Nを自然数とし、複素数z=cosθ+isinθはzのN乗=1を満たすとして、以下の級数和S1、S2、S3の値を求めよ。ただし、iは虚数単位(iの二乗=1)である。

(1)S1=1+z+zの2乗+・・・・・+zの(N-1)乗

(2)S2=1+cosθ+cosθ+・・・・・+cos(N-1)θ

(3)S3=1+cos2乗θ+cos2乗2θ+・・・・・+cos2乗(N-1)θ

この3問の解法を教えてください。

このQ&Aに関連する最新のQ&A

A 回答 (2件)

今晩は!


(1)は両辺にzを掛けて、元の式を引くとz*S1-S1=Z^N-1となります。
(2)は(cosθ+isinθ)^N=cos(Nθ)+isin(Nθ)を用いて出来そうです。
(3)は難しい!お手上げです!
以上、ヒントだけ。
    • good
    • 0
この回答へのお礼

こんばんわ。
早速の回答ありがとうございます。
(1)ははじめ等比数列の和でやろうとして失敗しましたが、このやり方で解決しました。答えがかなりスッキリして不安ですが・・・。
(2)はド・モアブルの定理ですよね。今挑戦しています。
(3)は(1)と(2)が出来ないと解けなさそうなのでもう少し頑張ります。

お礼日時:2001/09/30 22:49

brogie さんにならって,私もヒントだけ.



(2) は要するに(1)の実数部です.

(3) は cos^2 φ = (1/2)(cos 2φ+1) と,ド・モアブルの定理の実数部,
等比級数の和の公式,この組み合わせでできます.
    • good
    • 0

このQ&Aに関連する人気のQ&A

お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!

このQ&Aを見た人が検索しているワード

このQ&Aと関連する良く見られている質問

Q4cos【3】θ+2cos【2】θ-3cosθ-1=0の変形

二乗の表し方が分からなかったので、【2】のように表させてください。

解答を見ても分からない箇所があったので質問します。
4cos【3】θ+2cos【2】θ-3cosθ-1=0からの、
(cosθ+1)(4cos【2】θ-2cosθ-1)=0への変形の仕方が分かりません。
馬鹿なのでできれば分かりやすい回答をよろしくお願いします。

Aベストアンサー

単なる因数分解で,

4cos^3θ+2cos^2θ-3cosθ-1=0

を並べ替えると

2cos^2θ-3cosθ-1+4cos^3θ=0

変形すると,( 2cos^2θを 4cos^2θにして -2cos^2θ を付け足す.)

4cos^2θ-3cosθ-1+4cos^3θ-2cos^2θ=0

更に変形する(-3cosθを-2cosθと-cosθに分ける).

4cos^2θ-2cosθ-1+4cos^3θ-2cos^2θ-cosθ=0

これは,cosθをくくり出して

4cos^2θ-2cosθ-1+cosθ(4cos^2θ-2cosθ-1)=0

となります.次に,4cos^2θ-2cosθ-1 でくくれば

(1+cosθ)(4cos^2θ-2cosθ-1)=0

となります.

Q(cosθ+isinθ)^2=cos2θ+isin2θ になる理由と過程を教えて頂きたいです

(cosθ+isinθ)^2=cos2θ+isin2θ
になる理由と過程を教えて頂きたいです

Aベストアンサー

>z^2=r^2(cosθ+isinθ)(cosθ+isinθ)の次に
>=r^2{cos(θ+θ)+isin(θ+θ)}

角度の加法定理って習ってませんか?

証明はここ。
https://www.nakamuri.info/mw/index.php/%E8%A7%92%E5%BA%A6%E3%81%AE%E5%8A%A0%E6%B3%95%E5%AE%9A%E7%90%86

複素数の積への適用
https://www.nakamuri.info/mw/index.php/%E5%9B%9E%E8%BB%A2%E8%A1%8C%E5%88%97%E3%81%A8%E8%A4%87%E7%B4%A0%E6%95%B0%E3%81%AE%E7%A9%8D

Qcos3θ+sin2θ+cosθ>0をどう変形すればcosθ(2sin

cos3θ+sin2θ+cosθ>0をどう変形すればcosθ(2sinθ+1)(sinθ-1)<0になりますか?

Aベストアンサー

・まずcos3θ=4(cosθ)^3-3cosθ=cosθ×{4(cosθ)^2-3}となります。(※)

・次に、sin2θ=2sinθcosθ(2倍角の公式)。以上から

・cos3θ+sin2θ+cosθ

=cosθ{4(cosθ)^2-3}+2sinθcosθ+cosθ

=cosθ{4(cosθ)^2-3+2sinθ+1} ここで、(cosθ)^2=1-(sinθ)^2を用いて整理すると、

=cosθ{-4(sinθ)^2+2sinθ+2}

=-2cosθ(2sinθ+1)(sinθ-1)>0となり、

目的のcosθ(2sinθ+1)(sinθ-1)<0が得られます。

※これは「3倍角の公式」と言われる公式で、暗記で覚えてしまう方法もありますが、納得のいかない人は3θ=2θ+θであることを用いて三角関数の加法定理で自分で導き出すこともできますよ(余談ですが僕は覚えられないのでそうしてます。)

