ホースの口を絞ると何故水の勢いが増すのか力学的に証明せよ
という上司の質問に対し、回答することができませんでした。
大きい水槽の水深10m位置にホースを付け
そのホ-スの口を絞るという状況です
上司の出した回答は以下の通りなのですが、なんだか納得いきません
でてきた答えはなんとなくそれらしい流速になっているのですが...
どこがどう違うのか、もしくはもっと分かりやすい方法を教えて下さい。
どうかお願いします。
V=√{2g(H-hf)} ---(1)式
hf=10.294×n^2×D^(-16/3)×Q^2×L ---(2)式
 ここに、V:流速(m/s)
     g:重力加速度(m/s2)
     H:水頭(m)
     hf:摩擦損失水頭(m)
     n:manningの粗度係数
     D:管径(m)
     Q:流量(m3/s)
     L:管長(m)
(2)式中でQ=AV=π/4×D^2×V、
絞り率をKとすると
hf=10.294×n^2×D^(-16/3)×(π/4×D^2×K×V)^2×L ---(3)式
この(3)式に(1)式を代入すると
hf=10.294×n^2×D^(-16/3)×(π/4×D^2)^2×K^2×L×(2gH-2ghf)
ここに、n=0.015、D=0.02m、L=5m、H=10mを入れると
=1.318K^2×(196-19.6hf)
=258.33K^2-25.83K^2×hf
∴ (1+25.83K^2)hf=258.33K^2
hf=258.33K^2÷(1+25.83K^2)
(1)式より
ホースの口が全開の時、
V=√{2×9.8×(10-hf)}
=√{2×9.8×(10-9.628)}=2.70 m/s
ホースの口が半開の時、(K=0.5)
V=√{2×9.8×(10-8.660)}=5.12 m/s

A 回答 (2件)

>『ホースの口を絞ることで流量は一定でない』



実在流体の粘性等の影響によって、
開口部が絞られることで流量が減少することは
定性的に想像できます。

>ホースの口を絞ることで摩擦損失が減少する

(3)式だけではそのような傾向はわからないです。
連続の式が完全に成り立つならば、(3)式ではK=0以外は
hfの値が同じになってしまいます。
結局(1)式と連立させることで意味が出てくるようです。
これによってVの値が連続の式で予想されるよりも小さくなり、
結果、hfの値が小さくなるものと考えられます。

このような傾向となるように(3)式は(Manningによって?)
実験結果などから組み上げられたのでしょう。

経験則を利用して懸案の事象を示すのならば、
上司さんの例解は適切かもしれませんが、
「力学的」というのならば、確かに解せませんね。

この回答への補足

ご回答ありがとうございます。
(2)式は
損失係数f=8gn^2/(D/4)^1/3
摩擦損失水頭hf=f×L/D×V^2/2g
Q=AVから式を変形して
hf=10.294×n^2×D^(-16/3)×Q^2×L
となっているようなのですが、
ここに流量がホースの口を絞ることにより変化するから
絞り率Kを考えた。
というだけで経験式でも実験式でもないそうです。
やはり解せません。

補足日時:2001/10/04 13:13
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>ホースの口を絞ると何故水の勢いが増すのか力学的に証明せよ



普通に考えれば、連続の式を示して流出部の流速がその断面積に
反比例することで証明としますよね。

ご提示された回答例は「力学的」というよりも、
経験式(水理学でしょうか?)の適用例のような気がします。

数式的に証明するならば、(1)式に(3)式を代入してhfを消去し
速度Vを流出部面積(またはK)の関数にして示せばいかがでしょう?

この回答への補足

ご助言ありがとうございます。
私も始めはQ=AVでQは一定としAに反比例することで
流速が上がると考えたのですが、
『ホースの口を絞ることで流量は一定でない』
と言われました。
ホースの口を絞ることで摩擦損失が減少することも
どうもしっくりこないのです。
流量が減って、管内の流速が減るから摩擦損失も減ると言うことでしょうか?
絞り率なるものも疑問です。

追記、確かに「力学的」ではないですね。水理学です。

補足日時:2001/10/03 14:22
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QMathematicaでのTr{(sl[q]+m)γμu(sl[p]+sl[k]+m)γνu(sl[p]+m)γνd( sl[p]+sl[k]+m)γμd}

Mathematicaで、

Tr{(sl[q]+m)γμu(sl[p]+sl[k]+m)γνu(sl[p]+m)γνd( sl[p]+sl[k]+m)γμd}
= Tr[(-2sl[q]+4m)( sl[p]+sl[k]+m)(-2sl[p]+4m)( sl[p]+sl[k]+m)]

の計算をやってみようと思い、下記のプログラムを作りましたが、

と一致しません。

式―1と式―2が、
Tr{(sl[q]+m)γμu(sl[p]+sl[k]+m)γνu(sl[p]+m)γνd( sl[p]+sl[k]+m)γμd}

の計算です。(2通りやりました)

