x/(a+b*x^n)をxについて0から∞まで積分したいです。(a、bは定数。nは1より大きい)
解析的に解けるとうれしいのですが。

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A 回答 (2件)

nが偶数の場合と奇数の場合に分けると不定積分もできるようです。


積分した式も複雑になりますので、書籍の紹介をしておきます。
積分した結果と簡単なヒントが書かれています。

「数学解析演習」微分積分学編 田邊正忠著 内田老鶴圃出版
随分古い本ですから大学の図書館でも調べて下さい。(昭和25年版)
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この回答へのお礼

nが整数の場合についての解答ですね。ありがとうございます。

参考書を紹介していただけたので、導出、並びに、nが整数ではないときについては
自分で調べます。

ありがとうございました。

お礼日時:2001/10/06 13:50

岩波の数学公式Iのp.224に


∫_0^∞ x^{α-1}/(x^β + 1) dx = (π/β) cosech(απ/β)
ただし,β>α>0
と出ていますので,すぐわかりますね.

導出?
いや,ちょっとすぐにはわかりません.
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この回答へのお礼

ありがとうございます。
αを2と置いて、β>2の範囲でいただいた解答中の公式を使えばよさそうですね。

1<β<2の場合が気になりますが、あとは導出も含めて自分でやってみます。
本当にありがとうございました。

お礼日時:2001/10/06 13:44

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QR^n∋A_1,A_2,…はΣ[k=1..∞]λ^*(A_k)<∞を満たす.∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_kはLebesgue外測度0?

よろしくお願い致します。

A_1,A_2,…をΣ[k=1..∞]λ^*(A_k)<∞を満たすR^nの部分集合とせよ。
(ア) ∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_kがLebesgue外測度0を持つ事を示せ。
(イ) これはLebesgue測度0を持つか? 持つなら理由を述べよ。

という問題です。

(ア)について
Lebesgue外測度の定義からλ^*(A_k)=inf{Σ[i=1..∞]|I_i|;A_k⊂∪[i=1..∞]I_i}…(1)
(但しI_iはn次元区間塊[a_1,b_1]×[a_2,b_2]×…×[a_n,b_n])と書け,
題意よりΣ[k=1..∞]λ^*(A_k)<∞なのでλ^*(A_k)<∞と分かる。
それでλ^*(∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k)=inf{Σ[i=1..∞]|I_i|;∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k⊂∪[i=1..∞]I_i}
から先に進めません。
λ^*(∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k)=Σ[n=1..∞]λ(∪[k=n..∞]A_k)なんて変形もできませんよね。
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(イ)について
答えは多分Yesだと思います。
Lebesgue可測集合はL:={E∈R^n;E⊂Uでinf{λ^*(U\E);Uは開集合}=0}の元の事ですよね。
なのでLebesgue測度は制限写像λ^*|L:=μと書けますよね。
それで∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k∈Lを示せば(ア)からLebesgue測度0が言えると思います。
今,(ア)より
inf{Σ[i=1..∞]|I_i|;∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k⊂∪[i=1..∞]I_i}=0
と分かったので
0=inf{Σ[i=1..∞]|I_i|;∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k⊂∪[i=1..∞]I_i}
=inf{Σ[i=1..∞]|I_i\Bd(I_i)∪Bd(I_i)|;∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k⊂∪[i=1..∞]I_i\Bd(I_i)∪Bd(I_i)}
(但しBd(I_i)は境界点)
=inf{Σ[i=1..∞]|I_i\Bd(I_i)|+|Bd(I_i)|;∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k⊂∪[i=1..∞]I_i\Bd(I_i)∪Bd(I_i)}
(∵||の定義)
からinf{Σ[i=1..∞]|I_i\Bd(I_i)|;∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k⊂∪[i=1..∞]I_i\Bd(I_i)}
となればI_i\Bd(I_i)は開集合になので
inf{Σ[i=1..∞]|I_i\Bd(I_i)|;∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k⊂∪[i=1..∞]I_i\Bd(I_i)}=0が言え,
∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k∈Lも言え,
μ(∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k)=λ^*(∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k)=0(∵(ア))
となりおしまいなのですが

inf{Σ[i=1..∞]|I_i\Bd(I_i)|+|Bd(I_i)|;∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k⊂∪[i=1..∞]I_i\Bd(I_i)∪Bd(I_i)}
から
inf{Σ[i=1..∞]|I_i\Bd(I_i)|;∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k⊂∪[i=1..∞]I_i\Bd(I_i)}
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Aベストアンサー

