始めまして、NobNOVAと申します。
高等数学の練習問題で、積級数の問題が出てきたんですよ。
で、私は積級数の定義を知らず、
手近の数学書を探しても、何処にも載ってないんです。
うーん……
どなたか、積級数の定義を教えてくださいませんか。

A 回答 (1件)

数列 a1,a2,...,ai,..について、


n
Πai=a1×a2×...×an
i=1
のことでしょうか?
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この回答へのお礼

回答どうもありがとうございます。
でも、それを使うと答えが出てこないんですよf^^;)

多分、何かの公式を使うと思うのですが……

お礼日時:2001/10/06 03:51

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Q級数の積の対数は別の級数の和ですか

このことに関連して、級数の和は木の成長などに対応すると聞いていますが,級数の積が対応する自然現象とか応用法にはどのようなものがあるのでしょうか。

Aベストアンサー

同じ現象に対しても、変化量と変化率のどれを問題にしたいかによって使い分けることができるように思いました

時刻nにおけるある量をan(もしくは a(n))と表します
Δn:=a(n+1)-a(n)
δn:=a(n+1)/a(n) (* a(n)≠0を仮定しときます)

そうするとan=a0+Σ[k=0~n-1]Δn と変化量を累積して表すことができて、
一方、an=a0*Π[k=0~n-1]δn と変化率の累積でも表すことができます

Q無限級数及び、無限級数の定義とは?

度々スイマセン。
宜しくお願いいたします。


無限級数の定義について考えております。
以下のような解釈で正しいでしょうか?

無限級数とは



数列{a_n}

(つまり、a_1,a_2,a_3,…)からできる

数列{Σ(a_k,k=1,n)}

(つまり、Σ(a_k,k=1,1),Σ(a_k,k=1,2),Σ(a_k,k=1,3)),…)

のことである。

これを単に

Σ(a_k,k=1,∞)

と表す。



無限級数の値とは数列{Σ(a_k,k=1,n)}の極限値

lim(n→∞,Σ(a_k,k=1,n))

の事であり、

Σ(a_k,k=1,∞)

と表す。

この値の事を無限級数の和とも言う。

Aベストアンサー

#1です。岩波数学辞典によると、
Σ[n=1 to ∞]a_n
には2つの意味があるようです。

一つは、
a_1+a_2+a_3+・・・
のことです(これを「級数」と呼んでいる)。単にΣa_nとも書きます。
なお、収束とかは一切考えていません。「a_1,a_2,・・・を"+"という記号でつないで並べたもの」という形式的なものでしかありません。(#1に書いた形式的冪級数もこっちの意味です)

もう一つは、
部分和S_n=a_1+a_2+・・・+a_nの列{S_n}が収束する時の、極限値です。
部分和の列の極限値sを「和」と呼んで、Σ[n=1 to ∞]a_n=sなどと書くようです。
式の中で使われるΣ[n=1 to ∞]a_nはこっちの意味ですね。

また、有限数列に対してa_1+a_2+・・・+a_nも級数と呼ぶ事があるので、特に区別する必要がある場合に「有限級数」「無限級数」などと呼ぶようです。


>a_0 +a_1 x+a_2 x^2+・・・+a_n x^n+・・・
>は関数列の極限
>lim(Σ[k=0 to n]a_k x^k)
a_0 +a_1 x+a_2 x^2+・・・+a_n x^n+・・・というのは、本当に形式的なものです。収束とかは一切考えられていません。それどころか、xが実数か複素数か行列かあるいはそれ以外なのか、という事すら決めていません。
何て書けばいいのか分からなかったので、#1では「関数列(?)」と呼びましたが、これは関数ですらありません。(じゃぁ、何のなのかと聞かれると非常に困るのですが)


>(1)
>『無限級数は"無限数列の部分和の数列"』と言えるか?
少なくとも、岩波数学辞典ではその数列を「部分和の列」と呼んでいますし、「(無限)級数」と「部分和の列」とは違うと思います。

