0の0乗っていくつですか?

私の周りに聞いたのですが、
0と言う人と、1と言う人と、不定という人がいました。

0と言う人は、0の1乗、0の2乗は0だから、何乗しても0だといいます。
1と言う人は、1の0乗、2の0乗が1だから、1だといいます。
不定と言う人は、1としておくといろいろな計算で都合がいいので、
「便宜上」1としているが、本当は決まらない、不定だと言っています。

本当のところはいくつなんでしょうか?

A 回答 (7件)

◆Naka◆


関数によって異なる、という考えに、私も賛成です。
私が0乗について教えるときは、次のような説明を用います。

例えば(2の5乗)÷(2の3乗)は、32÷8だから4になり、これは2の(5-3)乗に等しくなります。
同様に(2の5乗)÷(2の5乗)は、32÷32で1になりますね。で、これは2の(5-5)乗、つまり2の0乗に等しくなります。
よって「0乗は1になる」というのが、数学的な約束事として扱われているわけですよね。

ところが、これを(0の5乗)÷(0の5乗)とすると、上記の法則から0の0乗に等しくなるはずですが、0は0乗以外の何乗しても0ですから、0÷0となり、0で割ることになりますから、「不定」ということになってしまいます。

そこでalf0さんのおっしゃる「y=x^x」を考え、対数を取りグラフを書いてみると、x=0に近づくほどy=1に近づくことがわかりますので、0の0乗を1とするのが一番わかりやすい気もしますが、これとて「0^0=1」であることを証明するものではありません。
「0^0=0」と解釈する解法もいくつか考えられますし…

というわけで、私は「不定」に一票。 (^^;)
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この回答へのお礼

回答いただいたみなさん、ありがとうございます。電卓で試してみていただいたりして。
本当のところは、「不定」なのかもしれませんね。
ただ、普段、計算するときは「大抵」1としておいてよい。。。ということと理解しました。

お礼日時:-0001/11/30 00:00

alf0 さんの答えにほぼ同感で、答えは極限の近付け方による、ということだとなのですが、ちょっとだけ:-)



これが直観的にも分かりにくく、なおかつ一意に定まらない理由を考えてみたのですが、a≠0 に対して何故 a^0 が 1 であるのかを考えてみれば良いのではないかと思います。
これは通常の指数計算では b>0 に対し a^-b = 1/(a^b) というルールを採り入れた結果、a^b * a^(-b) が 1 にならないとおかしいので a^0 を 1 とするのではないかと思います。
ところが 0^(-b) なんていうものは分数では定義できないですよね。だから 0^b なんていうのはありでも 0^0 は定義できないですよね。

級数でも足し算の順序を変えると収束先が変わるということが良くありますけど、これもそういうことと本質的に同じなのだと思いますがどうでしょう。
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0の0乗は1のはずです。


確か□の○乗というのは、1x(□が○個)のはず。

それで行けば、0の0乗は
1x(0が0個)なので、1でしょう。

ではでは☆
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私の場合は、


 nの2乗は、1*n*n
 nの1乗は、1*n
 nの0乗は、1
と解釈しています。

1にnを何回掛けるか?で考えればどうでしょうか?
nに0を代入しても矛盾ありませんね。
数学的に正確な記述か自信ないので自信なしです。
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まず、xのx乗を考えてください。


この状態でxを0に近づけて行くと、1に近づいて行きます
こうすると、0の0乗に近づいて行きます。
これを根拠に0の0乗は1ということも出来ます。

一方、以下の式を考えてください
y=(1/(x^x))^(1/ln(x))
このとき、xを無限大に近づけて行くと、
形式的には0の0乗に近づいて行きます。
この式を整理するとy=e^(-x)になります。(両辺lnをとる)
この状態でxを無限大に近づけて行くと0になります。

以上から、極限操作により0の0乗を作ると、
0にも1にもなりうるということを知ってください。
ですから、その時々の0の0乗の現れ方(根拠となる式)によると思います。

昔、悩みました。
0の0乗の正面からの回答にならず、すいません。
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nの0乗は1、0のn乗は0ですが0の0乗は1になると思います。


「nの0乗は1」という決まり事の方が強いとしか聞いていません。
電卓でも0^0=1になりますね。
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回答でなくて申し訳ないのですが、理由は分かりませんが、


少なくとも、以下の環境では0^0は1とでます。
・Linux 2.2.16上のbcコマンド
・FreeBSD 3.4上のbcコマンド
・FreeBSD 3.4上のdcコマンド
・WindowsNT4.0(SP5)上の電卓(関数電卓モード)
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