f(x)=cos2x+2√3×sinx+2について、次の問いに答えよ

(1)
0≦x≦πにおけるf(x)の最大値および最小値をもとめよ
っていう問題で増減表と書こうとおもったんですが
f´(x)の符号がわかりませんどうかご教授おねがいします

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A 回答 (4件)

 どうしても微分で解かなきゃ駄目なんですか?


 問題を見た瞬間、cos2x=1-2(sinx)^2として二次関数の問題に帰着させられそうだと思ったんですが・・・。そっちのほうが簡単そうだし。

 解〕 f(x)=-2(sinx)^2+2√3sinx+3
 ここでsinx=tと置けば、0~πにおいて0≦t≦1。
 f(x)=-2t^2+2√3t+3=-2(t^2-√3t)+3=-2(t-√3/2)^2+9/2

 よって、t=√3/2(x=π/3、2π/3)のとき最大値:9/2。
 t=0(x=0、π)のとき最小値:3。 〔答〕
 
 (計算自信ないです。)

この回答への補足

あっでもその後の問題で面積ださなくてはならないんでやっぱり微分しかなかったみたいです~!

補足日時:2001/10/16 00:29
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この回答へのお礼

ぐはっ!その手があった~!
微分しか頭になく盲点でした~!
ご回答ありがとうございました~!

お礼日時:2001/10/16 00:24

私は複雑な正負の判断には数直線のような感じで考えます。


cosxは0≦x≦π/2で正、0≦x≦πで負。
√3/2 - sin(x) は0≦x≦π/3、2π/3≦x≦πで正、π/3≦x≦2π/3で負。
これを、横棒の上に符号変化の点を書きます。そしてそのときの符号が分かるように区間を作ります。上にはcosxの正負、下には√3/2 - sin(x) の正負。
これを見て見ると、+、-、+、-の順に変化しています。
分からなくなったとき数直線を書いて正負を調べる方法は有効です。
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この回答へのお礼

あっその方法いいですね!
わかりやすいです!
ご回答ありがとうございました~!

お礼日時:2001/10/16 00:22

ではもう少し先まで解説しましょう。


たしかに(1)式のグラフを書くのはちょっと面倒ですが
この場合は増減表を書くのが目的なので(1)式が正になる区間,負になる区間
が分ればそれでよいですね。
とにかく(1)式が0になるようなxは0≦x≦πでは
x=π/3,π/2,2π/3
の3つです。
そこで
0≦x<π/3,π/3<x<π/2,π/2<x<2π/3,2π/3<x<π
の4つの各区間において(1)式を構成する2つの関数
cos(x)と √3/2 - sin(x) の符号がどうなっているか
考えてみましょう。それが分れば各区間で(1)式の符号がどうなっているか
すぐわかりますね。
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この回答へのお礼

なるほど~!ご説明ありがとございました~!
ご回答ありがとうございます!

お礼日時:2001/10/16 00:18

ryuusennsishoさんこんばんは。


与えられた式を微分して
f'(x)=-2sin(2x)+2√3 cos(x)……(1)
を求めるところまでは出来たわけですね。
このままでは確かに符号は分りにくいですね。
こういうときは式を積の形に変形します。
(1)式は倍角の公式を使えば
-4sin(x)cos(x) + 2√3cos(x)=4cos(x)(√3/2 - sin(x))
と変形できます。この式の値が0となるxはもちろん
cos(x)=0 または √3/2 - sin(x) = 0
を満たすようなものです。(0≦x≦πにおいては3個あります)
それらのxの間で(1)式の符号がどうなるかということもすぐわかりますね。

この回答への補足

実はその後がわからないんです
例えば微分した式がx^2+3xとかいうのだったらグラフかいて+か-かわかるんですけどこの場合はどうすればいいんでしょうか?

補足日時:2001/10/14 22:53
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