数列の部分和の定義と∩∪の定義からすぐだと思いますよ。
面倒なので外測度を単にλで表します。
仮定はΣλ(A_k)<∞です。これは級数の収束の定義から部分和
S_N=Σ[k=1,..,N] λ(A_k)
がコーシー列、よって
任意のε>0に対してNが存在し、n≧Nならば
Σ[k=n,...,∞] λ(A_k)<ε
ということを言っているわけです。
問題は、∩[n=1,..,∞]∪[k=n,..∞] A_kの外測度を求めることですが上の事実を利用できることが分かると思います。上で示したNをとってきます。このとき
λ(∩[n=1,..,∞]∪[k=n,..∞] A_k)≦Σ[k=N,..,∞] λ(A_k)<ε
となるのはほとんど明らかですね。任意のεに対してもっと大きい番号N'をとっても問題の集合はN'から先の和集合に含まれるわけですからこれは結局λ(∩[n=1,..,∞]∪[k=n,..∞] A_k)=0でなければならないことを示しています。

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すいません。
http://okwave.jp/qa4327195.html
について再投稿です。


A:=∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_kと置いて
今,AがLegesgue可測集合である事を示したい訳ですよね。
Lebesgue可測集合とはλをLebesgue外測度とする時,
{E;Eはn次元区間塊,E⊂∀S⊂R^n,λ(S)≧λ(S∩E)+λ(S∩E^c)}の元の事ですよね。
そこで疑問なのですがλはn次元区間塊全体に対して定義された写像ですよね。なのでλ(S∩E)とλ(S∩E^c)はそれぞれλ(E)+λ(E^c)で(∵E⊂∀S⊂R^n),一応は定義されているのですがλ(S)はSの採りようによってはλ(S)自体が定義されないという状況に陥ってしまいます(∵必ずしもSはn次元区間塊とは限らない)。
するとλ(S)≧λ(S∩E)+λ(S∩E^c)という不等式は意味を成さなくなります。
従って,AがLebesgue可測集合である事が示せなくなってしまいます。
Lebesgue可測集合の定義を勘違いしてますでしょうか?

すいません。
http://okwave.jp/qa4327195.html
について再投稿です。


A:=∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_kと置いて
今,AがLegesgue可測集合である事を示したい訳ですよね。
Lebesgue可測集合とはλをLebesgue外測度とする時,
{E;Eはn次元区間塊,E⊂∀S⊂R^n,λ(S)≧λ(S∩E)+λ(S∩E^c)}の元の事ですよね。
そこで疑問なのですがλはn次元区間塊全体に対して定義された写像ですよね。なのでλ(S∩E)とλ(S∩E^c)はそれぞれλ(E)+λ(E^c)で(∵E⊂∀S⊂R^n),一応は定義されているのですがλ(S)はSの採りようによってはλ(S)自体が定義され...続きを読む

Aベストアンサー

とりあえず教科書を読む.
定義が分かってなければ何もできない.

>Lebesgue可測集合とはλをLebesgue外測度とする時,
>{E;Eはn次元区間塊,E⊂∀S⊂R^n,λ(S)≧λ(S∩E)+λ(S∩E^c)}の元の事ですよね。

こんなこと本当に書いてある?なんか読み落としているとか
説明の途中の何かだとか,勝手に創作してるとか?

>Lebesgue可測集合の定義を勘違いしてますでしょうか?
してる.
だって,それだったら「円」ですらルベーク可測じゃなくなる.

Q∫cosh^2(x)/(a^2+(b-x)^2)dxを-∞<x<∞の範囲で定積分をしたいのですが、やり方を...