>(2)
>『無限級数の和は部分和の数列の極限"』と言えるか?
通常はそのように定義されていると思います。

>参考書には無限級数と無限級数の和とも同記号
>Σ[k=1 to ∞]a_k
>で表しているが"無限級数"と"無限級数の和"は同意なのか?
岩波数学辞典では、「a_1+a_2+・・・」という形式的なものを「(無限)級数」と呼び、部分和の極限を「和」と呼んでいます。(どちらも、同じ記号Σ[n=1 to ∞]a_n
で表しています)
ま、特に区別する必要もないと思いますが。

>(4)
>"無限級数の和"とは"無限級数の値"のことと言えるか?
「無限級数の値」が何を指すのか定義をする必要がありますが、まぁ、同じと考えていいと思います。

#1です。岩波数学辞典によると、
Σ[n=1 to ∞]a_n
には2つの意味があるようです。

一つは、
a_1+a_2+a_3+・・・
のことです(これを「級数」と呼んでいる)。単にΣa_nとも書きます。
なお、収束とかは一切考えていません。「a_1,a_2,・・・を"+"という記号でつないで並べたもの」という形式的なものでしかありません。(#1に書いた形式的冪級数もこっちの意味です)

もう一つは、
部分和S_n=a_1+a_2+・・・+a_nの列{S_n}が収束する時の、極限値です。
部分和の列の極限値sを「和」と呼んで、Σ[n=1 to ∞...続きを読む

Q無限級数の和の問題です!!数学の得意な方よろしくお願いします。

数学得意な方、助けてくださいッ(+o+)


座標平面上を移動する点の極限の問題を解いていて、無限級数の和に帰着して、解けたと思ったので
すが、いくつか値を代入したら間違っていました(;_:)


無限級数の計算の過程でどこかが違うんだと思うのですが、さっぱりわかりません。

どなたか間違いを指摘してもらえたら助かります(x_x;)





aは0<a<1を満たす定数です。

Σ[n=1~∞] a^n*cos{(n-1)2π/3}
の和を求める。

部分和S[n]=Σ[k=1~n] a^k*cos{(k-1)2π/3}

C:自然数とおくと
k=3c-2のときcos{(k-1)2π/3}=1
k=3c-1のときcos{(k-1)2π/3}=-1/2
k=3cのときcos{(k-1)2π/3}=-1/2


ここで、b[k]=a^k*cos{(k-1)2π/3}とおくと、
部分和S[n]は、

(I)n=3m(mは自然数)のとき

S[3m]
=Σ[c=1~m](b[3c-2]+b[3c-1]+b[3c])
=Σ[c=1~m]{a^(3c-2)-1/2*a^(3c-1)-1/2*a^3c}
=1/2*(2-a-a^2)*Σ[c=1~m]a^(3c-2)

∴lim[m→∞]S[m]
=lim[m→∞]1/2*(2-a-a^2)*Σ[c=1~m]a^(3c-2)
=1/2*(2-a-a^2)*a/(1-a^3)…※
=(a+2)/2(a^2+a+1)


※Σ[c=1~m]a^(3c-2)
は、初項a,公比a^3,項数mの等比数列で、公比が0<a^3<1だから。

(II)n=3m-1のとき
…以下略。


略と言うより…
(I)の時点で間違ってると思ったので、計算をやめました。

一番怪しいと思うのは
後半の計算過程

∴lim[m→∞]S[m]
=lim[m→∞]1/2*(2-a-a^2)*Σ[c=1~m]a^(3c-2)
=1/2*(2-a-a^2)*a/(1-a^3)…※
=(a+2)/2(a^2+a+1)

の部分です。

1/2*(2-a-a^2)を定数とみて
以降に無限等比級数の和の公式を使ったのですが…

使って良かったのかよくわかりません。

よろしくお願いします。

式がわかりにくかったら、コメントをお願いします。この形式で打ったのが初めてなので...

