恒等式の問題に出てきたのですが、f(x)=g(x)・h(x) において、f(x) が4次式でg(x),h(x),が定数でないとすると、g(x)=h(x) が成り立つことを示せという問題です。そこで、「g(x)=h(x) はそれぞれ3次以下の等式である」と書かれているのですが、わかりません。これは必要条件ですよね。解答には何も書かれていないので、「g(x) = 3次 , h(x) = 3次」の場合もありえるよと書かれているように思えるのですが、どう考えればよいのかわかりません。
これは解答に不備があるのでしょうか。

似たような形で、「a+b≦1ならばa≦1, b≦1」 というのがあると思うのですが、「a+b≦1ならばa≦1, b≦1が必要条件である」としっかり書かなくて良いのでしょうか。

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A 回答 (4件)

これは数学の問題じゃありません。

国語の問題です。題意が余りにも不明確でめちゃくちゃなんです。
ご質問なさる際に勝手に書き換えちゃってませんか?いや、この通り書いてあるというのだとすると…
 出題者が数学の問題をやらせる積もりだってぇのなら、その出題者はアホです。出題したのが先生なら文句を言いましょう。参考書の問題なら別の本に乗り換えましょう。入試の過去問だったら、そのアホ学校を受けるのはやめましょう。

[0]まず
g(x)・h(x) 
この・が何を意味するのか不明です。普通の掛け算でしょうか?それとも内積?
以下では単なる掛け算とみなすことにします。

[1] 必要条件、十分条件という言葉、あんまり囚われることはないです。(後で詳しく説明しますが)
P⇒Q は「PならばQ」と読む。「Pが成り立っているなら必ずQも成り立っている」という状態(あるいは主張)を表しています。(それが本当かどうかは分かりません。)P⇒Qとは「Pが成り立つのにQが成り立たないことはない」と完全に同じ意味で、「Qが成り立つか、またはPが成り立たない」とも厳密に同じ意味です。

P⇒Q において、PはQの十分条件。(Qが成り立っているかどうか確かめたければ、Pが成り立つことを示せば十分)
P⇒Q において、QはPの必要条件。(Pが成り立っているかどうかチェックするには、少なくともQが成り立つのでなくてはお話にならない。Qが成り立っていてもPが成り立っているとは言えない。でも、Qが成り立っていないのなら、間違いなくPも成り立っていない。)

[2] 次の例は危ないな。
> 「a+b≦1ならばa≦1, b≦1」
つまり
(a+b≦1 ⇒ a≦1 ∧ b≦1)  (∧はANDの意味です)
この命題自体は普通に考えたら間違いですよね。a=2, b=-3でもa+b≦1である。

(a≧0 ∧ b≧0 ∧ a+b≦1 ⇒ a≦1 ∧ b≦1) 
というのならオッケーで、
P =(a≧0 ∧ b≧0 ∧ a+b≦1)
Q=(a≦1 ∧ b≦1)
P⇒Q
という形をしています。

或いは
(a+b≦1 ⇒ a≦1 ∨ b≦1)  (∨は「OR: または」の意味です。)
というのならオッケーで、
P =(a+b≦1)
Q=(a≦1 ∨ b≦1)
P⇒Q
という形をしています。

[3]さて、問題に取りかかりましょう。
「恒等式f(x)=g(x)h(x) において、f(x) が4次多項式でg(x),h(x),が定数でないとすると、g(x)=h(x) が成り立つことを示せ。g(x)=h(x) はそれぞれ3次以下の等式である」
まず形式的に(内容を考えないで)素直に整理します。
P =(∀x(f(x)=g(x)h(x)) ∧ f(x) は4次式 ∧ g(x)は定数でない ∧ h(x)は定数でない )
Q =(∀x(g(x)=h(x)))
R= (h(x)=g(x)はそれぞれ3次以下の等式である)
とするとき
P⇒Q
を証明せよという問題らしい。でもRはどうしろと言っているのかよく分からない。

Qの∀x(g(x)=h(x)) というのは「どんなxについてもg(x)=h(x)が成り立つ。」と読む。つまりこれはg(x)=h(x)が恒等式であることを表す命題です。

Rの「h(x)=g(x)はそれぞれ3次以下の等式である」はでたらめです。完全に辻褄が合う合理的な解釈はないように思われます。
なぜなら、
☆「h(x)は3次以下の等式である」は常に誤りです。例えば(x+1)は3次以下の等式ですか?これは3次以下の多項式ではあるけれど、等式ではない。等式ってのは=が入ってなきゃいけません。
☆「h(x)=g(x)は3次以下の等式である」というのなら納得できます。しかしこの場合ご質問において『それぞれ』という言葉が入っているのがおかしい。等式は1個しかないのですから。
☆「h(x)は3次以下の多項式である」というのなら納得できます。でもg(x)=h(x)ですから、g(x)も3次以下の多項式であることは、わざわざ断るまでもない。


