円周率の詳しい文献がHP上で掲載されていましたら、教えてほしいのですが。勿論、その起源についての歴史も教えてほしい。

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A 回答 (1件)

πの部屋


http://www1.coralnet.or.jp/kusuto/PI/index.html

πの生い立ち
http://moon.ap.kyushu-u.ac.jp/~math/history/pai/

余り詳しくはないですが、如何でしょう。
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この回答へのお礼

ありがとうございました。特に「πの生い立ち」は参考になりました。この年でいい勉強をしました。

お礼日時:2001/10/13 16:26

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Q誘電率と屈折率と磁化率と透磁率の関係

誘電率と屈折率と磁化率と透磁率は相互に関係しているようなのですが、その関係がよく分かりません。これらの物理量はどのような式で関連付けられるのでしょうか。また、実数で扱う場合と複素数で扱う場合の違いは何でしょうか。どなたかご教授願います。

Aベストアンサー

読んでぱっと思い浮かぶ式は

n = √[ ε μ / ε0 μ0 ]

ですけど。屈折率の定義が、cを真空中の光速、vを媒質中の速度として

n = c / v



c = 1/√[ ε0 μ0 ]、v = 1/√[ ε μ ]

から導かれる式ですが。

磁化率をχとすると、

μ=μ0 ( 1 + χ)

Q縦弾性率からせん断弾性率及び体積弾性率の導出方法

縦弾性率E、ポアソン比νの場合、
せん断弾性率:G=E/2(1+ν)
体積弾性率 :K=E/3(1-2ν)
という式で表されますが、どのように導くのでしょうか?
よろしくお願いします。
以上

Aベストアンサー

剪断弾性係数(G)は,正方形の剪断変形の幾何学形状によって導きます。

単位長さの辺(辺長=1,対角線長=√(2))を持ち,辺ABを底辺とする正方形(左回りに)ABCDに左から頂点Dに力を加えたら,平行四辺形ABC'D'に変形します。この時,辺ABと辺C'D'は平行のままです。また,この時,角DAD'を(γ)とします。とすれば,頂点Dの移動距離は,δ=tan(DD'/辺長)ですが,辺長は単位長さ,変形角度が十分小さいとすれば,δ=γとなり,δ=DD'=CC'=γです。

ここで,四角形の対角線長は,AC=BDですが,変形後はAC+Δ,BD-Δとなります。また,対角線AC'のひずみ度は,ε=1/E・(σ+νσ)ですので,対角線の伸びは,ひずみ度と対角線長を乗じたものになります。即ち,ΔL=ε・√(2)です。

ここで,対角線ACからAC'に垂線を引き交点をEとすると,AC'=AC+ΔLとなりますが,三角形CEC'は,頂点Eを90度とする2等辺三角形になっていますので,CC'は,CC'=ΔL・√(2)となります。

ここまでを整理しますと,
γ=CC'=ΔL・√(2)=ε・√(2)・√(2)=1/E・(σ+νσ)・√(2)・√(2)
γ=2/E・(1+ν)σ
σ=2(1+ν)/E・γ=γ/G つまり G=E/2(1+ν)となります。

体積弾性率(k)は,1辺を単位長さとする直方体の6面全てに圧力(P)が作用したときの体積ひずみを(εv)としたときの変形後の各辺の長さを(1+εi),i=x,y,zとすれば,体積ひずみは,-(変形後の体積)+(変形前の体積)ですから,
εv=-(1+εx)(1+εy)(1+εz)+1
となります。ここで,この式を解いて,この変形が微小変形であると仮定し2次以上の項を省略すれば,εv=-(εx+εy+εz)となります。
各方向のひずみが等しい(εx=εy=εz)とすれば,
e=-1/E・(-p+ν(p+p))ですから,
ev=-3・1/E・(-p+ν(p+p))
ev=p・3(1-2ν)/E=p/K つまり K=E/3(1-2ν)
となります。

剪断弾性係数(G)は,正方形の剪断変形の幾何学形状によって導きます。

単位長さの辺(辺長=1,対角線長=√(2))を持ち,辺ABを底辺とする正方形(左回りに)ABCDに左から頂点Dに力を加えたら,平行四辺形ABC'D'に変形します。この時,辺ABと辺C'D'は平行のままです。また,この時,角DAD'を(γ)とします。とすれば,頂点Dの移動距離は,δ=tan(DD'/辺長)ですが,辺長は単位長さ,変形角度が十分小さいとすれば,δ=γとなり,δ=DD'=CC'=γです。

