球面上で、緯度経度で表されるある点から他の点への方向を計算する方法を教えてください。

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A 回答 (9件)

No.5でのお礼に対するアドバイスです。


一般に、3点(x1,y1,z1),(x2,y2,z2),(x3,y3,z3)
を通る平面は、これらが一直線上になければ
| x1 y1 z1 1 |
| x2 y2 z2 1 | = 0
| x3 y3 z3 1 |
| x  y  z  1 |
と書けます。
問題の件ではゼロになる要素があるので、その分
計算は楽になると思います。頑張って下さい。
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この回答へのお礼

実は本で、球面三角形の公式のひとつ:

sinα/2 = √((sin(s-b)sin(s-c))/(sin b・sin c))
s = (a+b+c)/2

を見つけて、これを使うようにしてしまいました。

でもこの機会に平面の計算も勉強したいと思います。ご回答ありがとうございました。

お礼日時:2001/10/15 15:31

#6のイメージでの解法について、外積2回でOKですね。


つまり中心O、基準点A、目標地点Bに対して
αの法線ベクトル:OA×OB(外積)
βの法線ベクトル:OA
より求める接線ベクトル:(OA×OB)×OAで求められます。
たぶん向きもこれであってると思います。(理論的に説明できませんが^^;)

数値例を1つ。
半径sqrt(14)の球で、A(1,2,3), B(3,1,2)とすると、OA×OB=(1,7,-5), (OA×OB)×OA=(31,-8,-5)…答

検証
平面α(大円を含む平面OAB)の方程式はx+7y-5z=0
PをAP=k(31,-8,-5)とおくと、Pの座標は(1+31k,2-8k,3-5k)となり、これらは平面α上にある。
よって、Pはα上で直線を描き、OA・AP=0よりOA垂直APが言えるので、大円に対する点Aにおける接線であると言える。(終)

追伸
外積については、たとえば下記URLを参照してください。

参考URL:http://www.dt.takuma-ct.ac.jp/~sawada/math/danwa …
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この回答へのお礼

実は本で、球面三角形の公式のひとつ:

sinα/2 = √((sin(s-b)sin(s-c))/(sin b・sin c))
s = (a+b+c)/2

を見つけて、これを使うようにしてしまいました。

でもこの際なので、教えていただいた通り外積も勉強して、以後このような問題は自分で解けるよう心がけたいと思います。詳しいご回答ありがとうございました。

お礼日時:2001/10/15 15:30

内積とったらどうですか?


意味違いますか?
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この回答へのお礼

何と何の内積でしょうか?

とりあえず別の方法で解決はしたのですが。

お礼日時:2001/10/15 15:34

こんな考え方ではできないでしょうか?


方針は、#3に対するお礼でmideさんが書かれていることそのもの(2点間のベクトルを接平面に射影)です。

イメージでいうと、
1. まず大円を考えるために、基準点、目標地点、中心(=原点)を通る平面αを考える。
2. 基準点における接平面βを考える。
すると、αとβの交線が、求めたい接線ベクトルになりませんでしょうか?

αの方程式は、#4でranxさんが言われているAx+by+Cz=0
βの方程式は、基準点の座標を(a,b,c)とすれば、a(x-a)+b(y-b)+c(z-c)=0です。(接平面の法線ベクトルはまさに[a,b,c])
交線は、上のx,y,zの3文字2式の不定方程式を解けばOK。

計算の仕方は、Ax+By+Cz=0については、原点を通っていることは式に織り込み済み(定数項=0)なので、残りの2点を代入して、A,B,Cに関する式を2つ作り、B,CをAで表せばOK。

また交線上の点は、求める方向ベクトルを[p,q,r]とすれば、パラメータkを使って(x,y,z)=(pk+a,qk+b,rk+c)とおける(点(a,b,c)は交線上!)ので、それを2平面の式に代入して、あとごりごり計算したらp:q:rが出てくると思われます。

が、なにぶん計算してないので。。。夜暇だったらこの方針で1回解いてみます。

※2平面の交線の方向ベクトルという、高校生の練習問題レベルに落ちるところがミソなんですが。。。そもそも考え方が間違っていたらすみません。^^;
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どうも、再びranxです。


東か西かの判定、簡単でした。
No.4の中で、基準点を通り赤道に垂直な平面の方程式を
Px+Qy=0と書きましたけれど、これ、経度をαとすると
xsinα-ycosα=0 なんですね。
で、この式の左辺に目的点の三次元空間内での座標を代入し、
プラスなら西、マイナスなら東です。
(ゼロならば真北=真南です。)
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この回答へのお礼

2回のご回答ありがとうございました。

方針は分かりました。ただ原点、基準点、目的地点から A, B, Cをどう計算するかが分からないのですが…。3点の座標から方程式を解くなどしなくてはならないのでしょうか?

