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微分積分の期末テストで次の問題が出ました。

次の命題の正誤を答えよ。ただし理由も与えること。

命題:関数f(x)=x^ 2は区間[0,∞)で一様連続である。

この問題で自分は次のように解答しました。

(証)αを与えられた区間内の任意の要素とし、εを任意の整数とする。

あるδとしてmin.(ε/2|α|+1,1)とする。

このとき|x-α|<δ⇒|f(x)-f(α)|=|x^2-α^2|=|xーα|・|x+

α|<・・・・・(略)<δ(2|α|+1)<ε

となり、故にf(x)=x^2は区間[0,∞)で一様連続でない。(なぜなら、δがε

だけでなくαにも依存するから)

この解答で一応マルはもらえたのですが、はじめにδを上のようにしたものだけを考

えていい理由は何なんですかね?もしかしたらεだけでδを表せるかもしれないの

に。考えてはみてるんですがなかなか納得のいく答えが見つかりません。よかった

ら力になってください。よろいくお願いします。

A 回答 (1件)

ikecchiさんご自身で疑問を感じるのは当然で、ikecchiさんの解答は実は


「関数f(x)=x^ 2は区間[0,∞)で連続である」
ことの証明にはなっていますが
「関数f(x)=x^ 2は区間[0,∞)で一様連続でない」
ことの証明にはなっていません。その理由はご自身で書かれている通り
「ある」δについてαに依存することを証明しても、「任意の」δがαに依存する
ことは証明されないからです


「一様連続でない」ということを証明するには何を示せば良いのでしょうか。
変数の任意性や依存関係が絡み合うこの種の問題(ε-δの応用問題は大体そうです)
を考える時は命題を論理式で書いておくと証明すべきことが見やすくなります。
まず「関数f(x)が区間[a,b)で連続である」を論理式で書くと
∀ε>0 ∀α∈[a,b) ∃δ>0  ∀x(|x - α| < δ ⇒ |f(x) - f(α)| < ε)
でしたね。つまりこの場合δはεとαの両方に依存しても構わない。
一方「関数f(x)が区間[a,b)で一様連続である」を論理式で書くと
∀ε>0 ∃δ>0 ∀α∈[a,b) ∀x(|x - α| < δ ⇒ |f(x) - f(α)| < ε)……(1)
となります。変数δとαに関する記述の位置が入れ替わっていることに注意して下さい。
この場合δはεだけに依存します。
そして「関数f(x)が区間[a,b)で一様連続でない」という命題はこれの否定命題ですから
∃ε>0 ∀δ>0 ∃α∈[a,b) ∃x(|x - α| < δ かつ |f(x) - f(α)| ≧ ε)……(2)
となります。(論理式の変形規則についてはご存知でしょうね)

つまり「関数f(x)=x^ 2は区間[0,∞)で一様連続でない」
ことを証明するためには,具体的なεと任意のδをとってきてそのε,δの組に
対して(2)式の括弧内の条件を満たすようなα,xがとれることを示せば良いのです。
これを示しましょう。

ε=1/2とし,任意のδを1つ固定し, α≧ 1/(2δ) とします。
x= α+(δ/2) とするとxは(1)式の前提条件
|x - α| < δ を満たします。しかし
|f(x) - f(α)|= |x^2 - α^2| = | (α+(δ/2))^2 - α^2 |= | αδ + δ^2/4 |≧ 1/2 =ε
ですから一様連続でないことがいえました。          ■

証明が間違っているにも関わらず先生が○をくれた理由は推測するしかありませんが
(1)一応「一様連続でない」という結論はあっているので、
証明も正しいものと勘違いした
(2)実は先生もわかってない(まさかね^^;)
(3)一応「一様連続でない」という結論はあっていることと
証明を読んで(間違いではあるものの)一様連続性についても
一応は理解しているものと判断して○にした。

というところが考えられますが本当のところ先生に聞いてみた方が良いでしょうね。
    • good
    • 7
この回答へのお礼

は~ん、なるほど~否定命題ですか~なんか習ったのにこういうときに使えないんですよね。しかも、順番によって依存の仕方が変わるのは盲点でした。自分自身数学を習っているものとして情けないです。しかし、ここで、ちゃんと理解したので次からは一様連続に関してばっちりだと思います。本当にありがとうございます。

