級数和

Nを自然数とし、複素数ｚ＝cosθ+isinθはｚのN乗＝1を満たすとして、以下の級数和S1、S2、S3の値を求めよ。ただし、iは虚数単位(iの二乗＝1)である。

(1)S1＝1+ｚ+ｚの２乗+・・・・・+ｚの(N-1)乗

(2)S2＝1+cosθ+cosθ+・・・・・+cos(N-1)θ

(3)S3＝1+cos２乗θ+cos２乗2θ+・・・・・+cos２乗(N-1)θ

この３問の解法を教えてください。

No.1 ベストアンサー 回答者： brogie 回答日時： 2001/09/30 21:53

今晩は！

（１）は両辺にｚを掛けて、元の式を引くとz*S1-S1=Z^N-1となります。
（２）は(cosθ+isinθ)^N＝cos(Nθ)+isin(Nθ)を用いて出来そうです。
（３）は難しい！お手上げです！
以上、ヒントだけ。

この回答へのお礼

こんばんわ。
早速の回答ありがとうございます。
(1)ははじめ等比数列の和でやろうとして失敗しましたが、このやり方で解決しました。答えがかなりスッキリして不安ですが・・・。
(2)はド・モアブルの定理ですよね。今挑戦しています。
(3)は(1)と(2)が出来ないと解けなさそうなのでもう少し頑張ります。

お礼日時：2001/09/30 22:49

No.2 回答者： siegmund 回答日時： 2001/09/30 23:23

brogie さんにならって，私もヒントだけ．

(2) は要するに(1)の実数部です．

(3) は cos^2 φ = (1/2)(cos 2φ+1) と，ド・モアブルの定理の実数部，
等比級数の和の公式，この組み合わせでできます．