Xの関数Yが、tを媒介変数として、次の式で与えられているときd^2y/dX^2(この2は二乗です)をtを用いて表せ。
 
X=2cost
Y=3sint

dx/dy=-2sint,dy/dt=3costであるから、
dy/dx=-3cost/2sint=-3/2tant
d^2y/dx^2=d/dx(dy/dx)=d/dt(dy/dx)dt/dx
=d/dt(-3/2tant)1/-2sint=このあとがわかりません!
教えてください!

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A 回答 (3件)

Xの関数Yが、tを媒介変数として、


X=2 cos t
Y=3 sin t
と表されているので、
(X/2)^2 + (Y/3)^2=1
が成り立ちます。これをXについて微分すると、YはXの関数なので

(X/2) + (2Y/9)(dY/dX)=0

よって関数YのXに関する一階導関数は、

dY/dX=-(9/4)(X/Y)

と求まります。さらにこれをXについて微分すると、

d^2Y/dX^2 =-(9/4){1/Y-(X/Y^2)(dY/dX)}
     =-(9/4){1/Y+(9/4)(X^2/Y^3)}
     =-(9/4){1 +(X/2)^2/(Y/3)^2}/Y
     =-(3/4){(X/2)^2 + (Y/3)^2)/(Y/3)^3

として媒介変数tで表せば、

d^2Y/dX^2=-3/(4 sin^3 t)

となります。
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 僕も最近やったとこだから自信ないけど・・・


 dy/dx=-3/(2tant) としておられますが、
 そのままdy/dx=-3cost/2sintでいいと思います。で、この分数関数を微分すればいいから・・・商の微分公式使って終了。

 ちなみに答えは3/(2sin^2t)になりそうです。(計算違うかも)
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商の微分の公式は知ってますよね?


それを使えばOKですよ。
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QXファイルの法線情報について

現在、DirectX10を利用して3Dゲームを制作しています。
3Dデータを読み込むためにXファイルを使用しています。
Xファイルの読み込みは自分でXファイルパーサーを作成しています。

そして、
Xファイルには法線ベクトルの情報が入っています。
これは面法線情報であると今まで思っていました。
(理由:法線情報数が面情報数と一致していたので)
しかし、最近になって、頂点法線情報が入っているXファイルの存在を知りました
(理由:法線情報数と面情報数が一致せず、頂点数と一致していたので)

そこで質問があります。
Xファイルに入っている法線情報が面法線なのか、頂点法線なのか
知る方法を教えてください。

よろしくお願い申し上げます。

Aベストアンサー

> 1つのXファイルに1つのMESHの場合は、法線情報数が頂点数とも面数とも一致しないということはないですよね

例えば円盤をかんがえてみてください。

中心に1点頂点を置き、そこから放射状に20枚程度のポリゴンを敷き詰めて円盤を作ったとします。
完全な円盤であれば法線はどこを見ても一緒なはずなので、データとして1個だけ法線を持ち、
全ての面と法線がそれを参照する、といった形でデータを作ることもできます。

上記の場合、ファイル内の要素数は

点数→21
面数→20
法線数→1

となります。

法線数を点数、面数と一致するようにデータを作ることは可能です。
ですが、xファイルの仕様としてはそれは保障されていません。

Q1.(d^4y/dx^4)+(2d^2y/dx^2)+8dy/dx)+

1.(d^4y/dx^4)+(2d^2y/dx^2)+8dy/dx)+5y=0
2.(dy/dx)+1-x-x^2-(2x+1)y-y^2=0
3.{(x+1)d^2y/dx^2}+{(4x+5)dy/dx}+(4x+6)y={(x+1)^2}e^(-2x)
の一般解を求めたいです。
解答解説をお願いします。

