Nを自然数とし、複素数z=cosθ+isinθはzのN乗=1を満たすとして、以下の級数和S1、S2、S3の値を求めよ。ただし、iは虚数単位(iの二乗=1)である。

(1)S1=1+z+zの2乗+・・・・・+zの(N-1)乗

(2)S2=1+cosθ+cosθ+・・・・・+cos(N-1)θ

(3)S3=1+cos2乗θ+cos2乗2θ+・・・・・+cos2乗(N-1)θ

この3問の解法を教えてください。

A 回答 (2件)

brogie さんにならって,私もヒントだけ.



(2) は要するに(1)の実数部です.

(3) は cos^2 φ = (1/2)(cos 2φ+1) と,ド・モアブルの定理の実数部,
等比級数の和の公式,この組み合わせでできます.
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今晩は!


(1)は両辺にzを掛けて、元の式を引くとz*S1-S1=Z^N-1となります。
(2)は(cosθ+isinθ)^N=cos(Nθ)+isin(Nθ)を用いて出来そうです。
(3)は難しい!お手上げです!
以上、ヒントだけ。
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この回答へのお礼

こんばんわ。
早速の回答ありがとうございます。
(1)ははじめ等比数列の和でやろうとして失敗しましたが、このやり方で解決しました。答えがかなりスッキリして不安ですが・・・。
(2)はド・モアブルの定理ですよね。今挑戦しています。
(3)は(1)と(2)が出来ないと解けなさそうなのでもう少し頑張ります。

お礼日時:2001/09/30 22:49

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