[4] ということは、ひょっとしたら問題はこういう意味ではないでしょうか?
P =( f(x) は4次多項式 ∧ ∀x(f(x)=g(x)h(x)) ∧ g(x)は定数でない3次以下の多項式 ∧ h(x)は定数でない3次以下の多項式 )
Q =(∀x(g(x)=h(x)))
とするとき
P⇒Q
つまり「4次多項式f(x)について、恒等式f(x)=g(x)h(x)が成り立つような定数でない3次以下の多項式g, hについて、恒等式g(x)=h(x)が成り立つ」ことを証明せよ。

次に内容に踏み込んでみましょう。
Pが成り立つとき、
P⇒Q
が成り立たない例は簡単に作れます。たとえば、
g(x) = x^3, h(x)=x
はPを満たすけれどQは満たさない。

というわけで、この問題は間違い。解釈が出題者の意図に合っていないようだ。(あるいは質問者が問題を書き写す際に変形させちゃったのかもしれません。)

[5]それでは
P=(f(x) は4次多項式 )
Q= ∃g∃h(∀x(f(x)=g(x)h(x)) ∧ g(x) = h(x) ∧g(x)は定数でない3次以下の多項式 ∧ h(x)は定数でない 3次以下の多項式)
P⇒Q
という解釈ならどうでしょう。
∃g∃h(…)というのは、「(…)が成り立つようなg,hが存在する」という意味です。文章にすると
「4次多項式f(x)について、恒等式f(x)=g(x)h(x)が成り立ち、しかも恒等式 g(x) = h(x)が成り立つような、定数でない3次以下の多項式g,hが存在する。」

内容を考えてみます。例えばもし
f(x) = (x^3)(x+1) = x^4+x^3
だったとすると、f(x)=g(x)h(x)) ∧ g(x) = h(x) を満たすg,hは
g(x)=h(x)=±√((x^3)(x+1))
しかないわけでして、はて、±√((x^3)(x+1))は3次以下の多項式なんでしょうか、どうなんでしょう?

この解釈もどうも旨く行かないようです。

[5] どうやらこの問題の文章はめちゃくちゃであるらしいことが分かってきました。こうなったら、まともな答が出るように問題文を作り直すしかありません。

恒等式f(x)=g(x)h(x)が成り立ち、fは4次の多項式、g,hは定数でない多項式だとしましょう。
g,hが3次を越える多項式であることはありえません。なぜなら、
g(x) = Ax^4+ ....
h(x) = Bx+C
であったとしても
g(x)h(x) = AB(x^5)+AC(x^4)+ .....
となって、AB(x^5)の項が現れる。f(x)は4次多項式なので、
AB=0
でなくてはならない。するとA=0(gは3次の多項式)かB=0(hは定数)となってしまいます。h(x)が定数になったのでは駄目。だからgはどう頑張っても4次以上の多項式にはならない。hとgを入れ替えて同じ議論をすれば、g, h共に3次を越える多項式にはならないことが分かります。

そこで、
恒等式f(x)=g(x)h(x)が成り立つならば、
g(x) = A(x^3)+B(x^2)+Cx+D  (A,B,Cのうちどれかは0でない)
h(x) = E(x^3)+F(x^2)+Gx+H  (E,F,Gのうちどれかは0でない)
と書ける。
掛け算すると
g(x)h(x) = AE(x^6)+(AF+BE)(x^5)+......
ここでf(x)は4次多項式だから、
AE=0
(AF+BE)=0
でなくてはならない。

AE=0ですからA=0かE=0である。従って、
場合1)A=0、E≠0のとき
(AF+BE)=0
より
BE=0
だからB=0である。
g(x) = Cx+D  (Cは0でない)
h(x) = E(x^3)+F(x^2)+Gx+H  (E,F,Gのうちどれかは0でない)

場合2)A≠0、E=0のとき
(AF+BE)=0
より
AF=0
だからF=0である。
g(x) = A(x^3)+B(x^2)+Cx+D  (A,B,Cのうちどれかは0でない)
h(x) = Gx+H  (Gは0でない)

場合3)A=0、E=0のとき
(AF+BE)=0
は満たされています。
g(x) = B(x^2)+Cx+D  (B,Cのうちどれかは0でない)
h(x) = F(x^2)+Gx+H  (F,Gのうちどれかは0でない)

ということ。

場合1,2ではg,hの次数が違いますから、恒等式g(x)=h(x)は絶対成り立たない。
場合3では、B=F, C=G, D=H である時に限って恒等式g(x)=h(x)が成り立つけれど、それ以外では成り立たない。
つまりこの問題では、「g(x)=h(x)」というのは恒等式の事を言っているのではないらしいと推察できます。