Aベストアンサー

演算子法を用います。
D=d/dxとします。
(1)
(D^4+2D^2+8D+5)y=0.
係数を書き間違えてませんか?
(2)
y'=y^2+(2x+1)y+x^2+x-1.
y'+1=(x+y)^2+(x+y).
z=x+y.
z'=1+y.
z'=z^2+z.
z=z^3/3+z^2/2+C.
あとは展開するだけ.
(3)
まずは同次方程式を考える。
[(x+1)(D^2+4D+4)+(D+2)]y=0.
[(x+1)(D+2)+1](D+2)y=0.
よってexp(-2x)は同時方程式の解となる.
つぎにy=w×exp(-2x)として、階数低下法を用いる.
このyを問題の微分方程式に代入する.
(x+1)w"+w'=(x+1)^2.
w'=zとすると
z'+[1/(x+1)]z=(x+1).
これは一階の線形微分方程式なので解ける.
z
=exp(-log(x+1))[∫(x+1)exp(log(x+1))dx+C]
=1/(x+1)[∫(x+1)^2dx+C]
=-1/(x+1)^2+C/(x+1).
w=1/(x+1)+Clog(x+1)+B.
y=[1/(x+1)+Clog(x+1)+B]exp(-2x).

疲れたので終わり・・・

演算子法を用います。
D=d/dxとします。
(1)
(D^4+2D^2+8D+5)y=0.
係数を書き間違えてませんか?
(2)
y'=y^2+(2x+1)y+x^2+x-1.
y'+1=(x+y)^2+(x+y).
z=x+y.
z'=1+y.
z'=z^2+z.
z=z^3/3+z^2/2+C.
あとは展開するだけ.
(3)
まずは同次方程式を考える。
[(x+1)(D^2+4D+4)+(D+2)]y=0.
[(x+1)(D+2)+1](D+2)y=0.
よってexp(-2x)は同時方程式の解となる.
つぎにy=w×exp(-2x)として、階数低下法を用いる.
このyを問題の微分方程式に代入する.
(x+1)w"+w'=(x+1)^2.
w'=zとすると
z'+[1/(x+1)]z=(x+1).
これは一階の線形微分...続きを読む

Q法線ベクトルと面の通る点が決定している場合の、法線ベクトルの大きさの求め方

法線ベクトルと面の通る点が決定している場合の、法線ベクトルの大きさの求め方を教えて下さい。
法線ベクトルの大きさはまだ適当な値が入っています。
これを、法線ベクトルの成分(a,b,c)がそれぞれ
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Aベストアンサー

正規化された法線ベクトルを n,
方程式の係数になっている法線ベクトルを e = (a, b, c)、
通る点を p、面上の点を r とすると

e = |e|n

ax+by+cz = e・r = |e|n・r = 1 →n・r=1/|e|

この式は面上のすべての点で成り立つので、r = p のとき

n・r =n・p=1/|e| → |e| = 1/(n・p)
これで、既知の法線の方向 n と通る点pから法線ベクトルの大きさ |e| が求まります。

nは既知なので

e = |e|n

で a, b, c を計算できます。

以上。

Q(d/dx)∫(a~b)f(x,y)dy=∫(a~b)(d/dx)f(x,y)dyの成立条件

(d/dx)∫(a~b)f(x,y)dy(つまり、f(x,y)をyで積分(定積分)したものをxで微分したもの)を考えます(ただし、(a~b)は積分範囲を表し、aやbは定数であって、xの関数ではありません)。
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そこで、
(d/dx)∫(a~b)f(x,y)dy=∫(a~b)(d/dx)f(x,y)dy
が成立するための必要十分条件を教えていただきたいと思っています。
もし簡単には述べられない条件でしたら、何のどこを参照すればこのことが論じられているのかを具体的にご教示いただけると幸いです。

Aベストアンサー

積分と微分の順序交換については
必要十分条件は一般にはありません.
ただし,十分条件は知られています.

