で
(d/dx)x^a=a*x^(a-1)になります …高校数学の数3で習うかと
よって、
∫x^(a-1)dx=(1/a)*x^a+C
→∫x^adx={1/(a+1)}*x^(a+1)+C
となります。

つまり、
∫1/x^2 dx=∫x^(-2)dx
={1/(-2+1)}*x^(-2+1)+C
=-x^(-1)+C
=-1/x+C

です。

Q偏微分の記号∂の読み方について教えてください。

偏微分の記号∂(partial derivative symbol)にはいろいろな読み方があるようです。
(英語)
curly d, rounded d, curved d, partial, der
正統には∂u/∂x で「partial derivative of u with respect to x」なのかもしれません。
(日本語)
ラウンドディー、ラウンドデルタ、ラウンド、デル、パーシャル、ルンド
MS-IMEはデルで変換します。JIS文字コードでの名前は「デル、ラウンドディー」です。

そこで、次のようなことを教えてください。
(1)分野ごと(数学、物理学、経済学、工学など)の読み方の違い
(2)上記のうち、こんな読み方をするとバカにされる、あるいはキザと思われる読み方
(3)初心者に教えるときのお勧めの読み方
(4)他の読み方、あるいはニックネーム

Aベストアンサー

こんちには。電気・電子工学系です。

(1)
工学系の私は,式の中では「デル」,単独では「ラウンドデルタ」と呼んでいます。あとは地道に「偏微分記号」ですか(^^;
その他「ラウンドディー」「パーシャル」までは聞いたことがあります。この辺りは物理・数学系っぽいですね。
申し訳ありませんが,あとは寡聞にして知りません。

(3)
初心者へのお勧めとは,なかなかに難問ですが,ひと通り教えておいて,式の中では「デル」を読むのが無難かと思います。

(4)
私はちょっと知りません。ごめんなさい。ニックネームは,あったら私も教えて欲しいです。

(2)
専門家に向かって「デル」はちょっと危険な香りがします。
キザになってしまうかどうかは,質問者さんのパーソナリティにかかっているでしょう(^^

*すいません。質問の順番入れ替えました。オチなんで。

では(∂∂)/

Q加速度と角加速度の関係について

速度と角速度の関係は
中心から質点までの距離がr,質点の速度がv,とすると
角速度ω=v/r [rad/s]
になると思うのですが,
加速度と角加速度の関係は
中心から質点までの距離がr,質点の加速度がa,とすると
角速度α=a/r [rad/s^2]
となるのでしょうか?
ご教示よろしくお願い致します。

Aベストアンサー

半径rが定数とすれば、その通りです。
加速度、角加速度はそれぞれ速度、角速度の単位時間の変化量(時間微分)ですので、加速度は「a=dv/dt」、角加速度は「α=dω/dt」と表せます。
同時に、角速度の式「ω=v/r」の両辺を時間で微分すれば「dω/dt=(dv/dt)/r」となり、この式はすなわち「α=a/r」となります。
ただし半径rそのものが時間関数r(t)の場合はこの限りではありません。

Q断面二次モーメントと慣性モーメント

現在物体の慣性モーメントを求めようとしています.

そこで疑問が生じたので質問します.

材料力学では断面二次モーメント=慣性モーメント
となっています.

ですが慣性モーメントって∫r^2 dmですよね?

次元が全く違うしなぜ慣性モーメントなんでしょうか?

また慣性モーメントと断面二次モーメントの関係があれば教えてください

よろしくお願いします.

Aベストアンサー

そうですね。#3の説明は,理解するには良い方法と思いますが,厳密に言うと違います。

慣性モーメントの定義を分かりやすく簡単に説明すると,慣性力は物体が現在の状態を維持しようとする力,つまり,物体の運動や変形に抵抗する力の事です。モーメントというのは回転に関する運動率,つまり,回転に関する係数です。合わせて,回転に対する抵抗係数が慣性モーメントです。

係数ですから次元に関係はありません。と言うよりも,適用される状況によって異なった次元を持ってもかまわないと言うことです。

そこで,慣性モーメントとは,動力学では,回転運動に対する抵抗係数で,静力学では,回転変形(曲げ変形)に対する抵抗係数です。

J=∫r^2 dmやI=∫r^2 dAという算定式は,一般的に解釈すれば,「慣性モーメントは,物体が物体の任意の軸に関して,物体内の微小部分と軸から微小部分までの距離の2乗との積を全物体について合算した値である」と定義できると思います。
質量慣性モーメントの場合,この微小部分が微小質量であり,断面2次モーメントの場合微小部分が微小断面積になります。

そこで,
>「材料力学では」断面二次モーメント=慣性モーメント
という定義がされているものと思いますが,ここでは,「材料力学では」と言う条件が重要な部分だと思います。

でも,こんな説明をしている書籍を見たことはありません。断定的な説明をしていますが,私の理解している内容を文章にしただけですので,ほぼ合っていると思いますが,多少の違いがあるかもしれません。他の専門家の意見も聞いて頂くと良いと思います。

そうですね。#3の説明は,理解するには良い方法と思いますが,厳密に言うと違います。

慣性モーメントの定義を分かりやすく簡単に説明すると,慣性力は物体が現在の状態を維持しようとする力,つまり,物体の運動や変形に抵抗する力の事です。モーメントというのは回転に関する運動率,つまり,回転に関する係数です。合わせて,回転に対する抵抗係数が慣性モーメントです。

係数ですから次元に関係はありません。と言うよりも,適用される状況によって異なった次元を持ってもかまわないと言うことです。
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Qe^-2xの積分

e^-2xの積分はどうしたらよいのでしょうか…。e^xやe^2xsinxなどはのってるのですがこれが見つかりません。お願いします。

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いささか、思い違いのようです。

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e^-2x を微分すると、(-2)*( e^-2x )となるので、

e^-2x の積分は、(-1/2)*( e^-2x )と判明します。


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