お礼日時:2001/10/12 18:11

私も球面三角法は知らないので、通常のユークリッド幾何と考えてやり方だけ。


基準点と目的の点の三次元空間内での座標はalpha16さんのやり方で求められますね。
(私なら東経をプラスにとりますけど。)
その二点と球の中心(つまり原点)の三点を通る平面を求めます。
次に、原点と基準点を通り、赤道面に垂直な平面を求めます。
この二平面をAx+By+Cz=0、Px+Qy=0とすると、
cosθ=(AB+BQ)/(sqrt(A^2+B^2+C^2)*sqrt(P^2+Q^2))
とした時のθが、基準点から真北をゼロとした時の角度になります。
あとは東か西かを決めれば良いわけですが、う~ん、どうしよう。
ちょっと考えてみます。
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わたくしは、数学や力学の専門家ではないので、正しいかどうかはわかりませんが、基本的な考え方は、sakisakimanさんの説明でよいと思います。


もし経度緯度であらわされた点から点への方向を計算したければ、
地球中心を原点として
原点から経度0度緯度0度の方向をx軸、
原点から緯度0度西経90度の方向をy軸、
原点から北極点の方向をz軸とし、
ある地点の緯度をα度(北緯ならプラス南緯ならマイナスで[-90,90])
     経度をβ度(西経をプラス東経をマイナスで[-180,180])
とすれば、
その地点の座標は、(rcosαcosβ,rcosαsinβ,rsinα)となります。                         (rは地球の半径)
そこで緯度γ度、経度δ度の地点への方向は、
(rcosαcosβ-rcosγcosδ,rcosαsinβ-rcosγsinδ,rsinα-rsinγ)
単に方向でしたらrは必要ありません。
例えば北緯60度東経135度の地点から緯度0度経度0度の地点の方向ならば
α=60度 β=-135度 γ=0度 δ=0度となるので
(cos60cos(-135)-cos0cos0 ,cos60sin(-135)-cos0sin0 ,sin60-sin0)
=-1/{2*(2^(1/2))}[ 1+2*(2^(1/2)) ,1 ,-6^(1/2) ]
=[ 1+2*(2^(1/2)) ,1 ,-6^(1/2) ]
です。
いかがでしょうか?
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この回答へのお礼

ご回答ありがとうございました。三次元的には、そうやって計算できると思います。ただ、知りたいのは基準点と目的地点とを結ぶ球面上の大円の、基準点からみた角度なのです。なので基準となる地点から球の中心に向かう直線に垂直な平面に、その三次元的ベクトルを投影すればいいのかなと思うのですが、それが計算できません…。

お礼日時:2001/10/12 14:42

球面三角法とか、球面三角形の公式とか呼ばれている方法で計算します。


もし解法を知りたいのではなく計算結果が目的なら、
算出プログラムも色々公開されていますが。
このあたりのキーワードで探して見て下さい。

参考URL:http://www.nifty.ne.jp/forum/fyamap/kyorihoi.htm
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この回答へのお礼

URLありがとうございました。とても長いのでゆっくり読んでみます。その中の計算式を2つほど試しましたが、その2つで異なる値が出たり、同一緯度で使えなかったりするので(私の計算のしかたに問題があるかも)もう少し調べてみます。算出プログラムも便利そうですが、できれば自分の計算に組み込みたいのです。

お礼日時:2001/10/12 14:28

ベクトルの問題ですか??


ある点をA,もう一方の点をBと置くと、ベクトルAB=ベクトルOBーベクトルOAですよね?
Oは中心。
例えば、ベクトルOAが(13,30)、ベクトルOBが(23,45)だとすると、ベクトルAB=(23-13、45-30)=(10、15)
※(緯度、経度)という意味のつもり。
方向を計算するのだから、答えはベクトルなのでこれでいいのではないでしょうか?
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この回答へのお礼

平面座標ならそれでいいと思うのですが、球面ではなりたたないのです。三次元ベクトルを操作すればなんとかなりそうなのですが、自力では解けそうもありません。

ありがとうございました。

お礼日時:2001/10/12 14:23

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 各点を次のように配置した直交座標系xyzを考えます。
  点S:原点O, 点N(0,0,2), 点A(2,0,0), 点B(0,2,0), 点K(0,0,1)
 このとき球Kと線分AN,線分BNとの交点をそれぞれA',B' とします。

 ちなみに、このように配置したとき 与えられた図形は次のようになります。【図示の参考用】
  球面K: x^2+y^2+(z-1)^2=1
  弧AB: (2cosθ,2sinθ,0) (ただし、0≦θ≦π/2)
  線分AB: (t,2-t,0)    (ただし、0≦t≦2)

