確率

確率の問題で
じゃんけんを3人でして、負けたものから順に抜けてゆき最後に残った一人を優勝者とする

(1)
3回終了後に3人残っている確率は？
(2)
ちょうど３回目で優勝者が決まる確率は？

ただし、各人がじゃんけんでどれをだす確率もすべて同じで1/3であるとする

1回で優勝が決まる確率は
3*3/(3＾2)=1/3

1回終了後ｍに3人残っている確率は
3C2 *3/(3＾2)=1/3
は解けたのですが

No.2 回答者： kasabian 回答日時： 2005/07/05 13:08

３人でじゃんけんをした場合、あいこになる確率、１人が勝つ確率、２人が勝つ確率は、どれも1/3になります。

（これは計算できていますね）

(1)３回終了後に３人残っている確率
これは、３回ともあいこでなければいけないので、
(1/3)^3=1/27
になります。

(2)ちょうど３回目で優勝が決まる確率
これは、次のパターンが考えられます。
・１回目で２人が勝ち、２回目はあいこ、３回目で１人が勝つ。
・１回目はあいこ、２回目で２人が勝ち、３回目で１人が勝つ。
・１回目も２回目もあいこで、３回目で１人が勝つ。

上２つの場合の式は、
(1/3)*(1/3)*(2/3)=2/27
最後の場合の式は、
(1/3)*(1/3)*(1/3)=1/27
になります。よって、
2/27 + 2/27 + 1/27 = 5/27

ちなみに、余事象で考えてみると、
・１回目で優勝が決まる確率…1/3
・２回目で優勝が決まる確率…2/9 + 1/9 = 1/3
　｛２人勝ち→１人勝ち⇒(1/3)*(2/3)=2/9｝
　｛あいこ→１人勝ち⇒(1/3)*(1/3)=1/9｝
・３回目で２人残ってる確率…1/27 + 1/27 + 1/27 = 1/9
　｛あいこ→あいこ→２人勝ち⇒(1/3)*(1/3)*(1/3)=1/27｝
　｛あいこ→２人勝ち→あいこ⇒(1/3)*(1/3)*(1/3)=1/27｝
　｛２人勝ち→あいこ→あいこ⇒(1/3)*(1/3)*(1/3)=1/27｝
よって、1 - (1/27 + 1/3 + 1/3 + 1/9）= 5/27

No.1 回答者： denbee 回答日時： 2005/07/04 21:37

>(1)

>3回終了後に3人残っている確率は？

全員が残るあいこの確率をaとすると、aが3回続くと考えるので
a＾3

>(2)
>ちょうど３回目で優勝者が決まる確率は？

2回目の状態を考えると
　A)3人とも残っている
　B)2人残っている
状態が考えられます。（2回目で1人しか残っていない場合は問題の条件を満たさない）

そこで、2回目にA)の状態になる確率×一人だけ勝つ確率と
2回目にB)の状態になる確率×どちらかが勝つ確率の和となります。

後は自分で考えてみてください。