明後日からテストで、非常に困ってます。次の問題が解けません。
A,B,C,D,E,の5文字をすべて使ってできる順列をABCDEを一番目として辞書式に並べる時、次の問に答えよ。
(1)55番目は何か。
(2)DBEACは何番目か。

私の考えでは、
(1)について

Aではじまるもの 4!=24通り
Bで  〃    4!=24通り
∴55番目はCではじまるものになる。
 CABDE 49番目
 CABED 50番目
 CADBE 51番目
 CABED 52番目
 CAEBD 53番目
 CAEDB 54番目
 CBADE 55番目        ∴CBADE

(2)
Aではじまるもの 24通り
Bで  〃    24通り
Cで  〃    24通り
DAで 〃    3!=6通り
DBの最初は79番目から
 DBACE 79番目
 DBAEC 80番目
 DBCAE 81番目
 DBCEA 82番目
 DBEAC 83番目
               ∴83番目

これで良いですか?

A 回答 (1件)

いいと思います。


1,2,3,4で考えたらもっと分かりやすかったかも。
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この回答へのお礼

ありがとうございました。
なるほど、アルファベットより数字がわかりやすいですよネ!

お礼日時:2001/09/30 12:39

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Qa,b,cは自然数で、a^2+b^2+c^2=abc (a<=b<=c

a,b,cは自然数で、a^2+b^2+c^2=abc (a<=b<=c)を満たす組(a,b,c)を求めよ。

代入して(3,3,3)は見つかったけれど、筋道たててもとめるにはどうしたらいいのでしようか。

Aベストアンサー

この関係を満たすa、b、cは無数に存在することが、06年の東大入試で出題されている。
書き込むのが面倒なので、下のURLを見て欲しい。


http://www.riruraru.com/cfv21/math/tum06f4.htm

Q∞=1/0 , i=√(-1) , a*b=ab などの表記について

表記について考えています。
たんに表記なので、どっちでもいいといえばどっちでもいですが、それなりに納得したいと思っています。

たとえば、a*b=ab と掛け算記号を省略するのに、足し算記号を省略しないのはなぜか?
これは、分配法則、
a*(b+c)=a*b+a*c
において、二箇所ある+よりも、3箇所ある*を省略したほうが、労力が少なくてもいいから、という認識でいいでしょうか?

次に、iと√(-1)において、iという表記が一般的ですが、iが別の意味で使われる電気関係の数学の場合は
√(-1)という表記がよくつかわれると思います。
では、√(-1)という表記にしたほうが、「語源」が明確なので、ベターだと思うのですが、なぜそうしないか?
これは、
√(-1)*√(-1)=√(-1)*(-1)=√1=1
などという間違った指数法則を連想しないように、という認識でいいでしょうか?

では、
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%84%A1%E9%99%90%E5%A4%A7
において、
アーベルなどは∞を 1 / 0のように表記していた
とあります。
疑問ですが、∞を 1 / 0のように表記すると、どういったデメリットがあるのでしょうか?

また、他の数学の表記についての、いわれ、みたいなのがあれば教えていただけるとありがたいです。

表記について考えています。
たんに表記なので、どっちでもいいといえばどっちでもいですが、それなりに納得したいと思っています。

たとえば、a*b=ab と掛け算記号を省略するのに、足し算記号を省略しないのはなぜか?
これは、分配法則、
a*(b+c)=a*b+a*c
において、二箇所ある+よりも、3箇所ある*を省略したほうが、労力が少なくてもいいから、という認識でいいでしょうか?

次に、iと√(-1)において、iという表記が一般的ですが、iが別の意味で使われる電気関係の数学の場合は
√(-1)という表記がよ...続きを読む

Aベストアンサー

#2です。
>でも、i=√(-1)と書かれているのを見たことがあります

これはiの定義式です。ただしこの場合は√は二つある平方根のうち一つを表している、と解釈されているわけです。ですが√には他の用法もあるため、厳密に同じなのではありません。
というわけで不正確だから「数学では」わざわざルートに戻してつかうことは必要でも合理的でもありません。電気関係でも数学的に厳密な場合はせいぜいjを使うくらいで、√-1をわざわざ使うのは、数学的な厳密性より、初心者向きを重視しているからにすぎません。この程度の定義でも電気の計算に使うくらいなら困らない、と言うだけの話で、iをわざわざ定義する面倒を省いた、ということです。しかし何度もいうようにこれは厳密とはいえません。

