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a/p(p:素数)を無限小数に直したときに循環節の長さがp-1の約数になる証明がわかりません。どなたか、分かる方教えてください。

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A 回答 (3件)

>a/p(p:素数)を無限小数に直したときに循環節の長さがp-1の約数になる



これからフェルマーの小定理を示すのは難しいと思います。
(少なくとも、以下の証明よりはるかに難しいとも思います)

これを使わずにフェルマーの小定理
「aをpと互いに素な自然数とするとa^(p-1)≡1 (mod p)となる」
を示してみます。

まず、補題として以下を示します。
pを素数、mを0以上の整数とするとき、m^p-m≡0 (mod p)・・・※
となること

補題証明
m=0のときm^p-m≡0-0≡0 (mod p)はpで割り切れる
m=kのときk^p-k≡0 (mod p)となると仮定すると
(k+1)^p-(k+1)=k^p-k+Σ_[i=1](p_C_i)*k^i≡Σ_[i=1](p_C_i)*k^i (mod p)

(i!)*p_C_i=p(p-1)*…*(p-i+1)で分母のi!は素数pと互いに素だから、p_C_iはpで割り切れる

したがって、p_C_i≡0 (mod p)となります。

Σ_[i=1](p_C_i)*k^i≡Σ_[i=1]0*k^i≡0 (mod p)となるので、m=k+1のときもm^-m≡0 (mod p)となります。

よって、数学的帰納法によって、※が示されました。

さてaをpで割り切れない自然数とすると※より
a{a^(p-1)-1}≡a^p-a≡0 (mod p)となります。

aとpは互いに素ですから、a^(p-1)-1≡0 (mod p)
すなわち、a^(p-1)≡1 (mod p)となります。

時間があったら、フェルマーの小定理を使わずに「a/p(p:素数)を無限小数に直したときに循環節の長さがp-1の約数になる」を示してみたいと思います。
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a^(p-1)≡1(mod p) を使えば簡単に導けるような気がします。

考えてみてください。

この回答への補足

フェルマーの小定理を証明するために、上の証明を考えています。言葉足らずで申し訳ないです。

補足日時:2005/07/06 23:54
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懐かしいですねぇ、「フェルマーの小定理」ですね。

(説明できるほど詳しくしらないので自分で調べてね)

循環節がなんでできるかというと、割り算を筆算していくと余りがaが出てきて、a/pを再度計算するはめになるからですね。
なので、余りaが小数点以下第(p-1)桁で現れるということを証明すれば良いわけです。

その証明にフェルマーの小定理が利用できます。

後は詳しい方に譲ります。
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