お礼日時:2001/10/16 00:39

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Q一様連続の証明

1/(1+x^2)がR上一様連続であることを示せという証明ができません。お手数ですが教えてください。

Aベストアンサー

おぉっ、補足してくれたのですね。

まず、直感的な理解になりますが、f(x)=1/(1+x^2) ってのは、
x=0で最大値1をとり、全域で正で、±∞付近では0に漸近する、とてもなだらかな曲線ですよね。
そして、その傾きは、一番きついところでも±1を超えないわけです。
ということは、一様連続なのは「直感的には明らか」ですね。

あとは、それをε-δで書き下せばよいわけですね。
このとき、εに対応するδの選択が面倒なわけですが、上記のような直感的な理解を助けとすれば「傾きの最大は1を超えない」→「f(x)=xと同程度のδを選べばよい」
→「existδ=εとすればよい」と回答の方針を決定できます。


あとは、ご存知のとおり、
|1/(1+x1^2)-1/(1+x2^2)|<εを示せばよいのですが、あいにくゴリゴリ計算する時間が今ないので、後で(後日?)、時間がとれたら、変形を書き下したいとおもいます。

あるいは、f’(1次導関数)の絶対値の最大値(多分1以下です)を求めれば直接的な変形をしなくても、
|f(x1)-f(x2)/(x1-x2)|<1が全域で示せるので
そのほうが容易かもしれません。

おぉっ、補足してくれたのですね。

まず、直感的な理解になりますが、f(x)=1/(1+x^2) ってのは、
x=0で最大値1をとり、全域で正で、±∞付近では0に漸近する、とてもなだらかな曲線ですよね。
そして、その傾きは、一番きついところでも±1を超えないわけです。
ということは、一様連続なのは「直感的には明らか」ですね。

あとは、それをε-δで書き下せばよいわけですね。
このとき、εに対応するδの選択が面倒なわけですが、上記のような直感的な理解を助けとすれば「傾きの最大は1を超えない」→「f...続きを読む

Q一様連続と連続の違い

一様連続と連続の違いは何か。
εδでそれぞれの定義が示されていますが、見てもその違いがよくわかりません。
厳密でなくてもよいので違いはどういうことなのか教えてもらえないでしょうか。
違いがわかれば、一様連続の意味もわかると思いました。

Aベストアンサー

#7さんの
>「連続」+「有界」⇒「一様連続」
も,残念ながら誤りです.
この法則に当てはまる例が多いとはいえますが,すべてがそうではありません.
#4さんが挙げた例のひとつ,f(x)=sin(1/x) (x>0 を定義域として)は,連続かつ有界であって一様連続ではない関数の例です.

「連続」+「○○」⇒「一様連続」
と言う図式で,定理として証明可能な事実としては,
「連続」+「定義域がコンパクト」⇒「一様連続」
があります.
一方,
「連続」+「定義域がコンパクト」⇒「有界」
という定理もあります.
これらのことから,一様連続性と有界性には一見関係があるように錯覚する可能性がありますが,実は関係ありません.連続関数について,一様連続性と有界性の間には強弱関係は成り立ちません.

この質問に自信を持って回答しようとする優秀な解答者の方々でさえ,こういう勘違いをするのです.
「一様連続」とは何かを感覚的な説明で捉えようとすることは,そのぐらい「危うい」(誤りに陥りやすい)学習姿勢だということを,認識しておいてください.
別の言い方をすると,「一様連続とは何か」について,「ウソのない」感覚的な説明を見つけるのは,そのぐらい難しい(いくつかの例だけにあてはまる説明を安直に作るだけでは,どうしても漏れが生じる)ということです.
だからこそ,最終的には,言葉による厳密な定義をよりどころにするしかないのです.

連続性と一様連続性の違いを取り上げている参考文献をもう1件あげておきます.
新井紀子(著)「数学は言葉(math stories)」東京図書

#7さんの
>「連続」+「有界」⇒「一様連続」
も,残念ながら誤りです.
この法則に当てはまる例が多いとはいえますが,すべてがそうではありません.
#4さんが挙げた例のひとつ,f(x)=sin(1/x) (x>0 を定義域として)は,連続かつ有界であって一様連続ではない関数の例です.

