関数電卓で実数の実数乗を計算すると瞬時に答えを出してくるじゃないですか。
たとえば
    3.14159 ^ 3.14159 = 36.4619520931810818920796827215543
とか。
あれってどうやって計算してるんですか?

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A 回答 (4件)

lnA も同じようにテーラー展開してやります。



ln(1+x) = x - 1/2 x^2 + 1/3 x^3 ......

この回答への補足

長らく締めきらないまま放置して申し訳ありませんでした。
お答え下さった方々、どうもありがとうございました。

補足日時:2002/01/28 13:10
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この回答へのお礼

なるほど、これで四則演算に帰着出来るわけですね。
ありがとうございました。

お礼日時:2001/10/12 20:58

今時のもの凄い性能の関数電卓がどうなのかは知りませんが、昔々、メモリもプロセッサも高かった時代には、たしかRobinson algorithmと言ったと思うけど、一つの級数で色んな関数(三角関数、指数関数、対数、双曲線関数etc)が計算できちゃう方法を使っていた。


級数の項をどんどん生成しながら、それを足すのか、引くのか、無視するのか、この3通りは関数ごとにtable lookupして判断するというやり方です。
細かいこと忘れちゃいまして、再構築してみようと試みているんですが…

この回答への補足

Robinson algorithmですか。
分かったとしてもちょっとこのスペースでは書ききれない感じですかね?
もし出来たらお願いします。

補足日時:2001/10/05 13:08
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問題は 2^0.12 というような肩が実数の時ですよね。

(指数の整数部はいいとして)
テイラー展開をして

0 < B < 1 のとき
A^B = 1 + 1/1! * (lnA * B) + 1/2! * (lnA * B)^2 + ...

≒ 1 + (lnA * B)(1/1! + (lnA * B)(1/2! + (lnA * B)(1/3! + (lnA * B)(...(1/(n-1!) + (lnA * B)(1/n!))...))))

というやりかたがオーソドックスそうです。

この回答への補足

lnAはどうやって計算するのですか?

補足日時:2001/10/05 13:02
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30桁以上も表示できる関数電卓をお持ちですか、すごいですね。


ということはさておいて、計算機は2進数が得意ですからたぶん、
A^Bを求めるには、
(1)底を2とするAの対数をとる。
(2)それをB倍する。
(3)それを2のべき乗する。
という手順かと思います。
(1)と(3)はアルゴリズムの参考書に載っていたような…。

この回答への補足

そのアルゴリズムが知りたかったんですが…。

補足日時:2001/10/05 13:06
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1+1=2

ですが、素朴・直感的にはそれを定義としていいと思います。
しかし、公理・厳密的に考えると、それは証明できるものと思います。
(ここ教えてgooでは、その視聴率が高いですね)

同様に、

直線=実数
つまり、
直線上のそれぞれの点と、実数の要素が一対一に対応できる

も、素朴・直感的にはそれを定義としていいと思います。
しかし、公理・厳密的に考えると、それは証明できるものと思います。
その証明をどうか教えてください。

Aベストアンサー

直線を公理的に定義する方法はヒルベルトがやりましたが、視覚的な直線を定義することは難しいですね。ところで、視覚的な「直線」に定義はありましたっけ?
学校では、「直線と実数が1対1に対応する」というふうに教わってきました。そして、「直線と実数が1対1に対応する」ということを鵜呑みにしてきました。実際、日常生活で経験する「直線」は有理数の数直線でも不都合は感じませんし、古代の人たちは、そのように信じていました。だから、直線を有理数の数直線だと定義しても良いのです。しかし、これだと、直角二等辺三角形の斜辺の長さ、√2が表現できません。そこで、直線には無理数も入っているんだと、解釈され、実数の数直線によって、直線を定義するようになりました。実数には、隙間がないと言われていますので、直線の定義の変遷ははここでひとまず、落ち着いたということでしょう。しかし、近頃、無限小なる「超実数」なるものを持ち出した人もいます。超準解析ですね。そうなると、また、超実数直線を直線と定義し直しをする必要がでてきますね。
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Q(aのx乗−3)(aのx乗+8)の計算方法は、 =a^x × a^x − 3a^x + 8a^x +

(aのx乗−3)(aのx乗+8)の計算方法は、

=a^x × a^x − 3a^x + 8a^x +(−3)8

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であっていますか?