リーマン積分の範囲だと
f(x,y)が連続で,f_y(x,y)も連続くらいの条件があれば
d/dy∫f(x,y)dx = ∫f_y(x,y)dx
くらいがいえるはずです.
#積分区間とかは省きます.

その十分条件で一番便利だろうと思われるものは
ルベーク積分の言葉で記述されます.
興味があれば,「ルベーク積分」の本を
追いかけてください.
・ルベークの有界収束性定理
・L^1空間
というようなものが理解できれば,順序交換の定理は理解できます.

Q何故偏微分が法線の成分に

 関数f(x,y,z)=0という曲面があって曲面上のある点Pの接平面を求めるとき
 Fx*X'+Fy*Y'+Fz*Z=0という式が出ます。
この式の意味するところはFx Fy FzがP点での法線ベクトルのx y z成分になるということらしいのですがよく理解出来ません。何故偏微分が法線ベクトルの成分になるのでしょうか?教えてください!

Aベストアンサー

>>斜面の勾配が最も急な向きは、(Fx, Fy) で与えられることは感覚的に納得できるでしょう。
>ここがよく分かりません。Fx=x-y平面でx方向のみ移動させた時のZの増加率になりますよね。何故これが法線ベクトルのx方向になるかが分かりません。

ここで言ったのは、(Fx,Fy)というベクトルが、"最大の勾配の方向"を与えるということです。
つまり、斜面にボールを置いたとき、-(Fx,Fy)の方向に転がるということです。
そして、"最大の勾配の方向"は等高線と垂直なはずだから、(Fx,Fy)は等高線の法線と同じ方向だと分かる。
ということなのですが、これで質問の回答になっているでしょうか…。

以下、(Fx,Fy)が"最大の勾配の方向"を与える理由を書きます。

F(x,y)を全微分すれば、
  dF = Fxdx + Fydy = (Fx,Fy)・(dx,dy)
よって,(dx,dy)が(Fx,Fy)と同一方向のとき dF は最大,すなわち (Fx,Fy) は"最大の勾配の方向"を与える.

イメージとしては次のような感じです。
F(x,y) = ax (x方向に傾いた板)では、(Fx,Fy) = (a,0) でx方向を向くベクトル。
F(x,y) = by (y方向に傾いた板)では、(Fx,Fy) = (0,b) でy方向を向くベクトル。
F(x,y) = ax+by (x方向とy方向の傾きを持つ板)では、(Fx,Fy) = (a,b) で斜面の方向を向くベクトル。(ノートか何かを傾けて確認してみるといいかもしれません)
微分可能な曲面は局所的には平面とみなせるから、(Fx,Fy) はその点での"最大の勾配の方向"を与えます。

ところで、ベクトル解析では(Fx,Fy)というベクトルを、grad F とか、∇F と書くのですが、ご存知ないでしょうか…。
もしご存知ないなら、私の説明は分かりにくいかもしれません。
参考までにwikipediaのURLの載せておきます。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8B%BE%E9%85%8D

参考URL:http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8B%BE%E9%85%8D

>>斜面の勾配が最も急な向きは、(Fx, Fy) で与えられることは感覚的に納得できるでしょう。
>ここがよく分かりません。Fx=x-y平面でx方向のみ移動させた時のZの増加率になりますよね。何故これが法線ベクトルのx方向になるかが分かりません。

ここで言ったのは、(Fx,Fy)というベクトルが、"最大の勾配の方向"を与えるということです。
つまり、斜面にボールを置いたとき、-(Fx,Fy)の方向に転がるということです。
そして、"最大の勾配の方向"は等高線と垂直なはずだから、(Fx,Fy)は等高線の法線と同じ方...続きを読む

Q数Ⅲの微分でわからない所があります。 画像のdx/dtを (cost)^2-(sint)^2=c

数Ⅲの微分でわからない所があります。

画像のdx/dtを

(cost)^2-(sint)^2=cos2t

を用いて4r(1-cos2t)とすると、
増減表が異なり、曲線の概形も異なるものになりました。このように変型してはいけないのでしょうか?

