もうひとつの焦点

Question

地球は太陽を一つの焦点とする楕円の軌道をまわっているんですよね？なら太陽のほかの焦点はどこにあるんですか？楕円の焦点って二つあるはずですよね？

Teleskope · Accepted Answer

　

　
>>　もうひとつの焦点はどこに？ <<

　軌道長半径　離心率　もう一つの焦点の場所
　　(10^6km)　　　　　　　　　(10^6km)
水　　58　　　　0.206　　　24
金　 108　　　　0.007　　　 1.5
地　 150　　　　0.017　　　 5.1
火　 228　　　　0.093　　　42
木　 778　　　　0.049　　　76
土　1429　　　　0.056　　160
天　2875　　　　0.046　　265
海　4505　　　　0.009　　　81
冥　5915　　　　0.249　 2946

　　　　　　　　　　　　　　　　↑
　太陽中心からの距離です┘

太陽の直径は 1.39(10^6km) ですから、地球軌道の焦点は 5.1÷1.39＝3.7倍、太陽を十円玉だとすればもう3枚つなげた場所です。

　その場所に何か特別なイベントがあるかと言えば何もないんです。発見者のケプラーも落胆して方針転換したそうです。ケプラーは「太陽が惑星を回す力は距離に反比例」までは推理してたので、もし生活が楽で続けていたらあるいは‥と言われてます。おいしい所（距離の2乗に反比例＝万有引力の法則）は次世代のニュートンの栄光に。
　
　

Teleskope · Answer

　

　
>>　離心率とは？ <<

　ひどい図ですが、横長の楕円だと思ってください。離心率 e は、中心から焦点 f までの長さを、長半径ａとの割合で表した数です。

　　e = f/a

です。
　　　　　　　　　　　ｙ　　　　　円の式　　x^2＋y^2 = 半径^2　
　　　　　　　　　　　｜　　　　楕円の式　x^2＋(1-e)y^2 = 長半径^2
　　　　　　　＿＿＿|＿＿＿　　　　
　　　　　／　　　　｜　　　　＼
　　　　｜　-f　　　｜　　　f　　|
　　　─┼─・──┼──・─┼─ x
　　　　｜　　　　｜　　　　　｜
　　　　　＼__＿＿＿|＿＿＿_／
　　　　　　　　　　　 |
　　　　　　　　　　　 |←ｆ →
　　　　　　　　　　　 |←───→
　　　　　　　　　　　　　長い方の
　　　　　　　　　　　　　　半径ａ

　真円　e = 0
　楕円　e = 0と1の間。大きいほど細長いです
　放物線　e = 1ちょうど。
　双曲線　e = 1より大きいすべて。

　こんな図形になります。

　
　

Teleskope · Answer

ご質問の話から少し外れた余談ですが、2体問題において「軌道の焦点は質点中心ではない」という発言がよくありますので この機会に正しておきます。　先に結論を書きますと； 例えば太陽と地球だけの２体系で、地球上から太陽を観測しても正確な楕円軌道です。地球中心が正確に焦点です。　同じく太陽上から地球を観測しても正確な楕円軌道で、太陽中心が焦点です。どちらの場合も中心ズレはありません。 共通重心が焦点になるのは 慣性座標系から見た場合だけです。（焦点は不動な点ですね。重心は不動です。この種の変換に慣れてる方にはお見通しな話ですが）



　　　　　　　　　m2　質点2
　　　　　　　　　●
　　　　　　　　 /
　　 　 　 　 　/ r2 上向き位置ベクトル
　　　　　 　 /
　　　　　　/
　　　　　・ 共通重心 
　 　 　 /
　　　 /　r1 下向き位置ベクトル
　　 ●
　　m1　質点1


　質点を m1,m2、その共通重心からの位置ベクトルを r1,r2、とすれば重心の定義から
　　m1r1+m2r2=0
すなわち
　　m1r1 =－m2r2　　…(1)
m1,m2 ともに >0 ゆえ r1とr2は異符号＝向きが正反対なことが分ります。　個々の運動方程式は、
　　F1 = m1(d2r1/dt2)　　…(2)
　　F2 = m2(d2r2/dt2)
ここで m1,m2 相互の万有引力だけなら力のベクトルは F1=-F2 ゆえ F2 の式は
　　-F1=m2(d2r2/dt2)
であり、このr2に(1)式を
　　r2=(-m1/m2)r1　　　　…(3)
として入れると
　　－F1 =－m1(d2r1/dt2)
となってF1の式と同じです。つまり；実は１つの運動方程式なのでした。