Aベストアンサー

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このまま展開しても良いけどa˟=yとでも置けば
(y-3)(y+8))=y²+5y-24

y=a˟に戻すと
(a˟)²+5a˟-24

(a˟)²=a˟²=a²˟

∴a²˟+5a˟-24

Q中間値の定理を用いて実数解をもつことの証明

方程式f(X)=x3乗+aX二乗+bx+C=0は

定数a,bのいかんにかかわらず一つの実数解を持つことを中間値の
うが
定理を用いて証明せよという問題があります。

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示して証明しようと思ったのですが

a、b、cと文字がでてくるので大小関係がわからず証明できずに

こまっています

どなたか教えてください

Aベストアンサー

少し荒っぽいですが中間値の定理を使うならば
この問題ではX^3の係数が1であることがポイントだと思います
グラフがN形をしていてXを∞にするとa,b,cの値を考えなくてよくなると思います。グラフの形を考えるのが中間値の定理のポイントだと思います。

 関数 f(X)=x3乗+aX二乗+bx+Cのグラフは-∞から∞の範囲で
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ここでXの値をどんどん大きくすると aの値が大きくても、もっともっとXの値を正の実数で大きくしていくと f(x)の値は X^3がずば抜けて大きくなってほとんどX^3を値になります。 つまり X→∞のときf(x)→∞
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ゆえに、方程式f(X)=x3乗+aX二乗+bx+C=0は
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Q(x^2)'=2x, (x^1)'=1, (1)'=0, (x^-1)'=-x^-2 そして ∫x^-1 dx = ln|x| + C

(x^2)' = 2x^1 ⇔ ∫2x dx = x^2 + C
(x^1)' = 1 ⇔ ∫1 dx = x + C
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(x^-2)' = -2x^-3 ⇔ ∫-2x^-3 dx = x^-2 + C
ですが、

なぜ、※のところだけイレギュラーにになるのでしょう?

はるか昔、高校のときに導出方法は習いましたが、
イメージとしては、どう捉えればよいでしょう?

証明等は無くても構いませんので、
直感に訴える説明、あるいは、逆に高度な数学での説明などができる方いらっしゃいましたら、お願いします。

(もしかしたら、高度な数学では、イレギュラーに見えなくなったりしますか?)

Aベストアンサー

sanoriさん、こんにちは。

釈迦に説法みたいな話しかできませんが…。

(x^α)' = α x^{α-1} …(1)

は、α=0 でも、(x^0)' = 0・x^{-1} = 0 (x≠0)ということで成り立ち、実はイレギュラーというわけでもなかったりします。

(x^2)' = 2x^1
(x^1)' = 1x^0 = 1
(x^0)' = 0x^{-1} = 0
(x^{-1})' = (-1)x^{-2} = -x^{-2}
(x^{-2})' = (-2)x^{-3} = -2x^{-3}

ということなので。。。

つまり、(ln(x))') = 1/x = x^{-1} はこのリストとは別の話と解釈するわけです。

積分のほうも、
∫x^-1 dx = ln|x| + C …(2)
のかわりに、
∫0dx = ∫0x^{-1}dx = 0 + C' = x^0 + C
があると思えば、イレギュラーではなくなります。
(2)は、
∫nx^{n-1}dx=x^n+C …(3)
のリストに元々登場していないと解釈するわけです。

また、(3)の両辺をnで割って、
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のリストとして考えると、右辺のほうに1/nがあるので、そのリストからは最初からn=0は除外して考えなければなりません。

たまたま、∫x^{-1}dx = ln|x| + C となるので、はまりそうに見えますが、もともと除外していたところに、後から違う種類のものを持ってきてはめ込んだだけと解釈すれば、そこがイレギュラーになるのは不思議ともいえなくなってきます。