数学得意な方、助けてくださいッ(+o+)


座標平面上を移動する点の極限の問題を解いていて、無限級数の和に帰着して、解けたと思ったので
すが、いくつか値を代入したら間違っていました(;_:)


無限級数の計算の過程でどこかが違うんだと思うのですが、さっぱりわかりません。

どなたか間違いを指摘してもらえたら助かります(x_x;)





aは0<a<1を満たす定数です。

Σ[n=1~∞] a^n*cos{(n-1)2π/3}
の和を求める。

部分和S[n]=Σ[k=1~n] a^k*cos{(k-1)2π/3}

C:自然数とおくと
k=3c-2...続きを読む

Aベストアンサー

確認ですが・・

∴lim[m→∞]S[m]
=lim[m→∞]1/2*(2-a-a^2)*Σ[c=1~m]a^(3c-2)
=1/2*(2-a-a^2)*a/(1-a^3)…※
=(a+2)/2(a^2+a+1)
の部分の一行目は
S[m]→→S[3m]

また最後の行はa(a+2)/{2(a^2+a+1)}(分子にaを1つ付け加えました)
ではないでしょうか?その上で合わないということでしょうか?

Q数学のベクトルの外積(ベクトル積)についての質問です。

数学のベクトルの外積(ベクトル積)についての質問です。
ベクトルの外積はa×b=|a||b|sinθであらわされ、平行であることを示せるのはわかるのですが、直交は調べられないのでしょうか?
外積をつかって直交ベクトルを求めよと言う問題が出てしまって、いくら教科書を読んでも解き方がわかりません。
例)
a=(0,1,-1) b=(4,-1,3)で表されるベクトルで、このaおよびbに直交する単位ベクトルを外積を利用して求めよ。

Aベストアンサー

外積の定義の認識に誤りがあります。
a,bの外積a×bはベクトルです。
一方、
  |a||b|sinθ
はスカラーです。

正しくは、「外積a×bの大きさ」が
  |a×b| = |a||b|sinθ
と表されるのです。


さて、先ほども書いたようにa×bはベクトルですが、上記の式で大きさだけ定義してもa×bの定義として満足しません。
ベクトルは大きさと方向が決まらなければ一つに定まらないからです。

a×bは、大きさが
  |a×b| = |a||b|sinθ
で表され、aとbの両方に直交するベクトルの内、aからbへ右ネジを回す方向を向いたものです。


簡単に言うと、定義より、a×bはaと直交します。同様にa×bはbとも直交します。
さらに-(a×b)もa,bの両方に直交します。


そのことを踏まえると、
a=(0,1,-1) b=(4,-1,3)で表されるベクトルで、このaおよびbに直交するベクトルは
  c = ±(a×b)
と書けます。
さらにcに平行な単位ベクトルを求めれば、それがa,bの両方に直交する単位ベクトルとなります。
求めるベクトルeは
  e = c/|c| = ±(a×b)/|a×b|
です。

a×bの成分を与えられたa,bの成分から求めれば、eの成分表示を具体的に書けるでしょう。

外積の定義の認識に誤りがあります。
a,bの外積a×bはベクトルです。
一方、
  |a||b|sinθ
はスカラーです。

正しくは、「外積a×bの大きさ」が
  |a×b| = |a||b|sinθ
と表されるのです。


さて、先ほども書いたようにa×bはベクトルですが、上記の式で大きさだけ定義してもa×bの定義として満足しません。
ベクトルは大きさと方向が決まらなければ一つに定まらないからです。

a×bは、大きさが
  |a×b| = |a||b|sinθ
で表され、aとbの両方に直交するベクトルの内、aからbへ右ネジを回す方向を向いたものです...続きを読む

Q数学IIIC、定積分と級数の問題です

再投稿させていただきました。
写真の問題(特に二番)が、解き方がまったくわからず悩んでいます。
ちなみにヒントには、分母、分子にnを掛けると書いてあるのですが、その活用法もわかりません。

ちなみに答えは、(1)がlog(2+✓3)、(2)がlog(2+✓3)*2/πだそうです。

どなたかわかる方、解説をお願いします!

Aベストアンサー

(1)はいいんだよね。
(2)は
lim(log(1+1/n)^n) = loge = 1
lim Σ(π/3n)/(1/cos((π/3n)・k)) = ∫[0~π/3](1/cosx)dx = log(2+√3)
∫[0~π/3]は、0~π/3で定積分の意味です。

問題の級数は、
2・lim(log(1+1/n)^n)・`{lim Σ(π/(3n))/(1/cos((π/3n)・k))}/π
だから。


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