「連続」+「○○」⇒「一様連続」
と言う図式で,定理として証明可能な事実としては,
「連続」+「定義域がコンパクト」⇒「一様連続」
があります.
一方,
「連続」+「定義域がコンパクト」⇒「有界」
という定理もあります.
これらの...続きを読む

Qリプシッツ連続と一様連続

リプシッツ連続と一様連続が(定義は分かるのですが)違いが良く分かりません。

リプシッツ連続ならば一様連続と本に書いてあったのですが、一様連続んらばリプシッツ連続、は成立しないのでしょうか。

Aベストアンサー

リプシッツ連続はx≠yとして|f(x)-f(y)|/|x-y|≦Lと変形てきます。
y→xのとき、これが何を意味しているかを#1さんの例の原点で考えれば違いが解るのではないでしょうか。

Q集積点が、まったく分かりません!!

集積点の意味がまったくわかりません。詳しく教えてください。

Aベストアンサー

MANIFESTさんがどのくらいの予備知識をお持ちなのかわからないので
答えにくいのですが、
集積点について質問されると言うことは少なくとも位相空間についての基本的な
用語くらいはご存知だと仮定して説明します。
距離空間はご存知でしょうね。

Xをある位相空間、AをXのある部分集合とします。
x∈XがAの集積点であるとは
xの任意の近傍とAの共通部分にx以外のAの点が少なくとも1つは含まれる
ような点のことです。
Xが距離空間なら、これは
「任意のεに対してxからの距離がε以下であるようなx以外のAの要素が存在するような点」
と言い替えられます。

直観的な言い方をすれば、x∈XがAの集積点であるとは
「xのどんな近くにも(x以外の)Aの点がある」
と言う条件をみたすような点のことです。

ついでに集積点との対比で孤立点も覚えてしまいましょう。
集積点とはある意味で対照的なものが孤立点です。
すなわちx∈XがAの孤立点であるとは
xがAの要素であり  …(S1)
かつxのある近傍とAの共通部分にx以外のAの点が含まれない。…(S2)
ような点のことです。
Xが距離空間なら、これは
「あるεに対してxからの距離がε以下であるようなAの要素はxだけであるような点」
となります。

注意していただきたいのはx∈AであることはxがAの集積点であるためには
必要でも十分でもないということです。
xがAの点であってもそれが孤立点ならxは集積点ではないし、Aの点でないような
Aの集積点も存在します。
しかし孤立点と言う概念は集合Aの要素に対して与えられる概念ですから、Aに
属さない点が(S2)の条件だけ満たしてもそれをAの孤立点とは呼びません。

あとは距離空間(ユークリッド空間)での簡単な例を挙げておきますのでイメージをつかんで下さい

例(1)Xを2次元ユークリッド空間として
A={(x,y)∈X| x^2 + y^2 < 1} ∪ (2.0)
とします。つまりAは原点中心半径1の開円盤と点(2,0)の和集合です。
するとAの集積点(の集合)は
{(x,y)∈X| x^2 + y^2 ≦ 1}
すなわち原点中心半径1の開円盤とその境界となります。
点(2,0)は孤立点なので集積点ではありません。

例(2)Xを2次元ユークリッド空間として
A={(x,y)∈X| y = sin(1/x) ,x∈(0,∞) }
とします。Aの集積点(の集合)はA自身と集合
B={(0,y)∈X| y∈[-1,1] }
の和集合です。

例(3)Xを1次元ユークリッド空間として
A= { 1/n | n=1,2,…}
とします。原点{0}はAの集積点です。しかしA自身の点はすべて孤立点です。

例(4)Xを1次元ユークリッド空間として
Aは開区間(0,1)の有理点。すなわち
A= { x∈(0,1)|xは有理数 }
とします。Aの集積点(の集合)は閉区間[0,1]です。

MANIFESTさんがどのくらいの予備知識をお持ちなのかわからないので
答えにくいのですが、
集積点について質問されると言うことは少なくとも位相空間についての基本的な
用語くらいはご存知だと仮定して説明します。
距離空間はご存知でしょうね。

Xをある位相空間、AをXのある部分集合とします。
x∈XがAの集積点であるとは
xの任意の近傍とAの共通部分にx以外のAの点が少なくとも1つは含まれる
ような点のことです。
Xが距離空間なら、これは
「任意のεに対してxからの距離がε以下であるよう...続きを読む

Qε-δ論法の例題について

ε-δ論法を用いる簡単な例題で

lim 1/x = 1/a になることを証明せよ。
x→a
というもので、解説は↓
―――――――――――――――――――――――――――――
|x - a|<|a|/ 2 ならば |x|>|a|/ 2 だから、このとき (1)

|1/x - 1/a| = |x - a| / (|x|-|a|)              (2)

≦ 2|x - a| / |a|^2                (3)

2|x - a| / |a|^2 < ε とおくと |x - a|< (|a|^2)ε / 2 。   (4)