また、どうして増減表が異なってしまうのでしょうか?

Aベストアンサー

>画像のdx/dtを
>(cost)^2-(sint)^2=cos2t
>を用いて4r(1-cos2t)とすると、

(cost)^2-(sint)^2=cos2t
を使ったら、
 4r(1-cos2t)
にはなりません。

 2r(1-cos2t)
です。

t=0 で 
2r(1-cos2t) = 0
4r*sin^2t = 0

t=パイ/6 で 
2r(1-cos2t) = r
4r*sin^2t = r

t=パイ/4 で 
2r(1-cos2t) = 2r
4r*sin^2t = 2r

t=パイ/3 で 
2r(1-cos2t) = 3r
4r*sin^2t = 3r

t=パイ/2 で 
2r(1-cos2t) = 4r
4r*sin^2t = 4r

t=パイ で 
2r(1-cos2t) = 0
4r*sin^2t = 0

で、増減表も値も一致しますよ。

Q法線を使って、ある地表の一点の高さを調べるには

法線を使って、ある地表の一点の高さを調べるには

(X,Y,Z)座標の中のある一点(X,Z)の地表の高さ(Y)
を知るのに、その一点のまわりの三点(A、B、C)の座標値(X,Y,Z)
がわかっていれば、法線を使って知りたい点の高さがわかると聞いたのですが

(A,B,C)でできる平面の法線を求めて
点(A)と調べたい点(T)を結んだ線(AT)を作ると、
線(AT)と法線は直行してるので
線(AT)と法線の内積=0
という所までは、わかったのですが、

その内積を表す式と
法線の各成分、点(A)の各成分、調べたい点T(X,Z)成分
はすでにわかっているので、調べたい点T(Y)成分を
内積の式から抽出でき、
式を展開できるということの、

その式がどうしてもわかりません。
その式がわかれば、ある地点(X,Z)の(Y)成分がわかるらしいのですが、

どなたかご存知の方がおりましたら
よろしくお願い致します。

Aベストアンサー

>三、四角形(傾きは任意)のすべての頂点位置はわかっている状態で、面の中のある一点(面に含まれる)の3次元座標のY位置を調べる

それでしたら、そのある1点の座標を ( Xp, Yp, Zp ) として、Xp と Zp を与えたときに、Yp はいくつになるかということを知りたいわけですね。
平面の方程式は
   nx*x + ny*y + nz*z = d --- (1)
ですので、これが3点 A( Xa, Ya, Za )、B( Xb, Yb, Zb )、C( Xc, Yc, Zc ) を通るなら
   nx = d*( Za*Yc - Yc*Zb - Ya*Zc + Zc*Yb + Ya*Zb - Za*Yb )/( - Xa*Yc*Zb - Ya*Xb*Zc + Xc*Ya*Zb + Xa*Zc*Yb + Za*Xb*Yc - Za*Xc*Yb ) --- (2)
   ny = d*( Xb*Za - Xb*Zc + Xa*Zc - Xa*Zb - Xc*Za + Zb*Xc )/( - Xa*Yc*Zb - Ya*Xb*Zc + Xc*Ya*Zb + Xa*Zc*Yb + Za*Xb*Yc - Za*Xc*Yb ) --- (3)
   nz = d*( - Xa*Yc - Ya*Xb + Xc*Ya + Xa*Yb + Xb*Yc - Yb*Xc )/( - Xa*Yc*Zb - Ya*Xb*Zc + Xc*Ya*Zb + Xa*Zc*Yb + Za*Xb*Yc - Za*Xc*Yb) --- (4)
となります( d の値は分からなくても nx:ny:nz が分かれば平面は決まります )。