式―3が
Tr[(-2sl[q]+4m)( sl[p]+sl[k]+m)(-2sl[p]+4m)( sl[p]+sl[k]+m)]


の計算です。



demoteRank4to2[y_]:=Flatten[Map[Flatten,Transpose[y,{1,3,2,4}],{2}],1];

pauli2times[g1_,g2_]:=demoteRank4to2[Outer[Times,g1,g2]];

g1={{0,1},{1,0}};
g2={{0,-I},{I,0}};
g3={{1,0},{0,-1}};
g0={{1,0},{0,1}};

gu[0]=pauli2times[g2,g3];
gu[1]=-pauli2times[g1,g3];
gu[2]=pauli2times[g0,g2];
gu[3]=-pauli2times[g0,g1];

e4=IdentityMatrix[4];

gd[0]=1*gu[0];
gd[1]=-1*gu[1];
gd[2]=-1*gu[2];
gd[3]=-1*gu[3];

sl[q]=(gu[0]*q0+gu[1]*-q1+gu[2]*-q2+gu[3]*-q3);
sl[p]=(gu[0]*p0+gu[1]*-p1+gu[2]*-p2+gu[3]*-p3);
sl[k]=(gu[0]*k0+gu[1]*-k1+gu[2]*-k2+gu[3]*-k3);
gmu=(gu[0]+gu[1]+gu[2]+gu[3]);
gnu=(gu[0]+gu[1]+gu[2]+gu[3]);
gmd=(gd[0]+gd[1]+gd[2]+gd[3]);
gnd=(gd[0]+gd[1]+gd[2]+gd[3]);

ms=m*e4;


(*式ー1*)
s=0;
y1=0;
For[x=0,x£3,x++,
s=Tr[(sl[q]+ms).gu[x].(sl[p]+sl[k]+ms).gu[x](sl[p]+ms).gd[x].(sl[p]+sl[k]+ms).gd[x]];
y1=y1+s;
Print[FullSimplify[y1]];
];

(*式ー2*)
y2=Tr[(sl[q]+ms).gmu.(sl[p]+sl[k]+ms).gnu(sl[p]+ms).gnd.(sl[p]+sl[k]+ms).gmd];
Print[FullSimplify[y1]];

(*式ー3*)
y3=Tr[(-2sl[q]+4ms).(sl[p]+sl[k]+ms).(-2sl[p]+4ms).(sl[p]+sl[k]+ms)];

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= Tr[(-2sl[q]+4m)( sl[p]+sl[k]+m)(-2sl[p]+4m)( sl[p]+sl[k]+m)]

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式―1と式―2が、
Tr{(sl[q]+m)γμu(sl[p]+sl[k]+m)γνu(sl[p]+m)γνd( sl[p]+sl[k]+m)γμd}

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式―3が
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ダミーインデックス(総和添字)が2組あるとき、例えば
 γμuγνuγνdγμd
はμとνがそれぞれ独立に0から3までの値を取ります。したがってめんどくさいけど全部書くと
 γμuγνuγνdγμd
=γ0uγ0uγ0dγ0d + γ1uγ0uγ0dγ1d +γ2uγ0uγ0dγ2d + γ3uγ0uγ0dγ3d
+γ0uγ1uγ1dγ0d + γ1uγ1uγ1dγ1d +γ2uγ1uγ1dγ2d + γ3uγ1uγ1dγ3d
+ γ0uγ2uγ2dγ0d + γ1uγ2uγ2dγ1d +γ2uγ2uγ2dγ2d + γ3uγ2uγ2dγ3d
+γ0uγ3uγ3dγ0d + γ1uγ3uγ3dγ1d +γ2uγ3uγ3dγ2d + γ3uγ3uγ3dγ3d …(1)
です。一方、
For[x=0,x£3,x++, s=Tr[(sl[q]+ms).gu[x].(sl[p]+sl[k]+ms).gu[x](sl[p]+ms).gd[x].(sl[p]+sl[k]+ms).gd[x]]
としたのでは
γ0uγ0uγ0dγ0d + γ1uγ1uγ1dγ1d + γ2uγ2uγ2dγ2d + γ3uγ3uγ3dγ3d …(2)
のような計算をすることになります。また(*式ー2*)では
(γu0+γu1+γu2+γu3) (γu0+γu1+γu2+γu3) (γd0+γd1+γd2+γd3) (γd0+γd1+γd2+γd3) …(3)
のような計算になってしまいます。(1)と(2)(3)は等しくありません。これは単にプログラミングのミスでしょうか。(1)はローレンツ不変な形になっていますが、(2)(3)はローレンツ不変な形ではありません。ローレンツ不変でない式を書くようでは基本的な部分の理解が不十分なのではないでしょうか。これは数式処理とか場の量子論の問題ではありません。場の量子論の問題とはもっと重要で微妙な問題のことを指します。

ダミーインデックス(総和添字)が2組あるとき、例えば
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はμとνがそれぞれ独立に0から3までの値を取ります。したがってめんどくさいけど全部書くと
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