逆に1/0は∞の定義式にはなり得ません。それでは矛盾が起きます。
∞というのは割算の結果出てくるもの、ではなく。逆に1/0という割算を実行しようとすると∞という状態になる、といっているのです。
通常の割算は0で割ることそのものを認めていないので、そういう意味で∞は計算の結果出てきたものではありません。反対に、計算の結果、として数では表せない状態をまとめて∞と呼んでいるだけです。少なくとも逆演算が出来ない(#1さんの指摘)状態でわざわざ「割算の形」にすることにどんな意味があるのでしょう?(割算とかけ算は逆演算だから、1/0=∞というのと1=0×∞は同値になるはずですが、後の演算の左辺は不定で、2でも3でもいいわけです)
そういう意味でアーベルの時代では既にコーシーの研究があり無限大・無限小を合理的に扱うことに成功していたのですが(少なくとも微分のあたりでは)たとえばカール・マルクス(あのマルクスですが)の数学に関するノートを見てもコーシーの存在に気がついてもいないわけです。どうもコーシーの結果も地域や立場によっては知りやすいものではなかったのでは?(ノルウェーは当時十分に田舎です)
実際質問者さんが引用されているページでもいろいろの無限があって、無限というものが分野や領域によっていささか違った扱いを受けているのが解る筈です。
で、ライプニッツ流の無限大・無限小も許容するのは超準解析、というのを付け加えておきましょう。ただしここでは=の意味が拡張されていますけどね。

#2です。
>でも、i=√(-1)と書かれているのを見たことがあります

これはiの定義式です。ただしこの場合は√は二つある平方根のうち一つを表している、と解釈されているわけです。ですが√には他の用法もあるため、厳密に同じなのではありません。
というわけで不正確だから「数学では」わざわざルートに戻してつかうことは必要でも合理的でもありません。電気関係でも数学的に厳密な場合はせいぜいjを使うくらいで、√-1をわざわざ使うのは、数学的な厳密性より、初心者向きを重視しているからにすぎません。こ...続きを読む

Qa,p,q,r,s(Pnot=0,ps-qrnot=0)は定数とする。

a,p,q,r,s(Pnot=0,ps-qrnot=0)は定数とする。
a1=a,an+1=ran+s/pan+q・・・・・・A
で定められるとき、Aの特性方程式x=rx+s/px+qすなわち
px^2+(q-r)x-s=0・・・・・Bについて
(1)Bが重解をもつとき
an+1ーα=ran+s/pan+q-α=(r-pα)an+s-qα/pan+q・・・・C
また、αはBの解であるからpα^2+(q-r)αーs=0
よって s-qα=pα^2-rα=α(pαーr) これをCに代入して
an+1-α=(r-pα)an+α(pαーr)/pan+q=(r-pα)(an-α)/pan+q・・・・・D
ここでr-qαnot=0であるから、Dの両辺の逆数をとると
1/an+1-α=1/r-pα・pan+q/an-α=1/r-pα(p+pα+q/an-α)
・・・・以下省略

教えてほしいところ
なぜ、重解の場合と異なる2つの解をもつときで違う解き方になるんですか??
異なる2つの解のときも片方をαとして、(1)のように解けば、問題ないのでは???

Aベストアンサー

>なぜ、重解の場合と異なる2つの解をもつときで違う解き方になるんですか??
異なる解をもつときは、2つを同時に使い、

xn=(an-α)/(an-β)

とおけば、xn は
簡単に等比数列にできるから。

ところで、書き込み方ですが、
>a1=a,an+1=ran+s/pan+q・・・・・・A
は、
a1=a,an+1=(ran+s)/(pan+q)・・・・・・A
と、必要なカッコはしっかり付けて下さい。

Q空間内の点Oに対して、4点A,B,C,DをOA=1、

空間内の点Oに対して、4点A,B,C,DをOA=1、
OB=4、OC=4、OD=4となるようにとる。
4面体ABCDの体積が最大の時の体積はいくらか。

答えが、9√3になりました。
解答がないので、正しいのか分かりません。
正解でしょうか。

Aベストアンサー

結論から言うと正解です。かつて東大で出題された問題ですね。
おそらく過程も合っているでしょうが、確認のためにも過程の流れを書いておきますね。

【手順1】
四面体の体積 = 1/3 × 底面積 × 高さ
であり、このうち値が変化するのは底面積と高さ。
対称性を意識すると、底面は三角形BCDとした方が計算が容易。
三角形BCDの面積 × 高さが最大となれば、四面体の体積も最大となる。