また、(4)のリストの立場で考えると、(分母にnがあるので)n=0を除外しなければならないけど、一方、積分∫x^{-1}dxというものは厳然として存在しているので、その隙間に、べき関数とは全く違う関数 ln|x|+C が入ってきているという言い方もできます。これは、べき関数だけでは一覧表が完成しないところに、logでもって完成させているということにもなります。つまりlogという関数は、べき関数のリストの「隙間」に入ってきて、「完成させる」というイメージです。

sanoriさん、こんにちは。

釈迦に説法みたいな話しかできませんが…。

(x^α)' = α x^{α-1} …(1)

は、α=0 でも、(x^0)' = 0・x^{-1} = 0 (x≠0)ということで成り立ち、実はイレギュラーというわけでもなかったりします。

(x^2)' = 2x^1
(x^1)' = 1x^0 = 1
(x^0)' = 0x^{-1} = 0
(x^{-1})' = (-1)x^{-2} = -x^{-2}
(x^{-2})' = (-2)x^{-3} = -2x^{-3}

ということなので。。。

つまり、(ln(x))') = 1/x = x^{-1} はこのリストとは別の話と解釈するわけです。

積分のほうも、
∫x^-1 dx = l...続きを読む

Q実数値連続関数の証明を教えてください

dist(A,B)=inf{d(x,y)|x∊A、y∊B}=inf{d(x,B)|x∊A}の時、d(x,B)が実数値連続関数であることを示せ。という問です。方針及び解答をご教授願います。よろしくお願いします。

Aベストアンサー

その式で、d(x,B) が定義できているとは、思えない。
出典の問題文を、ちゃんと読み直すことを、勧める。

Q≪問題≫実数x,y,zは関係式,x+y=2…(1),x^3+y^3+z^3

≪問題≫実数x,y,zは関係式,x+y=2…(1),x^3+y^3+z^3=8…(2)を満たす。
(1)x^2+y^2+z^2をzを用いて表せ。

(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)-3xyz=x^3^+y^3+z^3
の関係式を使ってみようかな。。。
って思ったんですが…できません^^;

どなたかよろしくお願いします。

Aベストアンサー

x^2+y^2+z^2をzで表すのだからx^2+y^2の部分が問題です。
x^2+y^2はx+yとxyで表せますね。
だから目標はxyをzで表すことです。

(1)が使えるように(2)を変形してみる。
(x+y)^3-3xy(x+y)+z^3=8
(1)を代入してみる。
2^3-3xy*2+z^3=8
xy=z^3/6
となった。

Q実数倍の証明

ベクトルの成分の計算についてです。
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=(a1+b1)e1+(a2+b2)e2=(a1+b1,a2+b2)

(a1+b1)e1+(a2+b2)e2ここまでは理解できるのですが、e1、e2でくくっただけでなぜこれが証明できるかが分かりません。

Aベストアンサー

e1=(1,0),e2=(0,1)だからではないでしょうか?

だって(a1,a2)→=a1・e1→+a2・e2→と言うことが分かるわけでしょう?

その逆だと思うのですが

Q集合論に強い方、R^2=平面、R^1=直線、R^0=原点?、またR^φやφ^φの意味?

集合論に強い方、お願いいたします。
Rは実数として、

R^2=平面、R^1=直線、R^0=原点

と思いますが、どのように意味づけされるかというと、
R^2={(x,y)|x∈R,y∈R}
だと、R^0がうまく説明できないので、
R^2={f|f:2点集合{x,y}→R 写像}
とすればうまくいきそうですが、
それで
R^0=原点
というのがうまく説明できるでしょうか?