点 ( Xp, Yp, Zp ) が平面 (1) 上にあるのなら
   nx*Xp + ny*Yp + nz*Zp = d --- (5)
が成り立つので、式 (2) ~ (5) から
   Yp = - ( - Yc*Za + Yc*Zb + Zc*Ya - Zc*Yb - Zb*Ya + Yb*Za )/( - Xb*Za + Xb*Zc - Xa*Zc + Xa*Zb + Xc*Za - Zb*Xc )*Xp - ( Xa*Yc + Ya*Xb - Xc*Ya - Xa*Yb - Xb*Yc + Yb*Xc )/( -Xb*Za + Xb*Zc - Xa*Zc + Xa*Zb + Xc*Za - Zb*Xc )*Zp - ( -Yc*Zb*Xa + Zc*Yb*Xa - Xb*Zc*Ya + Xc*Zb*Ya + Xb*Yc*Za - Xc*Yb*Za )/( - Xb*Za + Xb*Zc - Xa*Zc + Xa*Zb + Xc*Za - Zb*Xc )
となって、Yp を Xp と Zp を使って表わすことができます。このような計算は手計算ではとてもできないので、数式処理ソフトを使いました。

>三、四角形(傾きは任意)のすべての頂点位置はわかっている状態で、面の中のある一点(面に含まれる)の3次元座標のY位置を調べる

それでしたら、そのある1点の座標を ( Xp, Yp, Zp ) として、Xp と Zp を与えたときに、Yp はいくつになるかということを知りたいわけですね。
平面の方程式は
   nx*x + ny*y + nz*z = d --- (1)
ですので、これが3点 A( Xa, Ya, Za )、B( Xb, Yb, Zb )、C( Xc, Yc, Zc ) を通るなら
   nx = d*( Za*Yc - Yc*Zb - Ya*Zc + Zc*Yb + Ya*Zb - Za*Yb )/( - Xa*Yc*Zb...続きを読む

Q理経数学プラチカ55番(2)で・(dx/dt,dy/dt)//(sint,cost)・法線の式で

理経数学プラチカ55番(2)で
・(dx/dt,dy/dt)//(sint,cost)
・法線の式でkとはどこからきたのか
・垂線の足の座標が(sint,cost)
の3つがわかりません。どなたか教えていただけないでしょうか?

補足で問題を添付します

Aベストアンサー

・(dx/dt, dy/dt) // (sint, cost) 
 ~~~~~~~~~~~~~~

(1) で、dx/dt=tsint、dy/dt=tcost
を解いたと思いますが・・・、

(→a)=k(→b)
となる実数k(≠0)が存在すれば、
2つのベクトル (→a) と (→b) は平行ですね?

なので、
(dx/dt, dy/dt)=(tsint, tcost)=t(sint, cost)
と変形すると、これから、
(dx/dt, dy/dt) // (sint, cost)
がいえます。


・法線の式でkとはどこからきたのか
 ~~~~~~~~~~~~~~~~

(dx/dt, dy/dt) つまり (sint, cost) に垂直なベクトルは、
(-cost, sint) ・・・・・・ ①
ですね?

C上の点Pは、
(x, y)=(sint-tcost, cost+tsint)=(sint, cost)+t(-cost, sint) ・・・・・・ ②
で、点P(x, y) における法線は、
(一応、法線上の点を、大文字のX、 Yを使って(X, Y) とすると、)
① を用いて、
(X, Y)=(x, y)+s(-cost, sint) (sの文字はt以外であればよいです)
ですね?
② を代入して
(X, Y)=(sint, cost)+t(-cost, sint)+s(-cost, sint)
   =(sint, cost)+(t+s)(-cost, sint)
ここで、t+s=k とおくと、
   ~~~~~

(X, Y)=(sint, cost)+k(-cost, sint)
となり、この大文字を小文字に変えると、解答の
(x, y)=(sint, cost)+k(-cost, sint) ・・・・・・ ③
になります。


・垂線の足の座標が (sint, cost)
 ~~~~~~~~~~~~~~