　次に；
座標系を、共通重心から 地球か太陽に移動しましょう。

　　　　　　　　　m2
　　　　　　　　　 ●
　　　　　　　　 / /
　　　　　　r2 / /
　　　　　 　 / /
　　　　　　/ / r　 m1を原点とする
　　　　　・ /　　　 m2の位置ベクトル　
　　　r1/ /
　　　 / /
　　　●
　　m1　

例えば m1 に乗れば m2 の位置ベクトル r は
　　r = r2＋(-r1) = (3式)－r1 = r1(m1+m2)/m2
これを r1＝の形にして (2)式に入れると、
　　F1 = ｛m1m2/(m1+m2)｝d2r/dt2
左辺は万有引力で大きさが
　　F1 = G m1m2/|r|^2
で方向は r と同一ゆえ、
これは『中心星が動かないとした場合の式』と同じ形です。それと同じ方法で解けて、例えば極座標で（aを楕円の長半径、eを離心率として）
　　|r| = a(1-e^2)/(1+ｅcosθ)　　…(4)
と、楕円そのものです。
つまり m1 から m2 を観測しても正確な楕円軌道が見えて、m1 自身はその焦点に居ます。これが結論です。
これを 例えば重心座標系から眺めた場合のみ、r が(1)式の分配率でもって r1 と r2 に「切り分けられて見える」ということでした。



　「 どちらの質点上から眺めても相手軌道は正確な楕円で、質点はその焦点。」

このことは案外知られてないようで、ケプラー問題の運動方程式を解ける人でも意外な顔をすることが多いです。特に地球中心の表現は天動説と誤解して怪訝な顔をするのが面白いです。多くは理解しますが、ただ「慣性座標系こそが 【 正しい 】 座標系であるから 全てはその立場から表現すべきである。それ以外は邪道だ。」と言わんばかりのドグマに固まってる人は無理でした。　円軌道上で生活してる人類の立場がないですｗ

　ということで、ケプラーの法則
『 地球の軌道は楕円形で太陽はその焦点の１つにある』は、（2体問題として） 近似ではなく正確な表現なのです。



　「紙にコンパスで円を書いてください。次に透明な板に直交座標を書いてください。その座標原点をさっきの紙の円周に沿って動かすと、コンパスの中心穴は 透明板上で円を描きますよね。これと全く同じことです。　では、透明板の原点を 円周より内側にして一回りしてください。コンパス穴の円は少し小さくなり、円周がもう一つの円を‥」　図形的には 共通重心座標はプライムなものではなく この程度のことです。

　慣性座標系だけを正当視するのは「ニュートン時代の絶対空間思想」と同類です。

pyon1956 · Answer

補足。正確に言えば太陽を一つの焦点としているのではなく、太陽の中に一つの焦点がある、といった方がよいです。多体問題なのでそれでも正確ではありませんが、地球と太陽だけの図を考えたとき、地球も太陽も同じ焦点のまわりを公転しているのが２体問題的には正確です。ただ太陽の質量がはるかに大きいため回転の中心が太陽の中にある、といったところ。
でも太陽の中心にあるわけではありません。

k-family · Answer

正しい回答はNo.1の方の方を参照して頂くとして(^^;)

おそらくお知りになりたいのはこういうことでは・・・

「もうひとつの焦点には何もありません。宇宙空間のある一点です。」

sassakun · Answer

どこにあると言われても，
東西南北で言えませんから難しいですね。

極端な図法ですが，一応参考URLに，地球の楕円軌道と，その焦点の説明がわかりやすく書いてあります。
「太陽から地球までの距離」
http://astro.ysc.go.jp/sun-earth-distance.html

次に，このサイトや他のデータから考えます。
遠日点距離は１億5210万1000km,近日点距離は１億4709万9000km
その差は500万2000kmとなります。
だから，もう１つの焦点は，遠日点方向に500万2000kmの場所にあるということになります。

では遠日方向とはどの方角かと言うと，
地球が遠日点を通る日付は年によって変わりますが，７月５日前後。
この方向にもう一つの焦点があるわけです。
これは，近日点の地球から太陽から見た方角と等しく，だいたい，山羊座の方角です。

まとめると，
太陽から見て山羊座の方角に約500万2000km離れた場所。
ということになります。

参考URL：http://astro.ysc.go.jp/sun-earth-distance.html

もうひとつの焦点

補足。

正しい回答はNo.1の方の方を参照して頂くとして(^^;)

どこにあると言われても，

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