また、
R^φやφ^φ
の意味付けをご存知の方は教えていただけ無いでしょうか。

Aベストアンサー

> R^2=平面、R^1=直線、R^0=原点

「原点」ではなく,ただ「点」ですね(R^1 が「x軸」ではないように)。

A^Φ={Φ} です。Φ ではありません。
Φ^Φも{Φ} です。0^0=1 肯定派の論拠の1つです。

Q"無理数全体の集合から実数全体への全単射が存在する"の証明の説明をお願いします。

次の問題の解答で分からないところがあるので説明をしてもらいたいです。

問: 無理数全体の集合からRへの全単射が存在することを証明せよ

解: R-Q から R への全単射の存在を示せばよい
R-Q は無限集合であるから、可算部分集合 A が存在する
ここで Q は可算集合なので、A∪Q は可算集合
よって全単射 f: A→A∪Q が存在するので
関数 g:R-Q →Rを
    g(x)= { x (x∈R-A)
        〔 f(x) (x∈A)
と定義すると g は全単射である ■

最後のところで、なぜgを上のように定義すると全単射になるのかがわかりません。
よろしくおねがいします。

Aベストアンサー

全射であること, 単射であることをそれぞれ地道に調べてください.
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Qaを実数としてa<=x<=a+2で定義される関数f(x)=x^2-2x

aを実数としてa<=x<=a+2で定義される関数f(x)=x^2-2x+3がある。この関数の最大値・最小値をそれぞれM(a),m(a)とするとき、関数b=M(a),b=m(a)のグラフをab平面に(別々に)書け。

解答
y=f(x)のグラフは下に凸であるから、a<=x<=a+2におけるf(x)の最大値は区間の端点で取る。よって。
M(a)=max{f(a),f(a+2)}である。次に、最小値を求める。
頂点のx座標が区間a<=x<=a+2内にあるとき
すなわち-1<=a<=1のとき、m(a)=f(1)=2
それ以外のとき、m(a)=min{f(a),f(a+2)}
・・・・・・・以下省略

教えてほしいところ
M(a)=max{f(a),f(a+2)}だけだと説明が不十分な気がします。どんな時、f(a)でどんな時f(a+2)なのか記述しないといけないとおもうんですが・・
つまり最大値の場合は軸が区間の中央より左、中央、中央より右になるようなaの範囲に場合分けして、
書かないといけないのでは???

Aベストアンサー

解説が言ってることは間違っていないと思います。

この解答の解き方は「予選決勝法」と呼ばれるものです。
(「S台予備校」や「大学への数学」的に言うと 笑)


1.まず、極値の候補となるaの式を求めます。ここでは端点
f(a) = a^2 - 2a + 3
f(a+2) = a^2 + 2a + 3
f(1) = 2 (-1 <= a <= 1)
ぐらいですかね。

2.求まった式を図示します。
y = a^2 - 2a + 3
y = a^2 + 2a + 3
y = 2 (-1 <= a <= 1)
を横軸aにして、グラフにしてください。

3.この時点で、グラフが一番上をいっているのがM(a)、一番下をいっているのがm(a)になります。
つまりmaxのほうが、
a < 0 のとき  M(a) = a^2 - 2a + 3
a >= 0 のとき M(a) = a^2 + 2a + 3
またminのほうが、
a < -1 のとき m(a) = a^2 + 2a + 3
-1 <= a <= 1 のとき m(a) = 2
a >= 1 のとき m(a) = a^2 - 2a + 3
となります。

いかがでしょうか? (簡単でしょう)

まあそれにしても、ちょっとその元の
「最大値はM(a)=max{f(a),f(a+2)}である」
だけの説明だけでは足りないかなと思いますが(これはテストで減点されると思います)

解説が言ってることは間違っていないと思います。

この解答の解き方は「予選決勝法」と呼ばれるものです。
(「S台予備校」や「大学への数学」的に言うと 笑)


1.まず、極値の候補となるaの式を求めます。ここでは端点
f(a) = a^2 - 2a + 3
f(a+2) = a^2 + 2a + 3
f(1) = 2 (-1 <= a <= 1)
ぐらいですかね。

2.求まった式を図示します。
y = a^2 - 2a + 3
y = a^2 + 2a + 3
y = 2 (-1 <= a <= 1)
を横軸aにして、グラフにしてください。

3.この時点で、グラフが一番上...続きを読む


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