したがって δ = (|a|^2)ε / 2  ∧ |a|/ 2 とおくと (5)

0 <|x - a|< δ のとき、                    (6)

|x - a|<|a|/ 2 かつ、|x - a|<(|a|^2)ε / 2 だから、     (7)

|1/x - 1/a|< ε , ε > 0 は任意だから、            (8)

lim 1/x = 1/a (9)
x→a

である。

*「 a ∧ b 」= 「実数aと実数bの小さい方」

―――――――――――――――――――――――――――――
とかいてあるのですが、

(1)の『|x - a|<|a|/ 2 ならば |x|>|a|/ 2 だから・・・』
とする意味がよくわかりません・・・。
どうしても
『じゃあ|x - a|>|a|/ 2 のときはどうすんだ?』
って思ってしまいます;;

それと(5)の『δ = (|a|^2)ε / 2  ∧ |a|/ 2 とおくと』
とする意味もよくわかりません;;
 
たぶん私の解釈がおかしくて、質問が変なものになっているかもしれませんが、わかりやすく解説してくれる方、いたら本当によろしくおねがいします><
ちなみにε-δ論法についてはどういう風に示せば証明したことになるか、という事はだいたいわかります。
でもこの問題については全体的によくいまいちわからなくて・・・

ε-δ論法を用いる簡単な例題で

lim 1/x = 1/a になることを証明せよ。
x→a
というもので、解説は↓
―――――――――――――――――――――――――――――
|x - a|<|a|/ 2 ならば |x|>|a|/ 2 だから、このとき (1)

|1/x - 1/a| = |x - a| / (|x|-|a|)              (2)

≦ 2|x - a| / |a|^2                (3)

2|x - a| / |a|^2 < ε とおくと |x - a|< (|a|^2)ε / 2 。   (4)

したがって δ = (|a|^2)ε / 2  ∧ |a|/ ...続きを読む

Aベストアンサー

普通…、
 「任意のε>0に対してP」は、「ε>0を仮定すると、P」を証明します。
 「次のようなδ>0が存在する:Q」は、「あるδに対して、Q」を証明します。
このことを踏まえて、証明をよく読むと、
1.ε>0を仮定する。*
  2.具体的なδを構成する。
    3.xは|x-a|<δを仮定する。
      4.|1/x-1/a|<εを証明する。
    5.「xは任意(ただし|x-a|<δ)だった」
      ことを理由に、「任意のx(ただし|x-a|<δ)に対して、
      |1/x-1/a|<ε」の証明終わり。*
  6.事実δは、あったのだから「次のようなδ>0が存在する:
    任意のx(|x-a|<δ)に対して、…」の証明終わり。*
7.「εは任意だった」と言いつつ、「任意のε>0に対して…」の
  証明終わり。
となってます(*は、行間を読んでください)。
機械的ですね。
…と私は、理解しています。

Q一様連続の証明問題です

R上で定義された連続関数fが
lim[x→+∞] f(x)=0
をみたすとする
このときfは[0,∞)上で
一様連続であることを証明せよ.
※証明にはε-δ論法を用いよ

という問題なんですが
まったく歯がたちません
どなたか教えてください
お願いします

Aベストアンサー

>という定義はわかりますが

定義ではありません。

Qε-δ論法

lim(x→a)X^3=a^3を示したいとき
ε-δ論法で、
任意のε>0に対して、0<|xーa|<δのとき
|X^3ーa^3|=|Xーa||X^2+aX+a^2|
=
ここからεよりも小さくなる式の変形がわかりません><
アドバイスお願いします><

Aベストアンサー

二番目の者です。

極限を証明するには、任意に与えられたεに対して、条件を満たすようなδが存在することを示せばよいのです。

私の証明は、εに対して、条件を満たすδの具体的な例を一つ示したものです。

具体的な例があるということは、存在することを示したことになりますね。

Q「一点aを閉集合であることを示せ」。 一点aは集合でないのでこの文章は間違ってますよね?

「ユークリッド空間Rの一点aは閉集合であることを示せ」
(昨日のテスト問題です)
これ、一点aが閉集合であることという言い方がおかしいですよね?
点aはまず集合でないのでそれを集合と言っている時点で誤りだと思うし、A={a}とするならAは点と言わない。
おそらく、一点aのみを元とした集合だと思ったのです。でもあくまで
集合の元を点と言っているだけでA自身は集合なので、問題の説明は誤っていますよね?