直線上の点Q(x, y) において、原点からの距離が最短になる
とすると、OQ>0 より
『 OQ^2 が最小になる 』 とき 『 OQも最小になる 』 から、
OQ^2=x^2+y^2 が、最小になる k を求めればよい。
③ より
(x, y)=(sint-kcost, cost+ksint)
だから、
x^2+y^2=(sint-kcost)^2+(cost+ksint)^2
     =sin^2t-2ksintcost+k^2cos^2t+cos^2t+2kcostsint+k^2sint
     =k^2(sin^2t+cos^2t)+(sin^2t+cos^2t)
     =k^2+1
k=0 のとき x^2+y^2 が最小 になる。
③ にk=0 を代入して
(x, y)=(sint, cost)
この点が、原点Oから下した垂線の足になります。

・(dx/dt, dy/dt) // (sint, cost) 
 ~~~~~~~~~~~~~~

(1) で、dx/dt=tsint、dy/dt=tcost
を解いたと思いますが・・・、

(→a)=k(→b)
となる実数k(≠0)が存在すれば、
2つのベクトル (→a) と (→b) は平行ですね?

なので、
(dx/dt, dy/dt)=(tsint, tcost)=t(sint, cost)
と変形すると、これから、
(dx/dt, dy/dt) // (sint, cost)
がいえます。


・法線の式でkとはどこからきたのか
 ~~~~~~~~~~~~~~~~

(dx/dt, dy/dt) つまり (sint, cost) に垂直なベクトルは...続きを読む

Q法線(normal line)はなぜそう呼ぶの?

接線(tangent line)の意味は分かります。
「接」は接するという意味だし、tangentも接するという意味です。

しかし、
法線(normal line)はなぜそうよばれるのかが分かりません。

調べたところ、

「法」:仏教における法(ほう、サンスクリット:dharma ダルマ、パーリ語:dhamma ダンマ)とは、三宝のひとつで、本来は「保持するもの」「支持するもの」の意。

「normal」:標準の;普通の,通常の;正常の;正規の;平均的な

という感じで、どちらからの垂直の概念がイメージできません。
法線(normal line)はなぜそう呼ぶのか、素朴な疑問です。

Aベストアンサー

こんばんわ。

確かに「法」って、なんかピンときませんよね。
気になったので、いろいろ検索してみました。^^;


辞書で「normal」を調べて見ると、以下のような書き出しになっています。
原義:(大工の)物差し(norm)通りの(al).

この原義は、ラテン語のようです。

大工さんの物差しといえば、
「指矩・指金(さしがね)」「曲尺(かねじゃく)」と呼ばれるような
L字形のものさしが思い出されると思います。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%8C%87%E7%9F%A9

エジプト文明のころには、3:4:5のひもで直角三角形を作って直角を測っていたとのことなので、英語の「normal」はこのあたりからきているのだと思います。


そして、検索を進めていくと
normal→ ものさし→ ルール→ 法

といった説明(推測?)がいくつかありました。
確かに、言われてみればそうだなあとは思います。


すべてが正しいかはわかりませんが、ご参考まで。

Q(d^2θ/dt^2)×(dθ/dt)=1/2×d/dt×(dθ/dt

(d^2θ/dt^2)×(dθ/dt)=1/2×d/dt×(dθ/dt)^2
になる理由を教えてください。

Aベストアンサー

こんばんわ。

右辺を計算して、左辺を導くというのが一番いいかと思います。
ややこしいので、一度 dθ/dt= f(θ)とみなしてみます。
(右辺)
= 1/2* d/dt(f^2)
= 1/2* 2* f* df/dt
= f* df/dt

いま、f(θ)= dθ/dtですから、それを戻して
= dθ/dt* d/dt(dθ/dt)
= (dθ/dt)* (d^2θ/dt^2)
= (左辺)

合成関数の微分の考え方で導くことができますよ。^^