しかし、等式
g(x)=h(x)
はいずれの場合にも(恒等式ではない(つまり方程式である)けれど)「3次以下の多項式から成る等式である」ことには間違いないですね。

ははあ。問題はこのことを言いたかったらしい。

[6] では「正しい問題文」を考えてみましょう。
∀f∀g∀h (fは4次の多項式∧gは定数でない多項式∧hは定数でない多項式∧ ∀x(f(x)=g(x)h(x))⇒g(x)=h(x)は3次以下の多項式から成る等式)
つまり、「任意の4次の多項式fについて、恒等式f(x)=g(x)h(x)が成り立つような、定数でない多項式g,hを考える。そのようなどんなg,hについても、等式g(x)=h(x)は3次以下の多項式から成る等式である。」を証明せよ。

さて、この最後の問題で、どれが必要条件で、どれが十分条件か。

P=fは4次の多項式∧gは定数でない多項式∧hは定数でない多項式∧ ∀x(f(x)=g(x)h(x))
Q=g(x)=h(x)は3次以下の多項式から成る等式
P⇒Q
という訳ですから、
必要条件は
・fは4次の多項式
・gは定数でない多項式
・hは定数でない多項式
・恒等式f(x)=g(x)h(x)が成り立つ
であり、十分条件は
・g(x)=h(x)は3次以下の多項式から成る等式
と言うことができます。

でもね、この問題は
∀f∀g∀h (fは4次の多項式∧gは定数でない多項式∧hは定数でない多項式∧
  (∀x(f(x)=g(x)h(x))⇒g(x)=h(x)は3次以下の多項式から成る等式))
と書いても同じ意味です。つまり
「fは4次の多項式、gは定数でない多項式、hは定数でない多項式とする。このとき、
恒等式f(x)=g(x)h(x)が成り立つならば、g(x)=h(x)は3次以下の多項式から成る等式である。」
こう読めば、
必要条件は
・恒等式f(x)=g(x)h(x)が成り立つ
十分条件は
・g(x)=h(x)は3次以下の多項式から成る等式
そして、「fは4次の多項式、gは定数でない多項式、hは定数でない多項式とする。」の部分は強いて言えば「前提条件」とでも呼ぶべきか。

さらに、
∀f∀g∀h (∀x(f(x)=g(x)h(x))∧gは定数でない多項式∧hは定数でない多項式∧
  (fは4次の多項式⇒g(x)=h(x)は3次以下の多項式から成る等式))
と書いても同じ意味です。つまり
「恒等式f(x)=g(x)h(x)が成り立ち、gは定数でない多項式、hは定数でない多項式とする。このとき、
fが4次の多項式ならば、g(x)=h(x)は3次以下の多項式から成る等式である。」
こう読めば、
必要条件は
・fは4次の多項式
十分条件は
・g(x)=h(x)は3次以下の多項式から成る等式
そして、「恒等式f(x)=g(x)h(x)が成り立ち、gは定数でない多項式、hは定数でない多項式とする。」の部分が「前提条件」に該当する。

というわけで、「前提条件」なるものを持ち出してしまうと、必要条件だの十分条件だのという言葉は余り意味がないのがお分かりになるでしょう?
必要条件だの十分条件だの、あまり気にしないことです。
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この回答へのお礼

>これは数学の問題じゃありません。国語の問題です。題意が余りにも不明確でめちゃくちゃなんです。
ご質問なさる際に勝手に書き換えちゃってませんか?いや、この通り書いてあるというのだとすると…

お返事してくださってありがとうございます。どうもすいません、勝手に問題をかえてしまいました。本当にごめんなさい。下の方に、問題を書き換えずに正確に書かせていただいたものがあります。すいません、もう一度ご覧くだされば、ありがたいのですが。

>[0]まず
g(x)・h(x) 
この・が何を意味するのか不明です。普通の掛け算でしょうか?それとも内積?
以下では単なる掛け算とみなすことにします。

はい、掛け算です。問題文ではg(x)h(x)と書かれていたのですが、わかりにくいかなと思って黒丸をつけたのですが、よけわかりにくくなってしまいましたね。

>[1] 必要条件、十分条件という言葉、あんまり囚われることはないです。(後で詳しく説明しますが)

過去問を見ると、「論述にときは特に論理関係に気をつけなければならない。」と書いてあったので、気にしています。必要十分の話結構出題されているので。

>[2] 次の例は危ないな。
> 「a+b≦1ならばa≦1, b≦1」
或いは
(a+b≦1 ⇒ a≦1 ∨ b≦1)  (∨は「OR: または」の意味です。)
というのならオッケーで、
P =(a+b≦1)
Q=(a≦1 ∨ b≦1)
P⇒Q
という形をしています。

