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次の問題でわからなくなりました。
【水平な地上に置かれた大砲(M)が、水平とつくる角θの方向に砲身を向けて砲弾(m)を発射した。大砲と地面の間に摩擦がなく、砲弾は砲身に対して相対速度vで打ち出されるものとして、大砲の後退する速さV、砲弾が実際に発射される方向と水平との間の角θ'を求めよ。】という問題。
この問題を運動量保存則を使って解こうとしたのですが、垂直方向の運動量保存則を適用すると、mまたは垂直方向の速度v'sinθ'=0になって、矛盾してしまう気がする。
この場合は、地球が動いていると考えればいいのですか?

A 回答 (11件中1~10件)

摩擦の条件が抜けていました



重心が中心にある真球の惑星と弾丸が詰められた砲筒を有する大砲とがあり前記惑星上に前記大砲が存在し前記惑星と前記大砲が互いに相手から受ける万有引力以外の影響を受けないで慣性系に対して宇宙空間に静止していて前記大砲と前記惑星との間には摩擦がない
前記惑星の質量をMxとし
前記大砲の質量をMとし
前記弾の質量をmとする
前記大砲の「前記惑星水平面に対してθの角度方向惑星外向きの砲筒」から前記大砲に対して速さvで前記弾が発射された

このとき
(1)前記弾が発射された直後の前記慣性系に対する前記惑星の速度Vxを求めよ
(2)前記弾が発射された直後の前記慣性系に対する前記大砲の速度Vを求めよ
(3)前記弾が発射された直後の前記惑星に対する前記弾の速度と前記大砲位置の前記惑星水平面との角θ’を求めよ
(4)前記弾が発射された直後の前記慣性系に対する前記弾の速度と前記大砲位置の前記惑星水平面との角θ"を求めよ

(3)の回答:
tan(θ")=tan(θ)・(1+m/M)

(4)の回答:
tan(θ")=tan(θ)・(1+m/M)/(1+m/(Mx+M))
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訂正


(3)惑星→慣性系

真球の惑星が「前記惑星上にある大砲及び前記大砲に詰められた弾」以外からの万有引力の影響を受けず自転せず慣性系に対して宇宙空間に静止している
前記惑星の質量をMxとし
前記大砲の質量をMとし
前記弾の質量をmとする
前記大砲の前記惑星水平面に対してθの角度方向惑星外向きの砲筒から前記惑星に対して速さvで前記弾が発射された

このとき
(1)前記弾が発射された直後の前記慣性系に対する前記惑星の速度Vxを求めよ
(2)前記弾が発射された直後の前記慣性系に対する前記大砲の速度Vを求めよ
(3)前記弾が発射された直後の前記慣性系に対する前記弾の速度と前記大砲位置の前記惑星水平面との角θ’を求めよ

(3)の回答:
tan(θ')=tan(θ)・(1+m/M)/(1+m/(Mx+M))

(1)を求めればあなたの混乱は解消します
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真球の惑星が「前記惑星上にある大砲及び前記大砲に詰められた弾」以外からの万有引力の影響を受けず自転せず慣性系に対して宇宙空間に静止している


前記惑星の質量をMxとし
前記大砲の質量をMとし
前記弾の質量をmとする
前記大砲の前記惑星水平面に対してθの角度方向惑星外向きの砲筒から前記惑星に対して速さvで前記弾が発射された

このとき
(1)前記弾が発射された直後の前記慣性系に対する前記惑星の速度Vxを求めよ
(2)前記弾が発射された直後の前記慣性系に対する前記大砲の速度Vを求めよ
(3)前記弾が発射された直後の前記惑星に対する前記弾の速度と前記大砲位置の前記惑星水平面との角θ’を求めよ

(3)の回答:
tan(θ')=tan(θ)・(1+m/M)/(1+m/(Mx+M))