・参考
sin3θ=3sinθ-4(sinθ)^3

Qcos3θ+cos5θ=0となるθ

どうやって解くのでしょうか?教えてください

ちなみに答えはθ=(π/8)+(nπ/4)、nπ-(π/2)です

Aベストアンサー

同じ問題を投稿するなら、前の投稿を引用しないとマルチ投稿になる。
http://oshiete.goo.ne.jp/qa/7577478.html

cosθcos(4θ)=0までは前の投稿のA#1の回答と同じです。
cosθ=0からθ=nπ-(π/2)の解 が出ます。
 しかし、この解だけが正解とは言えない。
 「θ=nπ+(π/2)」、「θ=2nπ±(π/2)」、「θ=2nπ+(π/2),2nπ+(3π/2)」
 のいずれでも正解です。
また
cos(4θ)=0から4θ=nπ+(π/2)⇒θ=(π/8)+(nπ/4)の解がでます。
 しかし、この解だけが正解とは言えない。
 「θ=(nπ/4)-(π/8)」、「θ=(nπ/2)±(π/8)」、
 「θ=(nπ/2)+(π/8),(nπ/2)+(3π/8)」、「θ=(π/8)-(nπ/4)」など
 のいずれでも正解です。

従って、質問者さんの手元にある答えは正解ですが、それ以外の正解も何通りもあると考えて下さい。解答者は正解の答えを1通り求めればいいですが、採点者は色々な正解に対しても採点し正解としなければならないね。

同じ問題を投稿するなら、前の投稿を引用しないとマルチ投稿になる。
http://oshiete.goo.ne.jp/qa/7577478.html

cosθcos(4θ)=0までは前の投稿のA#1の回答と同じです。
cosθ=0からθ=nπ-(π/2)の解 が出ます。
 しかし、この解だけが正解とは言えない。
 「θ=nπ+(π/2)」、「θ=2nπ±(π/2)」、「θ=2nπ+(π/2),2nπ+(3π/2)」
 のいずれでも正解です。
また
cos(4θ)=0から4θ=nπ+(π/2)⇒θ=(π/8)+(nπ/4)の解がでます。
 しかし、この解だけが正解とは言えない。
 「θ=(nπ/4)-(π/8)」、「θ=(nπ/2)±(π/8)」、
 「θ=(nπ/2)...続きを読む

Qθの方程式cos3θ=cosθ(0°<θ<180°)について

高校生です。
問題を解いてて、θの方程式cos3θ=cosθ(0°<θ<180°)の解法についてわからないところがあったので質問したいと思います。
三倍角、和積の公式を使った解き方とは別に、
3θ<θ+360°に注意して、3θ=360°-θ
という解き方ができるようなんですが、何が起こってるのかがよくわかりません。
3θ=360°×n±θ(nは整数)とだけ説明されているのですが、どういうことなのでしょうか。

よろしくお願いします。

Aベストアンサー

cosxとcosyの値が一致するのはどんな場合かを考えます。

(1) 角度が全く同じ時。
xとyが全く同じ角度なら、当然cosxとcosyは同じ値ですよね。
まずこれが基本です。

さらに角度の世界では、360°回転すると元に戻ります。
このことを考えるとx = y + 360°やx = y + 720°やx = y - 360°の時も
cosxとcosyの値が同じになるはずですよね。
ここからcosx = cosyとなるのはx = y + 360°× nの時だとわかります。

(2) 角度の正負だけが異なり、絶対値が同じ時。
cos(-θ) = cosθになるということは習ったと思います
(cosは単位円円周上のx座標なので、
同じx座標をとる角度なら、同じcos値になります。
よってcos(-θ) = cosθです)。
これより、x = -yの時もcosx = cosyが成り立つことになります。

先ほどと同様に、角度の世界では360°回転すると元に戻ります。
よってx = -y + 360°やx = -y + 720°、x = -y - 360°の時も
cosxとcosyの値が同じになるはずですよね。
ここからcosx = cosyとなるのはx = -y + 360°× nの時だとわかります。

(1), (2)よりx = ±y + 360° × nの時、
cosxとcosyは同じ値になります。

cosxとcosyの値が一致するのはどんな場合かを考えます。

(1) 角度が全く同じ時。
xとyが全く同じ角度なら、当然cosxとcosyは同じ値ですよね。
まずこれが基本です。

さらに角度の世界では、360°回転すると元に戻ります。
このことを考えるとx = y + 360°やx = y + 720°やx = y - 360°の時も
cosxとcosyの値が同じになるはずですよね。
ここからcosx = cosyとなるのはx = y + 360°× nの時だとわかります。

(2) 角度の正負だけが異なり、絶対値が同じ時。
cos(-θ) = cosθになるということは習ったと...続きを読む


人気Q&Aランキング

おすすめ情報