「,」は多分多くの場合orの意味として使われると聞いたことがあるので、ここでは仰るように「(a+b≦1 ⇒ a≦1 ∨ b≦1)」の意味で使っているのでしょう。やっぱり参考書もきっちりと論理記号で書いて欲しいですね。

>☆「h(x)は3次以下の等式である」は常に誤りです。例えば(x+1)は3次以下の等式ですか?これは3次以下の多項式ではあるけれど、等式ではない。等式ってのは=が入ってなきゃいけません。
☆「h(x)=g(x)は3次以下の等式である」というのなら納得できます。しかしこの場合ご質問において『それぞれ』という言葉が入っているのがおかしい。等式は1個しかないのですから。
☆「h(x)は3次以下の多項式である」というのなら納得できます。でもg(x)=h(x)ですから、g(x)も3次以下の多項式であることは、わざわざ断るまでもない。

本当にすいません、ここも私が勝手に解釈して、「それぞれ」という表現を入れてしまいました。正しくは、「h(x)=g(x)は3次以下の等式である」です。ごめんなさい。

>Pが成り立つとき、
P⇒Q
が成り立たない例は簡単に作れます。たとえば、
g(x) = x^3, h(x)=x
はPを満たすけれどQは満たさない。

というわけで、この問題は間違い。解釈が出題者の意図に合っていないようだ。(あるいは質問者が問題を書き写す際に変形させちゃったのかもしれません。)

本当にすいません、問題文の肝心なところを飛ばして、おたずねしたいところだけを抜粋してしまったので、数学の問題ではなくならせてしまいました。お詫びの意味も込めて、もう一度、問題文を一字一句、忠実に再現したいと思います。
「0,1のいずれとも異なる2整数a,b(a≠b)を考え、f(x)=x(x-1)(x-2)(x-a)(x-b)+1 とおく。g(x),h(x) は整数係数の多項式でf(x)=g(x)h(x) であると仮定する。このとき
(1) g(0)=h(0)を示せ
(2)g(x),h(x)のどちらも定数でないならば、g(x)=h(x) であることを示せ
(3)(2)の場合が起こるようなa,bの例を1つ求めよ。」

>というわけで、「前提条件」なるものを持ち出してしまうと、必要条件だの十分条件だのという言葉は余り意味がないのがお分かりになるでしょう?

すいません、前提条件が必要条件と十分条件にどのような影響を与えているのかいまひとつわかりません。必要条件と十分条件の関係はわかりましたが、前提条件という物を持ち出してきた場合、この3者の関係はどのようになるのでしょうか。

お礼日時:2001/10/11 03:59

●前提、必要条件、十分条件


論理式が P⇒(Q⇒R) という構造をしているとき、「Pである場合にだけ限って考えれば、(Q⇒R)の必要条件はQ、十分条件はR」という解釈をすることができる。このとき、Pを強いて名付ければ「前提」と呼ぶのが分かりやすいだろうと思います。例えば
∀x (xは自然数⇒(x≠0⇒x>0))
なら、「自然数についてだけ考えれば、xが0でないならばxは正である」という読み方ができる。

でも P⇒(Q⇒R)は ¬P∨(¬Q∨R) と等価であり、従って¬(P∧Q)∨Rとも、(P∧Q)⇒Rとも、Q⇒(P⇒R)とも等価です。だから「前提」と「必要条件」を区別するはっきりした根拠はないですね。
¬(P∧Q)∨R
を使って上の例を書くと、
∀x (¬(xは自然数∧x≠0)∨x>0) :「どんなxも、(0でない自然数)ではないか、あるいは正である」
ということになる。これは「自然数についてだけ考えれば、xが0でないならばxは正である」と読む以上の含蓄があるように思いますが、如何でしょう。
「必要条件・十分条件に注意しろ」というのは、Q⇒Rを証明すべき時に誤ってR⇒Qを証明しちゃうような、そういう誤りを諫めている。でもP⇒(Q⇒R)という読み方に拘らない方が、いろんなアプローチを考える余地ができると思います。

●","の意味
ANDにもORにも使われることがありますが、
「山田は男, 坂本は女, 柴田は犬だ。」
と言ったらこれ、ANDでしょう?命題を","で繋いだら、大抵の場合ANDの意味です。
問:x=1, y=0のとき、x+y+xyを求めよ
を「x=1またはy=0ならx+y+xyが幾らになるか」って考えるのはへそ曲がりでしょう。

問:x(x-1)=0の必要十分条件は?
答1:x=0,x=1
なんていい加減な書き方をしても、(1≠0)が分かっているからこれらは x=0 ∨ x=1 だろうと了解できますが、好ましくはありません。
答2:x=0,1
のように、命題ではなく対象を","で繋ぐのはx∈{0,1}の意味だと思えばまだ許せます。

