Xの関数Yが、tを媒介変数として、次の式で与えられているときd^2y/dX^2(この2は二乗です)をtを用いて表せ。
 
X=2cost
Y=3sint

dx/dy=-2sint,dy/dt=3costであるから、
dy/dx=-3cost/2sint=-3/2tant
d^2y/dx^2=d/dx(dy/dx)=d/dt(dy/dx)dt/dx
=d/dt(-3/2tant)1/-2sint=このあとがわかりません!
教えてください!

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A 回答 (3件)

Xの関数Yが、tを媒介変数として、


X=2 cos t
Y=3 sin t
と表されているので、
(X/2)^2 + (Y/3)^2=1
が成り立ちます。これをXについて微分すると、YはXの関数なので

(X/2) + (2Y/9)(dY/dX)=0

よって関数YのXに関する一階導関数は、

dY/dX=-(9/4)(X/Y)

と求まります。さらにこれをXについて微分すると、

d^2Y/dX^2 =-(9/4){1/Y-(X/Y^2)(dY/dX)}
     =-(9/4){1/Y+(9/4)(X^2/Y^3)}
     =-(9/4){1 +(X/2)^2/(Y/3)^2}/Y
     =-(3/4){(X/2)^2 + (Y/3)^2)/(Y/3)^3

として媒介変数tで表せば、

d^2Y/dX^2=-3/(4 sin^3 t)

となります。
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 僕も最近やったとこだから自信ないけど・・・


 dy/dx=-3/(2tant) としておられますが、
 そのままdy/dx=-3cost/2sintでいいと思います。で、この分数関数を微分すればいいから・・・商の微分公式使って終了。

 ちなみに答えは3/(2sin^2t)になりそうです。(計算違うかも)
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商の微分の公式は知ってますよね?


それを使えばOKですよ。
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の一般解を求めたいです。
解答解説をお願いします。

Aベストアンサー

演算子法を用います。
D=d/dxとします。
(1)
(D^4+2D^2+8D+5)y=0.
係数を書き間違えてませんか?
(2)
y'=y^2+(2x+1)y+x^2+x-1.
y'+1=(x+y)^2+(x+y).
z=x+y.
z'=1+y.
z'=z^2+z.
z=z^3/3+z^2/2+C.
あとは展開するだけ.
(3)
まずは同次方程式を考える。
[(x+1)(D^2+4D+4)+(D+2)]y=0.
[(x+1)(D+2)+1](D+2)y=0.
よってexp(-2x)は同時方程式の解となる.
つぎにy=w×exp(-2x)として、階数低下法を用いる.
このyを問題の微分方程式に代入する.
(x+1)w"+w'=(x+1)^2.
w'=zとすると
z'+[1/(x+1)]z=(x+1).
これは一階の線形微分方程式なので解ける.
z
=exp(-log(x+1))[∫(x+1)exp(log(x+1))dx+C]
=1/(x+1)[∫(x+1)^2dx+C]
=-1/(x+1)^2+C/(x+1).
w=1/(x+1)+Clog(x+1)+B.
y=[1/(x+1)+Clog(x+1)+B]exp(-2x).

疲れたので終わり・・・

演算子法を用います。
D=d/dxとします。
(1)
(D^4+2D^2+8D+5)y=0.
係数を書き間違えてませんか?
(2)
y'=y^2+(2x+1)y+x^2+x-1.
y'+1=(x+y)^2+(x+y).
z=x+y.
z'=1+y.
z'=z^2+z.
z=z^3/3+z^2/2+C.
あとは展開するだけ.
(3)
まずは同次方程式を考える。
[(x+1)(D^2+4D+4)+(D+2)]y=0.
[(x+1)(D+2)+1](D+2)y=0.
よってexp(-2x)は同時方程式の解となる.
つぎにy=w×exp(-2x)として、階数低下法を用いる.
このyを問題の微分方程式に代入する.
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w'=zとすると
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そこで、
(d/dx)∫(a~b)f(x,y)dy=∫(a~b)(d/dx)f(x,y)dy
が成立するための必要十分条件を教えていただきたいと思っています。
もし簡単には述べられない条件でしたら、何のどこを参照すればこのことが論じられているのかを具体的にご教示いただけると幸いです。

Aベストアンサー

積分と微分の順序交換については
必要十分条件は一般にはありません.
ただし,十分条件は知られています.

リーマン積分の範囲だと
f(x,y)が連続で,f_y(x,y)も連続くらいの条件があれば
d/dy∫f(x,y)dx = ∫f_y(x,y)dx
くらいがいえるはずです.
#積分区間とかは省きます.

