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「A,B,C,が起こりうる全ての場合の時
A⇒D,B⇒E,C⇒FでかつD,E,Fの勝手な2つの一方が成り立てば、もう一方は成り立たない
このときD⇒A,E⇒B,F⇒Cは対偶をとると成り立つことが分かる」
これが転換法の手順なのだそうですけど、私がいまいちわからないのはどうして「D,E,Fの勝手な2つの一方が成り立てば、もう一方は成り立たない」という文脈が必要なのですか?なくても全然問題ないように思われるのですが・・・ 私は文系なのでかなりてこずっています。どなたか聡明な方、お願いします。

A 回答 (4件)

>EとFをとってくると両者が成り立ち、そうするとなんでD⇒Aが成立するんですか?



順番に説明します。まず、説明を少し誤解さてているようですので、まずその問題を解決しておきましょう。

(1)
前回の回答で僕はE、Fという命題を次のように決めました。

E「xは偶数」
F「xは2以上の自然数」

zyutuさんは「EとFをとってくると両者が成り立ち」と書かれていますが、厳密にはこれは間違いで、
Eが成り立つとFも成り立ちますが、その逆、つまり
Fが成り立つとFも成り立つ、とは限りません。
x=3は2以上の自然数ですが、これは偶数ではないからです。

(2)
しかし、いずれにせよ、以上でこのE,Fは
「D,E,Fの勝手な2つの一方が成り立てば、もう一方は成り立たない」……★
これを満たしていないことは理解していただけるでしょう。
少なくともE⇒Fが成り立っているのですから。

(3)
さて、前回僕が主張したかったことは、
「転換法から★を取り除いた命題は、成り立つとは限らない」
ということです。
zyutuさんが、「転換法に★が必要な理由を教えてほしい」という質問をしていたからです。

(4)
つまり、前回僕が証明したのは、

「EとFをとってくると両者が成り立ち、そうするとD⇒Aが成立する」

という命題ではなく、

「EとFをとってくると両者が成り立ってしまう場合がある(つまりEとFが★を満たしていない)」
このときに
「D⇒Aが成立する(つまり★を除いた転換法による結論)」
とすると、矛盾が起こる

という命題なのです。これを証明することで、★がないとまずいことが分かる、ということを言いたかったのです。

またなにか質問があれば、補足させていただきますので、ここに書き込んでいただければと思います。
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この回答へのお礼

大変よく分かりました。。本当に助かりました。感謝してます。大変迷惑かけましたが、ありがとうございました。

お礼日時:2005/07/11 23:40

>なんでDが成り立っているとするとA,B,Cのどれかひとつが成り立つんですか?



「命題A,B,Cは必ずいずれかが成り立ち、且つ
二つ以上が同時に成り立たないとする。」
と私が書いたとおりです。
このことは、Dが成り立つかどうかとはまったく無関係です。
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この回答へのお礼

お礼遅れてスイマセン。時間はかかりましたが納得いくまで考えた末よく分かりました。感謝してます。ありがとうございました

お礼日時:2005/07/11 23:42

何となく言い方の問題がありそうなので


私が認識している言い方で説明してみます。
転換法:命題A,B,Cは必ずいずれかが成り立ち、且つ
二つ以上が同時に成り立たないとする。
命題D,E,Fについても同様とする。
このとき、A⇒D,B⇒E,C⇒FならばD⇒A,E⇒B,F⇒Cが成り立つ。

証明 Dが成り立っているとする。このとき、A,B,Cのどれかひとつが成り立つが、仮にBが成り立つとすると、B⇒EよりEも成り立ち、D,Eが同時に成り立つことになり、矛盾する。同様に、Cが成り立つとしても矛盾するからAが成り立たなければならない。従ってD⇒A。他も同様。

この回答への補足

ごめんなさい 分かりません・・なんでDが成り立っているとするとA,B,Cのどれかひとつが成り立つんですか?

補足日時:2005/07/07 19:04
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「D,E,Fの勝手な2つの一方が成り立てば、もう一方は成り立たない」……★


この条件を★と呼ぶことにします。★を取り去ってみましょう。そうすると、与えられた命題は次のようになります。

A,B,C,が起こりうる全ての場合のとき、
「A⇒D,B⇒E,C⇒F」⇒「D⇒A,E⇒B,F⇒C」

この命題に反例を与えることにします。なんでもよいのですが、例えばxを自然数として、

A「x=1」
B「xは4の倍数」
C「xは1でも4の倍数でもない自然数」

D「xは奇数」
E「xは偶数」
F「xは2以上の自然数」

このようにA~Fを定義してみましょう。
これは、A⇒D,B⇒E,C⇒Fを満たします。
しかも、A,B,Cはすべての自然数を尽くしています。
(A,B,Cはxについて起こりうるすべての場合である、ということです)

しかし、これらのA~Fは★を満たしていません。
実際、例えばEとFをとってくると、Eが成り立てばFも成り立ってしまいますね。

このときにどのような不都合が起こるかは明らかです。

D⇒A「xが奇数ならばxは1である」

等々、わけのわからない命題が出てきてしまいます。
以上より、★がないと不都合であることが分かりました。

一応、どうして転換法での証明が可能なのか示しておきます。
「命題」を「集合」と考えると分かりやすいでしょう。
以下、∨を「または」、∧を「かつ」、~を「否定」とします。