(A) 点Pは弧AB上にあるときを考えます。
   3点N,S,Pを含む平面での断面を考えますと、△NSPと△NKQで ∠PNS=∠QNK,∠NSP=∠NKQ=90° から △NSP∽△NKQ で 相似比はNS:NK=2:1 となります。
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   このことから 2点A',B'の座標はA'(1,0,1),B'(0,1,1)であり、点Qは半径1,中心角90°の円弧上を動くことが分かります。
   従って、 点Pが弧AB上にあるときの点Qの軌跡の長さは π/4 となります。

(B) 点Pが線分AB上にあるときを考えます。
   3点A,B,Nを含む平面ABNを考えますと、線分AB、線分NPはこの平面に含まれますので、線分NPと球Kとの交点である点Qは平面ABNと球Kとの共有部分を移動しています。
   また、平面と球との共有部分は円周になりますので、点Qは円周上の一部(円弧)を移動していることになります。

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   このことから、点Qが移動する円弧の半径は √(2/3) であることが分かります。

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   このとき、3点A',B',Nは点Hを中心とする半径√(2/3) の円周上にあり、線分NA'=NB'=√2 です。
   点Hから線分NA'に下ろした垂線の足を点Mとしますと、点Mは線分NA'を二等分しNA'=1/√2 となります。
   従って、cos∠HNM=NM/NH=√3/2 となりますので、∠HNM=30° です。
   △NA'B'は直線NHについて対称ですので、∠B'NH=30° ですから、∠B'NA'=60° となります。   (つまり、△NA'B'は正三角形であることが分かります。)
   従って、中心角と円周角の関係から ∠A'HB'=120° となりますので、弧A'B'の中心角は 120° です。

   故に、弧A'B'は 半径√(2/3),中心角120° の弧ですので、点Pが線分AB上を動くときの点Qの動く軌跡は次のようになります。
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 以上のことから 点Qが描く曲線の長さは(A)と(B)の距離を合わせて、次のように表されます。
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 各点を次のように配置した直交座標系xyzを考えます。
  点S:原点O, 点N(0,0,2), 点A(2,0,0), 点B(0,2,0), 点K(0,0,1)
 このとき球Kと線分AN,線分BNとの交点をそれぞれA',B' とします。

 ちなみに、このように配置したとき 与えられた図形は次のようになります。【図示の参考用】
  球面K: x^2+y^2+(z-1)^2=1
  弧AB: (2cosθ,2sinθ,0) (ただし、0≦θ≦π/2)
  線分AB: (t,2-t,0)    (ただし、0≦t≦2)

(A) 点Pは弧AB上にあるときを考えます。
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Q点と平面の距離の算出

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単純に点Mと平面Fとの最短距離を求めるだけなら
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できるかもしれませんが、方向余弦がからんでくると
もうよくわかりません…
簡単な問題なのかもしれませんが、
数学から離れてずいぶんたちますので
どなたかお力を貸してくださると助かります。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

横から失礼します。

(x0,y0,z0)を通り、方向ベクトル(a,b,c)な直線の方程式は、
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なので、この直線と平面の交点を出して、(x0,y0,z0)とその点の距離を求めてやれば良いと思います。

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点Pは、硬貨を投げて表が出ると+2だけ移動し、
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硬貨を投げ続ける。
このとき、投げる回数の期待値を求めよ。

これ解ける方いらっしゃいませんか。座標上における移動的思考が苦手なので...

Aベストアンサー

私自身ちゃんとした答えが出せていないのですが、考え方の方針だけ残します。すみません。
(誰か頭のいい人が回答出してくれるといいのですが・・・)

座標の移動的思考というのは関係なく、むしろ数学的には無限級数の考え方が必要なのでは、と思います。
例えば、最小の試行は表を2回出したとき+4となります。
一方で裏を100回連続で出したあと表を52回出せば+4となり、「点Pが座標3以上の点に『初めて』到着」します。
このときの試行回数は100+52=152回です。
裏を10000回連続で出したあと表を5002回出せば+4となります。
このときの試行回数は15002回です。
15002回のうち、必ず「裏10000回→表5002回」という順番でなければ題意を満たしません。
という具合に「表裏を出す順番」次第でいくらでも試行回数は増えます。

以下は考え方の途中式ですが、N回投げるときに題意を満たす条件は、
①N-1回目まででのPの座標<+3となる(この確率をP(N)とする)
②N回目は必ず表を出し、Pの座標≧+3となる(この確率は1/2)
となり、求める期待値Eは、
E=Σ{P(N)*(1/2)*N} [N:2〜∞]
という式になるはず。