ここで,四角形の対角線長は,AC=BDですが,変形後はAC+Δ,BD-...続きを読む

Q作用、反作用って勿論作用が先なんだと思うのですが

作用、反作用って勿論作用が先なんだと思うのですが
反作用に時間的な遅れが有るのか?
もう一つ、元々の作用を起こすための力はどこから発生するのかわかりません。
自然現象の中の作用反作用は気象などに影響されるのかと思いますが
人が物を動かすとき脳の中の命令によるものと思います。
しかしその命令のもともとの起点がどこなのか判りましたら
教えてください。

Aベストアンサー

えっと、
発想が違います。

さらに厳密に言うなら、

・力が作用しているとき、対になる反作用がある。
です。

「ひもをひっぱると、ひっぱられる感覚がする」
ではありません。

厳密には、
「ひもをひっぱっているとき、引っ張られる感覚も同時にある」
「壁を押しているとき、壁からも同時に押されている」
です。
そして、その二つの力の大きさが「=」なのです。


この作用反作用の法則(ニュートンの第3法則)は、
他の二つの法則と一つのセットになっていて、

また、この考え方が、自然界の原理原則なのですよ、ということです。



なにかをしたときに、その反応がある、
なにかをすると、それが伝達される
というのは、
例えば、
壁を押すと、反動が返る、
ひもをひっぱると反動がある
これは作用反作用のことではありません。


ここの議論をするには、
ニュートン力学に基づいた、さらに発展的な、
連続体の力学で語られ、
基本的にはニュートン力学の範疇ではありません。


或は、力が伝わっていく、そういう変化について取り扱うのも、同じで、ニュートン力学の範疇ではありません。



>自然現象の中の作用反作用
>人が物を動かすとき脳の中の命令によるもの
これは、因果律のことですね。

因果の因の部分を辿っても、因果の果を辿っても、
謎なのです。


「我々はどこからきて、どこへいくのか」
科学の永久のテーマです。


もっと端的には、
因果関係にも、程度というのがあって、
これは原因で、これが結果で、というのもいいにくいし、
これが原因でこれが結果だ、というのも関係の度合いがあります。


そういう哲学的な次元になると、
どうかなぁ...。

最先端の物理学の基礎が参考になるかもしれません。
例えば、重力場がどう伝わるとか、電場・磁場がどう伝わるとか。
で、その背景に何があるだろうかとか。


楽しいかもしれません。

えっと、
発想が違います。

さらに厳密に言うなら、

・力が作用しているとき、対になる反作用がある。
です。

「ひもをひっぱると、ひっぱられる感覚がする」
ではありません。

厳密には、
「ひもをひっぱっているとき、引っ張られる感覚も同時にある」
「壁を押しているとき、壁からも同時に押されている」
です。
そして、その二つの力の大きさが「=」なのです。


この作用反作用の法則(ニュートンの第3法則)は、
他の二つの法則と一つのセットになっていて、

また、この考え方が、自然界の原理原則なので...続きを読む

Q透磁率 誘電率 マクスウェル方程式

屈折率が透磁率と誘電率で表せることを調べてわかりました。
Q。では、このn=sqrt(με/μoεo)という式はどのように導かれたのですか?マクスウェル方程式を解いているのでしょうか?

Q。誘電率と透磁率は計算で出せるのですか?
また、誘電率と透磁率の一覧表みたいなのはWebページにありますか?