●さて、補足なさった問題:
「0,1のいずれとも異なる2整数a,b(a≠b)を考え、f(x)=x(x-1)(x-2)(x-a)(x-b)+1 とおく。g(x),h(x) は整数係数の多項式でf(x)=g(x)h(x) であると仮定する。このとき
(1) g(0)=h(0)を示せ
(2)g(x),h(x)のどちらも定数でないならば、g(x)=h(x) であることを示せ
(3)(2)の場合が起こるようなa,bの例を1つ求めよ。」

これを整理してみましょう。以下でZは整数の集合。Cはxの変域で、複素数とか実数とか、そのへんは曖昧ですが、
命題Pを
P = a≠b ∧ a∈Z-{0,1} ∧ b∈Z-{0,1} ∧
 ∀x(x∈C⇒f(x)=x(x-1)(x-2)(x-a)(x-b)+1) ∧
 g∈整数係数の多項式 ∧ h∈整数係数の多項式 ∧ ∀x(x∈C⇒f(x)=g(x)h(x))

とすると、
(1) ∀a∀b∀f∀g∀h (P⇒g(0)=h(0))
(2) ∀a∀b∀f∀g∀h (P⇒((gは定数関数でない∧hは定数関数でない)⇒∀x(g(x)=h(x))))
(3) ε<a,b>∀f∃g∃h (P∧gは定数でない∧hは定数でない)
と書けます。ここにε<a,b>Xは「Xを満たすような<a,b>」と読みます。
(1)(2)の場合、Pを「前提」と考えるのが普通でしょうね。

(1)の命題は真です。
もしPでないならば(g(0)=h(0)であろうとg(0)≠h(0)であろうと)(1)の命題は真です。
またもしPならば、f(0)=1, g(0)∈整数, h(0)∈整数, f(0)=g(0)h(0)です。ゆえに整数の性質から g(0)∈{1,-1}, h(0)∈{1,-1}, g(0)=h(0)です。よって(1)の命題は真である。
いずれにせよ、(1)の命題は真である。

(2)の命題は偽です。
f(x)は5次式ですから、「g(x),h(x) がxの多項式で、∀x(f(x)=g(x)h(x)) であって、しかも∀x(g(x)=h(x))」ということはない。なぜならもし∀x(g(x)=h(x))ならば、∀x(f(x) = (g(x))^2)だからf(x)の次数は偶数の筈です。
(3)も、そのようなa,bはない。
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この回答へのお礼

お返事していただいてどうもありがとうございます。前提条件と必要条件と十分条件の違いがよくわかることができました。論理記号を教えてもらったおかげで論理記号にも慣れてきました。うれしいです。どうもありがとうございました。

お礼日時:2001/10/15 00:49

そうですね、その時点では「g(x) = 3次 , h(x) = 3次」の場合もありえると言ってます。


但し、別の条件(g(x)*h(x)が4次)から除外されます。
もちろんこれは必要条件です。

後半は、(a,bは非負と云う前提があるとして)必要条件と云うより
「a+b≦1 ならば a≦1 も成立するし、 b≦1 も成立するよ」
と考えればいいのでは?
これも a≦1,b≦1なら何でもいいわけではなく、必要条件であることは間違いありません。
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この回答へのお礼

>そうですね、その時点では「g(x) = 3次 , h(x) = 3次」の場合もありえると言ってます。
但し、別の条件(g(x)*h(x)が4次)から除外されます。
もちろんこれは必要条件です。

お返事していただいてありがとうございます。「もちろんこれは必要条件です。」と書かれておられるのですが、ここでいう「これ」は「g(x)=h(x) はそれぞれ3次以下の等式である」を指しているのでしょうか。それとも、これを別の条件(g(x)*h(x)が4次)から除外したものが必要条件なのでしょうか。多分前者だと仰っているのだと思われますが、そうすると前提条件ではないということですか。

お礼日時:2001/10/08 02:32

お尋ねのもの「g(x), f(x)はそれぞれ3次以下」というのは単なる前提条件(あるいは制約条件)であり、数学の世界でいう「必要条件」(例えば「g(x)=h(x) が成り立つための必要条件」「f(x)が4次式であるための必要条件」)ではありません。



解答に不備はありません。問題が与えているその前提条件(g(x), f(x)はそれぞれ3次以下)だけでは、g(x), f(x)いずれもが3次式となることは禁じていません。
ただ実際に解いてみれば、その双方が3次式だとf(x)が4次式で収まらないので、それに由来して解から除外されるということです。