Nが無限大に近くほどP(N)の確率は下がると見られるので、どこかでは収束すると思います。
あとはP(N)をどう求めるか、なのですが私はそこでつまずきました。。

私自身ちゃんとした答えが出せていないのですが、考え方の方針だけ残します。すみません。
(誰か頭のいい人が回答出してくれるといいのですが・・・)

座標の移動的思考というのは関係なく、むしろ数学的には無限級数の考え方が必要なのでは、と思います。
例えば、最小の試行は表を2回出したとき+4となります。
一方で裏を100回連続で出したあと表を52回出せば+4となり、「点Pが座標3以上の点に『初めて』到着」します。
このときの試行回数は100+52=152回です。
裏を10000回連続で出したあと表を5002回出せ...続きを読む

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例えば、札幌の緯度で経度1秒あたりでの距離(km)と、那覇の緯度で経度1秒あたりでの距離(km)が知りたい場合です。

よろしくお願いします。

Aベストアンサー

#2の回答者です。

札幌と那覇でしたね。

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%97%A5%E6%9C%AC%E3%81%AE%E7%B7%AF%E5%BA%A6%E7%B5%8C%E5%BA%A6%E4%B8%80%E8%A6%A7
より、
札幌は、θ = 43 + 4/60
那覇は、θ = 26 + 13/60

札幌での1秒は、22.6メートル
http://www.google.co.jp/search?hl=ja&q=6378000*%CF%80*cos%EF%BC%88%EF%BC%8843%2B4%2F60%EF%BC%89%2F180*%CF%80%EF%BC%89%EF%BC%8F648000&lr=

那覇での1秒は、27.7メートル
http://www.google.co.jp/search?hl=ja&q=6378000*%CF%80*cos%EF%BC%88%EF%BC%8826%2B13%2F60%EF%BC%89%2F180*%CF%80%EF%BC%89%EF%BC%8F648000&lr=

#2の回答者です。

札幌と那覇でしたね。

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%97%A5%E6%9C%AC%E3%81%AE%E7%B7%AF%E5%BA%A6%E7%B5%8C%E5%BA%A6%E4%B8%80%E8%A6%A7
より、
札幌は、θ = 43 + 4/60
那覇は、θ = 26 + 13/60

札幌での1秒は、22.6メートル
http://www.google.co.jp/search?hl=ja&q=6378000*%CF%80*cos%EF%BC%88%EF%BC%8843%2B4%2F60%EF%BC%89%2F180*%CF%80%EF%BC%89%EF%BC%8F648000&lr=

那覇での1秒は、27.7メートル
http://www.google.co.jp/searc...続きを読む

Q慶應経済入試で、点と平面の距離を求める問題です

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となっていますが、分子のほうに
平面αの方程式 ax+by+cz+d=0 の dの部分がないように思えるのですが
よくわかりませんのでお教えお願いします

Aベストアンサー

No.2です。

ANo.2の補足の質問について

>この問題では、まずは法線ベクトルを求めて、それから点と平面の距離の公式に当てはめて解くのが一番妥当でしょうか?

その通りでしょうね。
一番スマートで、計算も楽な解答です。言い換えれば、計算も簡単で短く、それゆえ計算間違いも起こりにくく短時間で解けるということです。

時間制限や計算ミスが問題になるテストや受験では、計算ミスが少なく短時間で解ける解法が望まれます。

時間が十分ある場合は、他の解法と比較してみることも大切でしょう。色々な解法を知っていれば応用力がつくでしょうから…。

Q球面上の3点と半径から球の中心点を求める

球面上の3点P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2),P3(x3,y3,z3)と半径rが与えられたとき、球の中心点Pq(xp,yq,zq)を求める方法を教えて下さい。

球面上3点と半径rが条件として与えられた場合、球の中心点は2個ありそうな気もしますが(何らかの条件で...)、よく分かりません。

何方か、宜しくお願いします。

Aベストアンサー

中心Pq(xq,yq,zq)、半径rの球の方程式は
(x-xq)^2+(y-yq)^2+(z-zq)^2=r^2 …(A) となります。
球面が3点を通るから、(A)の式に代入すると
(x1-xq)^2+(y1-yq)^2+(z1-zq)^2=r^2 …(1)
(x2-xq)^2+(y2-yq)^2+(z2-zq)^2=r^2 …(2)
(x3-xq)^2+(y3-yq)^2+(z3-zq)^2=r^2 …(3)
となります。
(1)~(3)の式を変形すると、xq,yq,zqについての3元2次連立方程式となるので、xq,yq,zqが各々求められます。
なお、2次方程式の判別式が正の数になる場合は中心が2つとなり、0の場合は1つ(重解)、負の数の場合は存在しないことになります。


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