∫cosh^2(x)/(a^2+(b-x)^2)dxを-∞<x<∞の範囲で定積分をしたいのですが、やり方を教えて頂けませんか?
最終的には、bを変数としてグラフを描くことが目標です。

mapleを(初心者ですが)使って不定積分すると、

-2/[(e^x)^2+1](a^2+b^2-2bx+x^2)+∫4(b-x)/(a^2+b~2^2bx+x^2)^2((e^x)^2+1)dx

となり、積分結果に積分が出てきます。

また、直接定積分を行うと積分されずにそのままの∫の形で表示されます。
mapleの使い方が悪いのか、そもそも扱っている式が難しいのかわかりません。
数値計算を行う方が適していたら、その方法もお教え下さい。

申し訳ありませんが、どなたか教えて下さい。よろしくお願い致します。

Aベストアンサー

Maple持っていますが、pet_bottle さんと結果が違います。被積分関数が質問の通りならMapleコマンドは以下のようになります。
   int(cosh(x)^2/(a^2+(b-x)^2),x);
この結果は虚数とarctanと指数積分(∫exp(-x*t)/t^n dt )を含むかなり複雑な式になり、-∞~+∞までの定積分は∞となります。
   int(cosh(x)^2/(a^2+(b-x)^2),x=-inifity..infinity); → ∞
被積分関数は cosh(x)^2/(a^2+(b-x)^2) で正しいですか?

定積分が発散しないなら、以下のコマンドで、定積分を a と b の関数として
   f:=(a,b)->evalf(int(被積分関数),x=-infinity..infinity));
で定義して、以下のコマンドで3Dグラフが描けます。
   plot3d(f(a,b),a=0..1,b=0..1,axes=boxed,grid=[50,50]);

Q{s_n}をf∈L^+(a,b)の定義関数列とする時,lim[n→∞]∫[a..b](f(x)-s_n(x))dx=0を示せ

L^+(a,b) を区間(a,b)上の非負可積分関数全体の集合とする。

f∈L^+(a,b)に対し,定義関数列{s_n}が存在する。その時,
lim[n→∞]∫[a..b](f(x)-s_n(x))dx=0を示せ。
(この∫は単関数のルベーグ積分)

という問題なのですがどのように証明していいのか分かりません。
定義関数列の定義からs_1(x)≦s_2(x)≦…≦f(x)
でs_n(x)はf(x)に近づいていくので0となる事は直観では分かるのですが…。

どのようにすればいいのでしょう?

Aベストアンサー

つまり
s_n(x)の存在を示して
f(x)=lim[n→∞]∫[a..b](s_n(x))dx
が成立するのを言えばいいのではないでしょうか。

P27,28に書いてあります。

参考URL:http://www.sci.hyogo-u.ac.jp/maths/master/h19/2007kuwabara.pdf

Q(1)1/(1-x-x^2)=Σ(n=0~∞)a_n(x^n)に対して

(1)1/(1-x-x^2)=Σ(n=0~∞)a_n(x^n)に対して、a_0,・・・,a_10を求め、その規則性を見つけよ。そして、どうしてその規則性が成り立つのか説明せよ。

(2)(2-x)/(1-x-x^2)Σ(n=0~∞)a_n(x^n)に対して、a_0,・・・,a_10を求め、その規則性を見つけよ。そして、どうしてその規則性が成り立つのか説明せよ。

(3)(x^2)/(1-x-x^2-x^3)Σ(n=0~∞)a_n(x^n)に対して、a_0,・・・,a_10を求め、その規則性を見つけよ。そして、どうしてその規則性が成り立つのか説明せよ。

できるだけ、詳しく教えてください。お願いします。

Aベストアンサー

それぞれ部分分数分解し、出てきた部分分数を
a/(x-c) = (-a/c)/{ 1-(x/c) } = (-a/c) + (-a/c)(x/c) + (-a/c)(x/c)^2 + …
と等比級数に展開してから、x の次数ごとにまとめれば吉。


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