1/(s(s+1)^8) の逆ラプラス変換

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質問者：goojob777
質問日時：2005/06/09 11:26
回答数：5件

1/(s(s+1)^8) の逆ラプラス変換がどうしてもできません．どなたか，やってみてくれませんか？

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回答 (5件)

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No.5ベストアンサー

回答者： guuman
回答日時：2005/06/11 00:35

1/s/(s+1)^n

=1/s/(s+1)/(s+1)^(n-1)
=(1/s-1/(s+1))/(s+1)^(n-1)
=1/s/(s+1)^(n-1)-1/(s+1)^n

すなわち
1/s/(s+1)^n=1/s/(s+1)^(n-1)-1/(s+1)^n

よって
1/s/(s+1)^8
=1/s/(s+1)^7-1/(s+1)^8
=1/s/(s+1)^6-1/(s+1)^7-1/(s+1)^8
=1/s/(s+1)^5-1/(s+1)^6-1/(s+1)^7-1/(s+1)^8
=1/s/(s+1)^4-1/(s+1)^5-1/(s+1)^6-1/(s+1)^7-1/(s+1)^8
=1/s/(s+1)^3-1/(s+1)^4-1/(s+1)^5-1/(s+1)^6-1/(s+1)^7-1/(s+1)^8
=1/s/(s+1)^2-1/(s+1)^3-1/(s+1)^4-1/(s+1)^5-1/(s+1)^6-1/(s+1)^7-1/(s+1)^8
=1/s/(s+1)-1/(s+1)^2-1/(s+1)^3-1/(s+1)^4-1/(s+1)^5-1/(s+1)^6-1/(s+1)^7-1/(s+1)^8
=1/s-1/(s+1)-1/(s+1)^2-1/(s+1)^3-1/(s+1)^4-1/(s+1)^5-1/(s+1)^6-1/(s+1)^7-1/(s+1)^8

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この回答へのお礼

お礼がだいぶ遅くなって，申し訳ありません．非常に参考になりました．ありがとうございます．

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お礼日時：2005/07/01 09:43

No.4

回答者： adinat
回答日時：2005/06/10 06:44

部分分数展開すれば、1/s-1/(1+s)^8-…-1/(1+s)になるかと思いますが、

e^{-t}/5040(-5040+5040e^t-5040t-2520t^2-840t^3-210t^4-42t^5-7t^6-t^7)
になります。
InverseLaplaceTransform[1/s, s, t]=1
InverseLaplaceTransform[1/(1+s), s, t]=e^{-t}
InverseLaplaceTransform[1/(1+s)^2, s, t]=te^{-t}
InverseLaplaceTransform[1/(1+s)^3, s, t]=t^2e^{-t}/2!
…
InverseLaplaceTransform[1/(1+s)^8, s, t]=t^7e^{-t}/7!
1のLaplace変換は容易ですが、t^ne^{-t}のラプラス変換を知っておけば、1/(1+s)^nの逆変換は公式集を見なくてもできるようになります。
あるいは指数関数倍のラプラス変換はシフトのラプラス変換になること、
LaplaceTransform[Exp[-at]f(t), t, s]=LaplaceTransform[f(t+a), t, s]
を利用するとより簡単にできるでしょう。

なおラプラス変換についての基本的なことは参考URLが参考になると思います。
また上で使ったLaplaceTransform[f(t), t, s]、InverseLaplaceTransform[f(t), t, s]なる記号は容易に想像されるでしょうが、それぞれf(t)のラプラス変換を変数sで表したもの、逆ラプラス変換を変数sで表したものです。Exp[t]はもちろんe^tのことです。Mathematicaの記号に対応させて書いて見ました。

参考URL：http://www-ise2.ise.eng.osaka-u.ac.jp/~iwanaga/s …