【手順2】
高さから考える。高さはAから三角形BCDに下ろした垂線の長さに等しい。
明らかに、垂線と直線OAが一致する時が最大。ここで垂線の足をH、OH=kとしよう。

【手順3】
底面積について。OB=OC=OD=4より、BH=CH=DHであるから、円に内接する三角形の面積の最大値を求めることになる。
一般に、半径rの円に内接するそれを求めると、(3√3)r^2/4となる。(ちなみにこのとき三角形は正三角形)
よって、三角形BCDの最大値は(3√3)(16-k^2)/4

【手順4】
四面体ABCDの体積をV(k)とすると、
V(k) = 1/3 × 三角形BCD × 高さOH
≦ 1/3 × (3√3)(16-k^2)/4 × (1+k)
これはk=2のとき最大となり、その値は
V(2)=9√3

です。

結論から言うと正解です。かつて東大で出題された問題ですね。
おそらく過程も合っているでしょうが、確認のためにも過程の流れを書いておきますね。

【手順1】
四面体の体積 = 1/3 × 底面積 × 高さ
であり、このうち値が変化するのは底面積と高さ。
対称性を意識すると、底面は三角形BCDとした方が計算が容易。
三角形BCDの面積 × 高さが最大となれば、四面体の体積も最大となる。

【手順2】
高さから考える。高さはAから三角形BCDに下ろした垂線の長さに等しい。
明らかに、垂線と直線OAが一致する時が最大。...続きを読む

Q2,7,1,4,7,2,8,1,4,1,6,..

初項を2、第2項を7とします
すべての項は一桁とします。
隣り合う項をかけてその結果を数列の最後につけていくとします
(説明が下手でごめんなさい。。。)
つまり
2,7,1,4,7,2,8,1,4,1,6,...
といった具合です。
これが6を無限個含むことを示せという問題なんですが、見当がまったくつかず。。。
ちょっと思いついたのは偶数をかけるとどんな数字でも一桁目は偶数になるので、偶数は無限個あるというのだけで、、、
規則性が見えるかなとおもっていろいろ書き出したのですが、何もわからず。。。

ヒントでもいいのでお願いします

Aベストアンサー

> 隣り合う項をかけてその結果を数列の最後につけていくとします
> 2,7,1,4,7,2,8,1,4,1,6,...

> といった具合です。

どういう規則なのか、さっぱり分からんですね。もしかして、この例が間違っているんじゃないでしょうか?

 仮に、この例が間違いだとして、「隣り合う項をかけてその結果を数列の最後につけていく」をやってみると
27
2.714
27.147
271.474
2714.7428
27147.42828
271474.28288
2714742.828816
27147428.2881616
が正しいのだとしましょう。("."は掛け算をやった位置を表しています)

 さて、「数列には6が高々有限個しか現れない」と仮定すると、数列のある場所N項目から以降には6が一つもないような、そういうNが存在しなくてはならない。

 一方、数列中にひとたび(1616)が現れると、それより後ろに(666)が出て来る。
 (666)が現れると、それより後ろに(363636)が出て来る。
 (363636) が現れると、それより後ろに (1818181818) が現れ、さらにその後ろに (888888888) が現れ、さらにその後ろに(6464…6464) が出て来る。
 (6464…6464) が現れると、それより後ろに (2424…24) が現れ、さらにその後ろに (88…8) が現れ、さらにその後ろに (6464…6464) が出て来る。
 (6464…6464) が現れると、それより後ろに (2424…24) が現れ、さらにその後ろに (88…8) が現れ、さらにその後ろに (6464…6464) が出て来る。
  :
 ループです。つまり、どこまで行っても、それより後ろに(6464…6464)という部分が必ず存在する。

 だから、「数列のある場所N項目から以降には6が一つもないような、そういうN」は存在しない。
 

> 隣り合う項をかけてその結果を数列の最後につけていくとします
> 2,7,1,4,7,2,8,1,4,1,6,...

> といった具合です。

どういう規則なのか、さっぱり分からんですね。もしかして、この例が間違っているんじゃないでしょうか?

 仮に、この例が間違いだとして、「隣り合う項をかけてその結果を数列の最後につけていく」をやってみると
27
2.714
27.147
271.474
2714.7428
27147.42828
271474.28288
2714742.828816
27147428.2881616
が正しいのだとしましょう。("."は掛け算をやった位置を表しています)

 さ...続きを読む


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