Xの関数Yが、tを媒介変数として、次の式で与えられているときd^2y/dX^2(この2は二乗です)をtを用いて表せ。
 
X=2cost
Y=3sint

dx/dy=-2sint,dy/dt=3costであるから、
dy/dx=-3cost/2sint=-3/2tant
d^2y/dx^2=d/dx(dy/dx)=d/dt(dy/dx)dt/dx
=d/dt(-3/2tant)1/-2sint=このあとがわかりません!
教えてください!

A 回答 (3件)

Xの関数Yが、tを媒介変数として、


X=2 cos t
Y=3 sin t
と表されているので、
(X/2)^2 + (Y/3)^2=1
が成り立ちます。これをXについて微分すると、YはXの関数なので

(X/2) + (2Y/9)(dY/dX)=0

よって関数YのXに関する一階導関数は、

dY/dX=-(9/4)(X/Y)

と求まります。さらにこれをXについて微分すると、

d^2Y/dX^2 =-(9/4){1/Y-(X/Y^2)(dY/dX)}
     =-(9/4){1/Y+(9/4)(X^2/Y^3)}
     =-(9/4){1 +(X/2)^2/(Y/3)^2}/Y
     =-(3/4){(X/2)^2 + (Y/3)^2)/(Y/3)^3

として媒介変数tで表せば、

d^2Y/dX^2=-3/(4 sin^3 t)

となります。
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 僕も最近やったとこだから自信ないけど・・・


 dy/dx=-3/(2tant) としておられますが、
 そのままdy/dx=-3cost/2sintでいいと思います。で、この分数関数を微分すればいいから・・・商の微分公式使って終了。

 ちなみに答えは3/(2sin^2t)になりそうです。(計算違うかも)
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商の微分の公式は知ってますよね?


それを使えばOKですよ。
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