以上2つです。1つでも構いませんのでどなたか教えてください。

Aベストアンサー

#3です。
屈折率は媒体中を進む光(電磁波)の速度V=1/√(με)によって決まります。(真空に対する媒体の屈折率が決まっている)
2つの異なる媒体の境界でも屈折か起きますが、その境界での屈折率は、それぞれの媒体の中を進行する光(電磁波)の速度比になりますが、速度比は、また真空に対する屈折率の逆比でも表せますし、入射角、出射角(透過角)のそれぞれの正弦(sin)比でも表せます。角度の正弦比での定義が高校での屈折率の比として使われているということですね(スネルの法則)。

屈折率の元は媒体中の光(電磁波)の位相速度ですね。

クスウェル方程式は電磁波の方程式ですが、電界Eと磁界Hのセット(あるいは、電束と磁束のセット)で電波として伝播します。電波の電界と磁界は直交する横波として伝播します。
ところが、同じ電磁波の仲間である光(光波)の場合、電界と磁界のセットに相当するものはありません。伝播する光の伝播速度と電波の伝播速度は同じです。振動周波数は光の方が電波の周波数のさらに上の周波数となっています。光は横波で偏波面を持っています。太陽光のような光は色々な偏波面をもった光の集まりです。偏光格子を通せは、特定の偏光面を持った(横波の)光だけを取り出してその偏波だけでその光を進行(伝播)させることができます。電波(電磁波)では電界だけの横波だけの伝播(進行)や磁界だけの横波の伝播(進行)は不可能ですね。
つまり、同じ媒体中での光と電波の進行速度(伝播速度、位相速度)が同じことで、屈折率もマックスウェルの方程式から出した透磁率と誘電率と速度や電波の屈折率をそのまま光の速度や屈折率として使っているわけです。それが現実と矛盾していないためそのまま使われていますし、物質の屈折率は、光での方が実験的に確かめ安い(光の方が波長がずっと短いし、光源が作り安いからですね。)。
光での実験結果は媒体中での光速や屈折率を求めるのにも利用されるといったことですね。

(電磁波の理論と光の理論や媒体の定数測定には相互依存関係にあるということですね。光を使ってμやεの測定はできませんが、屈折率から媒体中の速度比が測定できるといった具合ですね。媒体中の電磁波の速度の正確な測定は困難です。)

#3です。
屈折率は媒体中を進む光(電磁波)の速度V=1/√(με)によって決まります。(真空に対する媒体の屈折率が決まっている)
2つの異なる媒体の境界でも屈折か起きますが、その境界での屈折率は、それぞれの媒体の中を進行する光(電磁波)の速度比になりますが、速度比は、また真空に対する屈折率の逆比でも表せますし、入射角、出射角(透過角)のそれぞれの正弦(sin)比でも表せます。角度の正弦比での定義が高校での屈折率の比として使われているということですね(スネルの法則)。

屈折率の元は媒体...続きを読む

Q屈折率と誘電率の関係

屈折率が√(με/μoεo)となることが分かって
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どなたか教えてください。

Aベストアンサー

直感的説明、というのは難しいですね。私自身は、媒質の境界における電磁波の境界条件により、反射率や屈折率が決まると理解しています。例えば以下のページ、
http://www.ee.seikei.ac.jp/~seiichi/lecture/Wave/Chapt06/boundary.html

屈折率は媒質中での電磁波の(位相)速度で決まり、(真空中での速度cとの比の逆数)その(位相)速度は媒質中での電磁波の伝わり方で決まります。電磁波の伝わり方とは、電場や磁場が時間や場所でどのように変化するかで決まるわけですが、それが互いにどのような関係をもつかが、媒質中の誘電率や透磁率で決まります。その関係式がマックスウェル方程式なわけですが。

誘電率が大きいと、電場の振幅の時間変化に対して空間的な変化が大きくなります。それで結果的に位相速度が小さくなるということです。(空間的な変化とは波数k、時間的変化とは周波数ωで特徴付けられ、位相速度はω/kで求められる。)

マックスウェル方程式から電磁波の位相速度が決まる過程を説明しているだけなので、分かりにくいかもしれません。

直感的説明、というのは難しいですね。私自身は、媒質の境界における電磁波の境界条件により、反射率や屈折率が決まると理解しています。例えば以下のページ、
http://www.ee.seikei.ac.jp/~seiichi/lecture/Wave/Chapt06/boundary.html

屈折率は媒質中での電磁波の(位相)速度で決まり、(真空中での速度cとの比の逆数)その(位相)速度は媒質中での電磁波の伝わり方で決まります。電磁波の伝わり方とは、電場や磁場が時間や場所でどのように変化するかで決まるわけですが、それが互いにどのような関係をも...続きを読む


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