後半は「a, bとも正」という条件付きでのお話ですね。
これは上記の議論と異なり、問題が与えている前提条件ではなくて数学的に言う「必要条件」になっています。
「AならばBである」は「BはAであるための必要条件」であり、「AはBであるための十分条件」なわけですね。
もちろんおっしゃるように「a+b≦1ならばa≦1, b≦1が必要条件である」と書いて正しいわけですが、通常は簡単に「a+b≦1ならばa≦1, b≦1」とだけ書いているということです。
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この回答へのお礼

>問題が与えているその前提条件(g(x), f(x)はそれぞれ3次以下)だけでは、g(x), f(x)いずれもが3次式となることは禁じていません。

お返事どうもありがとうございます。前提条件と必要条件の違いがよくわからないのですが、「a+b≦1ならばa≦1, b≦1」のほうもa=1,b=1のときも禁じているわけではないですよね。これを必要条件とすると、g(x), f(x)いずれもが3次式となることは必要条件にはならないのでしょうか。

お礼日時:2001/10/08 02:28

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ないでしょうか。
尚、更に昔は乗算、除算という命令もありませんでした。

Q(i)spanX=V ならば x∈V,x=Σ[i=1..n](xi),(ii)x∈V,∥x∥^2=Σ[i=1..n]||^2ならばXは完

お世話になっています。

[Q]X={x1,x2,…,xn}を内積空間Vの正規直交集合とせよ。この時,次の(i),(ii)を示せ。
(i)spanX=V ならば x∈V,x=Σ[i=1..n](<x,xi>xi)
(ii)x∈V,∥x∥^2=Σ[i=1..n]|<x,xi>|^2ならばXは完全

完全の定義は「正規直交集合Xが完全とはVの中での最大個数の正規直交集合の時,Xを
完全と言う」です。
つまり,#X=max{#S∈N;(V⊃)Sが正規直交集合}を意味します。

証明で行き詰まっています。

(i)については
x∈Vを採ると,spanX=Vよりx=Σ[i=1..n]cixi (c∈F (i=1,2,…,n))と表せる。
これからΣ[i=1..n](<x,xi>xi)にどうやって持ってけばいいのでしょうか?

あと,(ii)についてはさっぱりわかりません。
何か助け舟をお願い致します。

Aベストアンサー

>x=Σ[i=1..n]cixi (c∈F (i=1,2,…,n))と表せる。
<xi,x>を計算すれば終わり

>(ii)についてはさっぱりわかりません
「任意の」x∈Vに対して
∥x∥^2=Σ[i=1..n]|<x,xi>|^2
ならばXは完全

x1,...,xnとは異なるyをとり,
x1,...,xn,yが正規直交であると仮定する.
||y||^2 = Σ[i=1..n]|<y,xi>|^2を計算すれば
矛盾がでてくる.

Q①整数とは ②(整数)+(整数)=(整数) ~数学・算数が苦手な生徒に説明する場合~

①整数とは何か。

②(整数)+(整数)=(整数)、(整数)-(整数)=(整数)

→①と②を「数学・算数が苦手な生徒に」わかりやすく説明するにはどうしたらいいのでしょうか?

☆宜しくお願い致します☆

Aベストアンサー

整数とは、0に1ずつ足したり引いたりしてできる数の集まり。0を含む。
整数+整数が整数になるのは、
例えば、0に3をたすということは、
0+1+1+1になるから、必ず整数になる。
整数-整数も0に3を引くとなると
0-1-1-1になるから必ず整数になる。

QX-Y平面の領域D={(x,y)|0≦x≦1,x-1≦y≦x+1}を、

X-Y平面の領域D={(x,y)|0≦x≦1,x-1≦y≦x+1}を、x/y=u,y=vとして、U-V平面での領域で表したいのですが、どうにもできません。誰か教えてください。

Aベストアンサー

定義域をどう変換したら良いかわからないという意味の質問と捉えるならば、(<、>の下の等号は省略)
0<x<1 より両辺を足したり引いたりすれば、
1<x+1<2
-1<x-1<0
よってx-1<y<x+1 は -1<y<2 となり、 -1<v<2
また、x/y=uより0<x<1は0<uy<1
これから両辺に(題意としてy=v=0は定義されないので)1/yを掛ければ
0<u<1/y=1/v となりvの定義域から1/vの定義域の上限は無限大なので
0<uのみとなる。
結果、-1<v<2、0<uが領域の変換後の回答です。


 

Qアクセスのデータ形式で「長整数型」とはどんなものですか

ACCESS 2003 です。
アクセスのデータ形式で「長整数型」というのがありますが、他の[整数型]
とはどこがどのように違うのでしょうか、また、どのような場合に使うのでしょうか。

以上宜しくお願いします。

Aベストアンサー

こちらがまとまっていますね。
http://www.geocities.co.jp/Foodpia/2035/study/access/kihon/exp02_02.htm