(1)を求めればあなたの混乱は解消します
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訂正



地球の質量がWで地球の重心から大砲までの距離がRでmがWに対して無視できないほど大きい時の運動を考える
そのときには地球+大砲の垂直方向の速度を出さなければθ’はでません
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地球の質量がWで地球の重心から大砲までの距離がRでMがWに対して無視できないほど大きい時の運動を考える


そのときには地球+大砲の垂直方向の速度を出さなければθ’はでません
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転記ミス



tan(θ’)=tan(θ)・(1+m/M)
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運動量保存は


もう少し正確な記述では
運動量変化=与えられた運動量
だとおもいます.
普通,運動量はmvですが,力Fでt秒間,衝撃を受けた場合の与えられた運動量はF×tとなります.実際は衝撃を同じ大きさFで受けつづけることはないので∫Fdtと積分になりますがまぁ同じことです.

っでややこしいことを言いましたが,今回の問題では当然地球は動かないとして考えるのが普通です.
すなわち,θ=90度の時を想像すればわかるように
砲台は地球から押されます.その分の力を考えないからおかしなことになってしまうのでしょう.
このようにMとmの二体問題でそれらに対して外側から力がかかる場合には通常は「運動量保存は成り立たない」とします.与えられた運動量が分かる場合は上に書いた式のとおりです.
ちなみに垂直方向は地球から力を受けるので,Mとmの運動量の和は保存しませんが,水平方向はどこからも力を受けないので,運動量は保存します.
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tan(θ’)=(M+m)/m・tan(θ)

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いま求めたい「速度の垂直成分」は、地球から見た砲弾の速度の垂直成分です。

垂直方向は、大砲と地球が一緒に動きます。したがって、これは、大砲から見た砲弾の速度の垂直成分と同じです。大砲から見た砲弾の速度の垂直成分とは、「相対速度vの垂直成分」と同じです。

>この場合は、地球が動いていると考えればいいのですか?

その通りです。しかし、今求めたいのは地球に対する砲弾の速度ですから、わざわざ地球の速度を計算する必要がありません(しかも、実際上、0です)。
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砲弾によって地球は確かに運動量を受けますが,


砲弾に比べて地球は重いので,そうそうの質量,そうそうの速度であれば,
鉛直成分については考えなくても良いです.
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Q解き方を教えてください!お願いします。

<問題>
水平な地上に置かれた大砲(質量M)が、水平とつくる角θの方向に砲身を向けて砲弾(質量m)を発射した。
大砲と地面の間に摩擦が無く、砲弾は砲身に対して相対速度vで打ち出されるものとして、大砲の後退する早さV、砲弾が実際に発射される方向と水平との間の角θ’を求めよ。

<ヒント>
水平方向では全体の運動量が保存される。大砲と一緒に動きながら見た砲弾の発射速度がどうなるか考えてみてください。


何時間も悩んでるんですが全く解けなくて困っています。
どなたかわかりやすく解説&回答をしてください。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

頻出問題なので, 参考書や問題集で(ほぼ)同じ問題を見つけた方が良いでしょう. 図は描きにくいので.
[略解]
右上方に砲弾を撃つとして, 右向きを正として表す.
大砲(左向きに速さVとなり,右向きに速度-V)に対する砲弾の相対速度が, 右向きに v*cosθ, 上向きに v*sinθ より,
地上から見た砲弾の速度は(大砲の速度と大砲に対する砲弾の相対速度のベクトル和だから)
右向きにv_x=-V+v*cosθ, 上向きにv_y=v*sinθ となる.