Aベストアンサー

1点集合のことですね。1点からなる集合{a}を意味してるはずです。
ユークリッド空間Rですから、もっと書くと[a,a]のような閉区間です。

位相空間をやっているようなので、もう既にご存じだと思いますが、数学で「点」にはいろんな意味があるので、あながちおかしいとも言い切れません。そういう使い方をしてる数学の方は大勢いらっしゃいますし。
私としては、1点でもいいと思います…。

ちゃんとした回答じゃありませんが、参考までに。。

Q陰関数の定理がわかりません

陰関数の定理について、
証明はまだ習わないで、定理だけいきなり出てきたのですが、
読んだだけではいまいち意味がつかめませんでした。
この定理が何をいおうとしているかわかり易く
説明していただけないでしょうか?
(漠然とした質問で申し訳ありません)
___________________________________
 陰関数の定理:
f(x, y) をR2 におけるC1 級関数とし,
点(a, b) において
f(a, b) = 0; fy(a, b) ≠ 0とする.
このときa を含むある小さな開区間I をとれば
I の上で定義されたC1 級関数
y = φ(x) で次の条件を満たすものがただ1つ存在する:
b = φ(a),
f(x, φ(x)) = 0 (x は 閉区間I内),
さらに
φ’(x) = -{fx(x, φ(x))}/{fy(x, φ(x)}
が成立する.
___________________________________

Aベストアンサー

とりあえず,もうちょっと偏微分や関数の勉強を
頑張ってください.
何か根本的な部分を勘違いしている可能性があります.

>f(x,y)=0はそもそもxy平面上でのことで、3次元ではないのに、
>どうやって“fy(a, b)”を考えることができるのでしょうか?
>fy(a, b)は3次元的に考えないと値を出せないと思うのですが、、、

これは次のように表現を変えてみましょう

f(x)=0はそもそも数直線上でのことで、2次元ではないのに、
どうやって“f'(a)”を考えることができるのでしょうか?
f'(a)は2次元的に考えないと値を出せないと思うのですが、、、

おっしゃってることが「おかしい」ことがお分かりになりますか?

f(x,y)というのは,R^2上の関数fの点(x,y)での値です.
したがって,z=f(x,y) と考えれば,これは
確かにR^3での「グラフ」になります.
これは y=f(x) が平面のグラフになることと同じです

翻って,f(x,y)=0 というのは,
R^2の点(x,y)でf(x,y)=0となる点(の集合)のことです.
これは f(x)=0 の場合は「解」に相当しますが,
f(x,y)=0も「解」(の集合)とみなせばいよいだけです.

また,偏微分f_y(x,y)も単に点(x,y)での値に過ぎませんので
3次元とか考えずに計算できます.

陰関数の定理というのは,
陰関数f(x,y)=0を,y=φ(x)という形で表現できる
ということを(特定の条件下で)保証する定理で
実際は,いろいろな理論の根底で使われます.

とりあえず,もうちょっと偏微分や関数の勉強を
頑張ってください.
何か根本的な部分を勘違いしている可能性があります.

>f(x,y)=0はそもそもxy平面上でのことで、3次元ではないのに、
>どうやって“fy(a, b)”を考えることができるのでしょうか?
>fy(a, b)は3次元的に考えないと値を出せないと思うのですが、、、

これは次のように表現を変えてみましょう

f(x)=0はそもそも数直線上でのことで、2次元ではないのに、
どうやって“f'(a)”を考えることができるのでしょうか?
f'(a)は2次元的に...続きを読む

Q上極限、下極限が理解できません

大学で習っているのですが、limsupやliminfなどが定義を見ても、どういう意味なのか理解できません。

上界、下界、上限、下限については例があったので、なんとか理解することができました。


X={1,2,3}⊆Zのとき、下界の1つとして0がとれる。

こんな感じで、簡単な例つきで説明して下さると、理解できると思うのですが・・・。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

上極限

sin(n)で考えましょう。nは自然数です。
sin(n)は振動しているので極限はないけど、
「nが大きい時(というか初めからだけど)1を超えることはない」
「1付近の値を何回も(無限回)とる」
から1が上極限です。
ことばでいえば、
「ずっと先のほうでは、上極限の値より大きくならない」
(極限の意味でです。∀ε>0に対し上極限+εより大きくならないってことです)



この例では下極限はー1ですね。

(sin(n)-1)*n の場合だと、
上極限は0で、下極限は「なし」(-∞)となりますね。


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