フィールドの値を越えない範囲で最小のサイズを選択するようにします。

Q∫[a,b](f(x)+g(x))dx=∫[a,b]f(x)dx + ∫[a,b]g(x)dx の証明

ある本(微分積分学)を読んでいて、次のような定理の証明を考えています。

有界なf(x),g(x)が[a,b]でリーマン積分可能であるとき、f(x)+g(x)もそうであり、∫[a,b](f(x)+g(x))dx=∫[a,b]f(x)dx + ∫[a,b]g(x)dxが成り立つ。

定積分に関するごく初歩的な定理ですが、これを、上限と下限の不等式を使って証明しようとしているのですが、うまくいきません。ヒントには次のようになっています。

#以下の記述ですが、上の本は記号の表示に誤りを含んでいるように思われましたので正しい表示に直してあります。

ヒント
fに対する不足和、過剰和を、それぞれ、 s(f,Δ)、S(f,Δ)というふうに書けば、s(f,Δ)+ s(g,Δ)≦s(f+g,Δ)≦S(f+g,Δ)≦S(f,Δ)+ S(g,Δ) に注意せよ。

同書の略解
分割Δの小区間[a(i-1),a(i)]における f+g,f,g の下限をm(i),n(i),p(i)とすれば m(i)≧n(i)+p(i)、ゆえにs(f,Δ)+ s(g,Δ)=Σn(i)(a(i)-a(i-1)) + Σp(i)(a(i)-a(i-1))≦Σm(i)(a(i)-a(i-1))=s(f+g,Δ)同様にS(f+g,Δ)≦S(f,Δ)+ S(g,Δ) だから、inf(S(f,Δ))=sup(s(f,Δ))、inf(S(g,Δ))=sup(s(g,Δ))なら、inf(S(f+g,Δ))=sup(s(f+g,Δ))=、sup(s(f,Δ))+sup(s(g,Δ))

となっていますが、最後の等式がどうしても出てきません(その前までは理解できました)。行間を埋めていただけるとありがたいです。

s(f,Δ)+ s(g,Δ)≦s(f+g,Δ)≦S(f+g,Δ)≦S(f,Δ)+ S(g,Δ)

からそれぞれの辺のsup、infを考えるとできるのではないかとも思われるのですが、どうしてもわかりませんでした。

よろしくお願いいたします。

ある本(微分積分学)を読んでいて、次のような定理の証明を考えています。

有界なf(x),g(x)が[a,b]でリーマン積分可能であるとき、f(x)+g(x)もそうであり、∫[a,b](f(x)+g(x))dx=∫[a,b]f(x)dx + ∫[a,b]g(x)dxが成り立つ。

定積分に関するごく初歩的な定理ですが、これを、上限と下限の不等式を使って証明しようとしているのですが、うまくいきません。ヒントには次のようになっています。

#以下の記述ですが、上の本は記号の表示に誤りを含んでいるように思われましたので正しい表示に直してあります。

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Aベストアンサー

おそらく、同じ分割Δに対して、不等式、
s(f,Δ)+ s(g,Δ)≦s(f+g,Δ)≦S(f+g,Δ)≦S(f,Δ)+ S(g,Δ)
を考えているからわかりにくいのだと思います。

分割Δ1と分割Δ2を合体させた分割をΔ3とします。
Δ1の分割点x1,…,xmと、Δ2の分割点y1,…,ynを合わせた分割点
x1,…,xm,y1,…,ynによって[a,b]を分割するのがΔ3という意味。

小区間[x(i-1),xi]が2つの小区間[x(i-1),yj]と[yj,xi]に分割された
とすると、小区間[x(i-1),xi]でのinf(f)(xi-x(i-1))よりも、
2つの小区間[x(i-1),yj]と[yj,xi]での
inf(f)(yj-x(i-1))+inf(f)(xi-yj)の方が大きくなる。
sup(f)では逆に小さくなる。
(グラフを描いてみればわかると思います)

すなわち、分割を細かくすると、不足和は大きく、過剰和は小さくな
る。

なので、s(f,Δ1)≦s(f,Δ3)、s(g,Δ2)≦s(g,Δ3)
辺々足して、
s(f,Δ1)+s(g,Δ2)≦s(f,Δ3)+s(g,Δ3)
≦s(f+g,Δ3)≦sup(s(f+g,Δ))←これは、あらゆる分割Δに対するsup
という意味で使っているので、Δは分割の変数のような記号と思って
ください。