その十分条件で一番便利だろうと思われるものは
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興味があれば,「ルベーク積分」の本を
追いかけてください.
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>(cost)^2-(sint)^2=cos2t
>を用いて4r(1-cos2t)とすると、

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を使ったら、
 4r(1-cos2t)
にはなりません。

 2r(1-cos2t)
です。

t=0 で 
2r(1-cos2t) = 0
4r*sin^2t = 0

t=パイ/6 で 
2r(1-cos2t) = r
4r*sin^2t = r

t=パイ/4 で 
2r(1-cos2t) = 2r
4r*sin^2t = 2r

t=パイ/3 で 
2r(1-cos2t) = 3r
4r*sin^2t = 3r

t=パイ/2 で 
2r(1-cos2t) = 4r
4r*sin^2t = 4r

t=パイ で 
2r(1-cos2t) = 0
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の3つがわかりません。どなたか教えていただけないでしょうか?

補足で問題を添付します

Aベストアンサー

・(dx/dt, dy/dt) // (sint, cost) 
 ~~~~~~~~~~~~~~

(1) で、dx/dt=tsint、dy/dt=tcost
を解いたと思いますが・・・、

(→a)=k(→b)
となる実数k(≠0)が存在すれば、
2つのベクトル (→a) と (→b) は平行ですね?

なので、
(dx/dt, dy/dt)=(tsint, tcost)=t(sint, cost)
と変形すると、これから、
(dx/dt, dy/dt) // (sint, cost)
がいえます。


・法線の式でkとはどこからきたのか
 ~~~~~~~~~~~~~~~~

(dx/dt, dy/dt) つまり (sint, cost) に垂直なベクトルは、
(-cost, sint) ・・・・・・ ①
ですね?

C上の点Pは、
(x, y)=(sint-tcost, cost+tsint)=(sint, cost)+t(-cost, sint) ・・・・・・ ②
で、点P(x, y) における法線は、
(一応、法線上の点を、大文字のX、 Yを使って(X, Y) とすると、)
① を用いて、
(X, Y)=(x, y)+s(-cost, sint) (sの文字はt以外であればよいです)
ですね?
② を代入して
(X, Y)=(sint, cost)+t(-cost, sint)+s(-cost, sint)
   =(sint, cost)+(t+s)(-cost, sint)
ここで、t+s=k とおくと、
   ~~~~~

(X, Y)=(sint, cost)+k(-cost, sint)
となり、この大文字を小文字に変えると、解答の
(x, y)=(sint, cost)+k(-cost, sint) ・・・・・・ ③
になります。


・垂線の足の座標が (sint, cost)
 ~~~~~~~~~~~~~~

直線上の点Q(x, y) において、原点からの距離が最短になる
とすると、OQ>0 より
『 OQ^2 が最小になる 』 とき 『 OQも最小になる 』 から、
OQ^2=x^2+y^2 が、最小になる k を求めればよい。
③ より
(x, y)=(sint-kcost, cost+ksint)
だから、
x^2+y^2=(sint-kcost)^2+(cost+ksint)^2
     =sin^2t-2ksintcost+k^2cos^2t+cos^2t+2kcostsint+k^2sint
     =k^2(sin^2t+cos^2t)+(sin^2t+cos^2t)
     =k^2+1
k=0 のとき x^2+y^2 が最小 になる。
③ にk=0 を代入して
(x, y)=(sint, cost)
この点が、原点Oから下した垂線の足になります。

・(dx/dt, dy/dt) // (sint, cost) 
 ~~~~~~~~~~~~~~

(1) で、dx/dt=tsint、dy/dt=tcost
を解いたと思いますが・・・、

(→a)=k(→b)
となる実数k(≠0)が存在すれば、
2つのベクトル (→a) と (→b) は平行ですね?

なので、
(dx/dt, dy/dt)=(tsint, tcost)=t(sint, cost)
と変形すると、これから、
(dx/dt, dy/dt) // (sint, cost)
がいえます。


・法線の式でkとはどこからきたのか
 ~~~~~~~~~~~~~~~~

(dx/dt, dy/dt) つまり (sint, cost) に垂直なベクトルは...続きを読む

Q(d^2θ/dt^2)×(dθ/dt)=1/2×d/dt×(dθ/dt

(d^2θ/dt^2)×(dθ/dt)=1/2×d/dt×(dθ/dt)^2
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Aベストアンサー

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= f* df/dt

いま、f(θ)= dθ/dtですから、それを戻して
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合成関数の微分の考え方で導くことができますよ。^^


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