(証明)
集合S、Tを
A∨B∨C={起こりうる事象の全体}=S
D∨E∨F=T
と定義します。Tは必ずしもSと一致する必要はないことに注意してください。
★より、D∧E=E∧F=D∧F=φ(空集合)です。
A⇒D,B⇒E,C⇒Fより、
A⊂D,B⊂E,C⊂F
従って、
~D⊂~A,~E⊂~B,~F⊂~C
これを書き換えると、
(S∨~D)∨E∨F⊂S∧(B∨C)=B∨C
(S∨~E)∨D∨F⊂S∧(A∨C)=A∨C
(S∨~F)∨D∨E⊂S∧(A∨B)=A∨B
となります。ゆえに、一番上と二番目の式を左辺同士、右辺同士、それぞれ「かつ」でつなぐと
{(S∨~D)∧(E∨F)}∧{(S∨~E)∧(D∨F)}⊂(B∨C)∧(A∨C)=C
つまり
S∧(~D∨~E)⊂C
よって、
DでもEでもない⇒C
が言えます。
これをすこし制限して、F⇒C
が言えます。
D⇒A,E⇒Bについても同様です。(証明終)

この回答への補足

難しいです・・EとFをとってくると両者が成り立ち、そうするとなんでD⇒Aが成立するんですか?

補足日時:2005/07/07 19:09
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Qどなたか転換法について教えてください。

背理法の一種らしいですが、まったくわかりません。現時高2ですが、極端な話小学生でもわかるように教えてください。

Aベストアンサー

高校生ならば「転換法」は知らなくて良いと思いますが、簡単に説明しましょう。転換法というのは「一群の命題(真である命題)があって、これらの命題の仮定が独立で全ての場合を尽くし、これらの命題の結論は互いに独立である場合、これらの命題の逆は真である」ことを利用した証明方法です。小学生でも分かる具体的な例はすぐには思いつきませんが、例えば、
(1)鋭角三角形ならば最長の辺の平方は他の2辺の平方の和より小
(2)直角三角形ならば最長の辺の平方は他の2辺の平方の和に等しい
(3)鈍角三角形ならば最長の辺の平方は他の2辺の平方の和より大
この3つの命題は真です。このとき、(1)~(3)の逆は真です。

転換法の使い方は、例えば(1)の逆である、
「最長の辺の平方が他の2辺の平方の和より小となる三角形は鋭角三角形である」ことを証明するのに、背理法の仮定を用い、「鈍角三角形または鋭角三角形である」と仮定して矛盾を導くというものです。

Q転換法の問題がまったく分かりません。

n,rは整数で0≦r≦4とするとき、n^5を5で割ったあまりがrならば、nを5で割ったあまりもrであることを示しなさい。ただし2項定理を使ってよい。

n=5k+r(k,rは整数,0≦r≦4)とすると
n^5=5(625k^5+625k^4*r+250k^3*r^2+50k^2*r^3+5kr^4)+r^5

「n^5を5で割ったあまりはr^5を5で割ったあまりに等しい。」


・・・・・・・

ここまでが解答の途中でこの後転換法を使うのですが、「」内が分かりません。

どなたか教えてください。

Aベストアンサー

ーーーーーーーーー
いつもと同じく
最大画面で、お読み下さい。

>>これは【n^5を5で割っ剰余=r^5を5で割った剰余

この文章、このまま読んでも、書いて本人も判らないのです。
こんな事、書いたかな?
これは形式的に書いただけで、
細かい、論証やって、やっと意味わかるんです。
このSITEには、凄いひと沢山いるから、その人たちは多分わかるんだろう・・・。

で 何から書いて良いかさへ迷ってます。
青チャてこんなの出てるんですか、凄まじいなー。
もうすこし、頭脳鮮明なら<転換法>って<背理法の拡張された解法>だと直ぐに気がついたはずなのに、実はNETで<必死に>さがしたんです。

○まず<背理法>はOKでしょうか?

<背理法>ってきくと、直ぐに<√2が無理数であることの証明>が浮かびますが、これはOKでしょうか?。

全部は書かないけど、説明の都合上、必要なことだけ書きます。

<背理法>は、直接証明出来ない時に使用する<ひとつの証明法>なんです。
これだけでも、多分意味不明だとおもうんで、補足すると、
<直接証明出来る>というのは、A^2+B^2≧2ABの証明など、いつもやってるやり方です。
<ひとつの証明法>っていうのは、<数学的帰納法による証明、対偶を使う証明、そして今回の背理法>高等学校では、この三つだけだと思います。

○<√2が無理数であることの証明>
実数=有理数+無理数・・・・・<√2が有理数と仮定して矛盾を示す>
一番、ここで<意識>して欲しいのは、(有理数、無理数)の二つの内一つを否定する、・・・点です。それで、自分勝手に<2背理法>って名前をつけただけで、こんな用語は存在しないんのです。