このように、別個の分割に対する不等式が示せたので、
s(f,Δ1)、s(g,Δ2)それぞれであらゆる分割を考えて、
sup(s(f,Δ))+sup(s(g,Δ))≦sup(s(f+g,Δ))

infのほうも同様です。

本の記述はわかりませんが、同じ分割に対してのみsup,infを考えてい
たのでは、やや曖昧な気がします。

しかし、私の大学時代の関数論が専門の教授は、一松信先生は大先生
だと絶賛していましたが・・・
おそらく、本の中で論理は通っているものと思われますが・・・

おそらく、同じ分割Δに対して、不等式、
s(f,Δ)+ s(g,Δ)≦s(f+g,Δ)≦S(f+g,Δ)≦S(f,Δ)+ S(g,Δ)
を考えているからわかりにくいのだと思います。

分割Δ1と分割Δ2を合体させた分割をΔ3とします。
Δ1の分割点x1,…,xmと、Δ2の分割点y1,…,ynを合わせた分割点
x1,…,xm,y1,…,ynによって[a,b]を分割するのがΔ3という意味。

小区間[x(i-1),xi]が2つの小区間[x(i-1),yj]と[yj,xi]に分割された
とすると、小区間[x(i-1),xi]でのinf(f)(xi-x(i-1))よりも、
2つの小区間[x(i-1),yj]と[yj,xi]での
inf(f)(yj-x(i...続きを読む

Q「整数aと整数bが互いに素」とは?

「整数aと整数bが互いに素」とは、いったいどういうことを意味するのでしょうか?

Aベストアンサー

【結論】
最大公約数が1であるとき、二つの整数は互いに素であるという。
【補足】
最大公約数(GCD:Greatest Common Divisor)とは、0ではない二つの整数に共通する約数のうち最大値をとるものを指します。
数学上では、二つの整数 a, b に対して、その最大公約数を『gcd(a, b)』と表記することが多い。
但し、一方が0である場合、gcd(a, 0)=a として、最大公約数を決めるものとします。
【性質】
ユークリッドの互除法などにより、互いに素な二つの整数 x, y に対して、ax+by=1 を満たす整数 a, b が存在することは保証される。
------
まあ、要は「整数aと整数bが互いに素」とは『整数aと整数bの最大公約数が1である』ということを意味しています。
それ以上でもそれ以下でもありません。

こんな回答で良かったのでしょうか?元予備校講師的には、通常これ以上は説明不要である、と考えているのですが、一方、環やイデアルと言った論点の参考にするには、あまりにも足りません。
その辺は何卒ご了承下さい。m(_ _)m

参考URLは百科事典ウィキペディア(Wikipedia)の整数のページです。

参考URL:http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B4%E6%95%B0

【結論】
最大公約数が1であるとき、二つの整数は互いに素であるという。
【補足】
最大公約数(GCD:Greatest Common Divisor)とは、0ではない二つの整数に共通する約数のうち最大値をとるものを指します。
数学上では、二つの整数 a, b に対して、その最大公約数を『gcd(a, b)』と表記することが多い。
但し、一方が0である場合、gcd(a, 0)=a として、最大公約数を決めるものとします。
【性質】
ユークリッドの互除法などにより、互いに素な二つの整数 x, y に対して、ax+by=1 を満たす整数 a, b が存...続きを読む

Qx1=(1,1,1),x2=(1,1,-1),x3=(1,-1,-1)をC^3の基底,{y1,y2,y3}がその双対基底でx=(0,1,0)の時,y1(x),y

[問] ベクトルx1=(1,1,1),x2=(1,1,-1),x3=(1,-1,-1)をC^3の基底とする。
{y1,y2,y3}がその双対基底でx=(0,1,0)の時、
y1(x),y2(x),y3(x)を求めよ。

という問題の解き方をお教え下さい。

双対基底とは
{f;fはF線形空間VからFへの線形写像}
という集合(これをV*と置く)において、
V(dimV=nとする)の一組基底を{v1,v2,…,vn}とすると
fi(vj)=δij(:クロネッカーのデルタ)で定めるV*の部分集合
{f1,f2,…,fn}はV*の基底となる。これを{v1,v2,…,vn}の双対基底と呼ぶ。

まず、
C^3の次元は6(C^3の基底は(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(i,0,0),(0,i,0),(0,0,i))
だと思うので上記のx1,x2,x3は基底として不足してると思うのです(もう3ベクトル必要?)。

うーん、どのようにしたらいいのでしょうか?

Aベストアンサー

>C^3の次元は6(

これが間違え.
「x1=(1,1,1),x2=(1,1,-1),x3=(1,-1,-1)をC^3の基底」
といってるんだから,係数体はRではなく,C.

あとは定義にしたがって,
dualな基底を書き下せばいいだけ.
y1(x1)=1,y1(x2)=y1(x3)=0であって
v=ax1+bx2+cx2と表わせるわけだし,
v=(v1,v2,v3)とすれば,a,b,cはv1,v2,v3で表現できる
#単なる基底変換の問題.


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