大砲と地面の間に摩擦が無いので,大砲と砲弾を1つとみた系[物体系]の水平方向の運動量は保存する
(なぜならば,水平方向には外力が働かないので)

すると
水平方向の運動量保存: M(-V)+m(-V+v*cosθ)=0
<==> -(M+m)V+mv*cosθ=0 <==> V=mv*cosθ/(M+m)

このとき, 砲弾の速度は 右向きにv_x=-V+v*cosθ=Mv*cosθ/(M+m), 上向きにv_y=v*sinθ となり,
求める角θ’は tanθ'=v_y/v_x ={(M+m)/M}tanθ [=(1+m/M)tanθ] を満たす角

頻出問題なので, 参考書や問題集で(ほぼ)同じ問題を見つけた方が良いでしょう. 図は描きにくいので.
[略解]
右上方に砲弾を撃つとして, 右向きを正として表す.
大砲(左向きに速さVとなり,右向きに速度-V)に対する砲弾の相対速度が, 右向きに v*cosθ, 上向きに v*sinθ より,
地上から見た砲弾の速度は(大砲の速度と大砲に対する砲弾の相対速度のベクトル和だから)
右向きにv_x=-V+v*cosθ, 上向きにv_y=v*sinθ となる.

大砲と地面の間に摩擦が無いので,大砲と砲弾を1つとみた系[物体系]の水平方向の...続きを読む

Q斜面台と物体との相互運動 高校2年 の内容

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(1)小球が壁と衝突する直前の小球と台の速度v、Vをm、M、g,hを用いてあらわせ


という問題で 水平方向ついての運動量保存則
mv+MV=0の0がわからないんです
衝突前が mv+MVはわかるのですが
衝突後の0がわからないので なぜ0なのか教えてください
ちなみに解答
を見ても分かりませんでした

Aベストアンサー

> 水平方向ついての運動量保存則
> mv+MV=0の0がわからないんです
> 衝突前が mv+MVはわかるのですが
> 衝突後の0がわからないので

 この式って,「衝突前の運動量=衝突後の運動量」ではないのでは。「小球を離した瞬間の運動量=衝突直前の運動量」の式でしょう。

 「小球を離した瞬間」には小球も台も運動していません(速度0)から運動量は0です。『mv+MV=0の0』はこの0でしょう。

 第一,問題で問われているのは『小球が壁と衝突する直前』の事ですので,この段階で衝突後の事(衝突後の速度など)は関係ない筈です。

 後は同様に,小球を離した瞬間と衝突直前でのエネルギー保存の式を立てれば,変数2つ(vとV)で式が2つですから,vとVについて解けば良い筈です。

Q加速度と角加速度の関係について

速度と角速度の関係は
中心から質点までの距離がr,質点の速度がv,とすると
角速度ω=v/r [rad/s]
になると思うのですが,
加速度と角加速度の関係は
中心から質点までの距離がr,質点の加速度がa,とすると
角速度α=a/r [rad/s^2]
となるのでしょうか?
ご教示よろしくお願い致します。

Aベストアンサー

半径rが定数とすれば、その通りです。
加速度、角加速度はそれぞれ速度、角速度の単位時間の変化量(時間微分)ですので、加速度は「a=dv/dt」、角加速度は「α=dω/dt」と表せます。
同時に、角速度の式「ω=v/r」の両辺を時間で微分すれば「dω/dt=(dv/dt)/r」となり、この式はすなわち「α=a/r」となります。
ただし半径rそのものが時間関数r(t)の場合はこの限りではありません。

Q積分で1/x^2 はどうなるのでしょうか?

Sは積分の前につけるものです
S dx =x
S x dx=1/2x^2
S 1/x dx=loglxl
まではわかったのですが
S 1/x^2 dx
は一体どうなるのでしょうか??

Aベストアンサー

まず、全部 積分定数Cが抜けています。また、積分の前につけるものは “インテグラル”と呼び、そう書いて変換すれば出ます ∫

積分の定義というか微分の定義というかに戻って欲しいんですが
∫f(x)dx=F(x)の時、
(d/dx)F(x)=f(x)です。

また、微分で
(d/dx)x^a=a*x^(a-1)になります …高校数学の数3で習うかと
よって、
∫x^(a-1)dx=(1/a)*x^a+C
→∫x^adx={1/(a+1)}*x^(a+1)+C
となります。

つまり、
∫1/x^2 dx=∫x^(-2)dx
={1/(-2+1)}*x^(-2+1)+C
=-x^(-1)+C
=-1/x+C

です。


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