○じゃあ<三つの内二つを否定する、て問題しってますか?>
多分、返答はNOだろうけど・・・実は貴殿はもう、知ってるんです。(無意識ダケド)
次に書きますが、見た瞬間・・・なーんだ、そんな事か・・・となります。
ちょっと、探して書きます。

その前に忘れない内に書きます。<剰余>とカイタケド<余り>のことです。このあとも<剰余>と書きます。深い意味は全くないです。・・・趣味です。
<剰余の定理>というのが、ありますが<変な言葉>です。
<剰=余り>、<剰余の定理>=<余り余りの定理>
吹き出しそう。

見つかりました。面倒なので細かい条件は書きません。

○#2222<N^2が3の倍数なら、Nは3の倍数になる。>
どうですか?
これが<三つの内二つを否定する>問題です。
これは普通<対偶を使う証明>と参考書にかいてあるはずですが、
<背理法>とも言えます。証明は知ってるはずだから、必要なとこまででSTOPします。<背理法>と<意識>して見てください。

N=3K+1と仮定する。
N^2=(3K+1)^2=3(・・・・・)+1
矛盾、よって N=3K+1 ではない

N=3K+2と仮定する。
N^2=(3K+2)^2=3(・・・・・)+4=3(・・・・・)’+1
矛盾、よって N=3K+2 ではない

したがって、N=3Kでしかありえない。
ーーー
本問題と、そっくりでしょう!
二項定理を使う部分の形まで、そっくり!
そっくりというより・・・同じ。!
===================
以上が本問題の<本質>なので終了ですが、
本問題は、かなり複雑であり、
非常に美しい形になります。
全部で5通り必要だけど、
ひとつだけ、可能な限り丁寧に記述しますので、
残りの4通りは、まかせます。

始めます。

青チャの「n^5を5で割ったあまりはr^5を5で割ったあまりに等しい。」
は、いったん頭から消し去って下さい。
教科書も参考書も、SPACEの関係で
どうしても<理解し難い>記述が含まれてしまいます。
参考書の使用方法、機会があればかきます。
ただし、<辛口>の投稿になります。
問題を完全に解けてからでないと、理解できません。

二項定理は準備せずに流れに逆らわず必要になった時に始めて使用します。
========
n,rは整数で0≦r≦4とするとき、
n^5を5で割ったあまりがrならば、nを5で割ったあまりもrであることを示しなさい。

◎背理法を使用。

R=1のとき(このCASEのみやる事になります)


N^5を5で割った剰余が1のとき、

ここで、なんでこんなに、複雑になるか思考します。
#2222では一通りだったのに、
本問題ではR=0、1、2、3、4の場合わけが必要で、
計算量は5倍になる・・・というわけで、
コツコツやるしかない!
ーーーーーーーーーーーーー
#200
N=5K+2 と仮定する。
N^5=(5K+2)^5
    =5(----)+2^5
剰余は 2^5=32=5*6+2 より 2である。
N^5を5で割った剰余が1に反して、矛盾 

ここで若干、思考します。
(5K+R)^5 の展開で二項定理を使用しますが、
n^5=(5K+R)^5=5(625k^5+・・・+5kr^4)+r^5
肝要な点は此の式が5(----)+R^5の形である事。細かい係数は<どうでもよい>です。この事のみ、答案に<注意書き>さえすれば、無断で、略記可能です。
また、この式は、R=0、1、2、3、4の全てを含みます。
5(----)+1^5
5(----)+2^5
5(----)+3^5
5(----)+4^5
5(----)+0^5
を意味しますから、5通りの証明に無断使用可能です。
ーーーー
#300
N=5K+3 と仮定する。
N^5=(5K+3)^5
    =5(----)+3^5
剰余は 3^5=243=5*(・・)+3より 3である。
N^5を5で割った剰余が1に反して、矛盾 
ーーーー
#400
N=5K+4 と仮定する。
N^5=(5K+4)^5
    =5(----)+4^5
剰余は 4^5=2624=5*(・・)+4 より 4である。
N^5を5で割った剰余が1に反して、矛盾
ーーーー
#000
N=5K+0 と仮定する。
N^5=(5K+0)^5
    =5(----)+0^5
剰余は 0^5 より 0である。
N^5を5で割った剰余が1に反して、矛盾
ーーーー
#200#300#400#000より
N^5を5で割った剰余が1 でしかありえない。
ーーーーーーーーーーーーー
これで、R=1のときのの証明は終了です。
(このCASEのみやりました)
前述の通り、残りの4通りは、貴殿にまかせます。

ーーーーーーーーー
いつもと同じく
最大画面で、お読み下さい。

>>これは【n^5を5で割っ剰余=r^5を5で割った剰余

この文章、このまま読んでも、書いて本人も判らないのです。
こんな事、書いたかな?
これは形式的に書いただけで、
細かい、論証やって、やっと意味わかるんです。
このSITEには、凄いひと沢山いるから、その人たちは多分わかるんだろう・・・。

で 何から書いて良いかさへ迷ってます。
青チャてこんなの出てるんですか、凄まじいなー。
もうすこし、頭脳鮮明なら<転換...続きを読む


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