f(x)=cos2x+2√3×sinx+2について、次の問いに答えよ

(1)
0≦x≦πにおけるf(x)の最大値および最小値をもとめよ
っていう問題で増減表と書こうとおもったんですが
f´(x)の符号がわかりませんどうかご教授おねがいします

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A 回答 (4件)

 どうしても微分で解かなきゃ駄目なんですか?


 問題を見た瞬間、cos2x=1-2(sinx)^2として二次関数の問題に帰着させられそうだと思ったんですが・・・。そっちのほうが簡単そうだし。

 解〕 f(x)=-2(sinx)^2+2√3sinx+3
 ここでsinx=tと置けば、0~πにおいて0≦t≦1。
 f(x)=-2t^2+2√3t+3=-2(t^2-√3t)+3=-2(t-√3/2)^2+9/2

 よって、t=√3/2(x=π/3、2π/3)のとき最大値:9/2。
 t=0(x=0、π)のとき最小値:3。 〔答〕
 
 (計算自信ないです。)

この回答への補足

あっでもその後の問題で面積ださなくてはならないんでやっぱり微分しかなかったみたいです~!

補足日時:2001/10/16 00:29
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この回答へのお礼

ぐはっ!その手があった~!
微分しか頭になく盲点でした~!
ご回答ありがとうございました~!

お礼日時:2001/10/16 00:24

私は複雑な正負の判断には数直線のような感じで考えます。


cosxは0≦x≦π/2で正、0≦x≦πで負。
√3/2 - sin(x) は0≦x≦π/3、2π/3≦x≦πで正、π/3≦x≦2π/3で負。
これを、横棒の上に符号変化の点を書きます。そしてそのときの符号が分かるように区間を作ります。上にはcosxの正負、下には√3/2 - sin(x) の正負。
これを見て見ると、+、-、+、-の順に変化しています。
分からなくなったとき数直線を書いて正負を調べる方法は有効です。
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この回答へのお礼

あっその方法いいですね!
わかりやすいです!
ご回答ありがとうございました~!

お礼日時:2001/10/16 00:22

ではもう少し先まで解説しましょう。


たしかに(1)式のグラフを書くのはちょっと面倒ですが
この場合は増減表を書くのが目的なので(1)式が正になる区間,負になる区間
が分ればそれでよいですね。
とにかく(1)式が0になるようなxは0≦x≦πでは
x=π/3,π/2,2π/3
の3つです。
そこで
0≦x<π/3,π/3<x<π/2,π/2<x<2π/3,2π/3<x<π
の4つの各区間において(1)式を構成する2つの関数
cos(x)と √3/2 - sin(x) の符号がどうなっているか
考えてみましょう。それが分れば各区間で(1)式の符号がどうなっているか
すぐわかりますね。
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この回答へのお礼

なるほど~!ご説明ありがとございました~!
ご回答ありがとうございます!

お礼日時:2001/10/16 00:18

ryuusennsishoさんこんばんは。


与えられた式を微分して
f'(x)=-2sin(2x)+2√3 cos(x)……(1)
を求めるところまでは出来たわけですね。
このままでは確かに符号は分りにくいですね。
こういうときは式を積の形に変形します。
(1)式は倍角の公式を使えば
-4sin(x)cos(x) + 2√3cos(x)=4cos(x)(√3/2 - sin(x))
と変形できます。この式の値が0となるxはもちろん
cos(x)=0 または √3/2 - sin(x) = 0
を満たすようなものです。(0≦x≦πにおいては3個あります)
それらのxの間で(1)式の符号がどうなるかということもすぐわかりますね。

この回答への補足

実はその後がわからないんです
例えば微分した式がx^2+3xとかいうのだったらグラフかいて+か-かわかるんですけどこの場合はどうすればいいんでしょうか?

補足日時:2001/10/14 22:53
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f(x)=x^2 -6x +2a
=(x-3)^2 +2a -9

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Aベストアンサー

>この問題の解き方がよくわからないので

まず、f(x)のグラフを書いておきましょう。
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そして、幅が3の定規みたいなものを、x軸の負の方から
少しづつ右に移動して考えます。

定規の右端が、x=3までの範囲(定規の左端はx=0)では、
最小値は定規の右端に相当します。だから、
a≦0 のとき、最小値は、f(a+3)=a^2+2a-9

定規をさらに右に移動させていくと、定規の左端がx=3を過
ぎるまで、定規の幅の中に頂点が含まれます。ですから、
0<a≦3 のとき、最小値は、f(3)=2a-9

さらに、定規を右に移動させると、定規の幅の中で最小とな
るのは、定規の左端ですから、
3<a のとき、最小値は、f(a)=a^2-6a+2a=a^2-4a

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質問文が分かりづらいので書き直しました。

cos^2(x+(π/3))+cos^2(x+(2π/3))+cos^2(x+π)
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Aベストアンサー

(cos(a))^2=(1/2)+(1/2)cos(2a)
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=(3/2)+(1/2){cos(2x+2π/3)+cos(2x+4π/3)+cos(2x+2π)}=3/2

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すべての実数xに対し、-4≦sin2x+a(sinx+cosx)+a≦9が成り立つような定数aの値の範囲を求めよ。という問題なのですが

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t^2+at+a-1と置けますよね。ここでsinx+cosx=t=√2(sinxcosπ/4+cosxsinπ/4)=√2sinx(x+π/4)より-√2≦t≦√2
となると思うのですが、ここからが分かりません。平方完成したときにf(t)=(t+a/2)^2-(a^2/4)+a-1となりますがこのとき軸 t=-a/2の位置で場合分けするとありますが、解答を見ると軸≦-√2のときと軸>√2の場合が記載されています。軸>√2の場合は結局そのような値はないという解答になるのですがそれ以前にtのとりうる範囲は-√2≦t≦√2なのになぜ軸≦-√2のときと軸>√2の場合を調べるのはおかしくないですか?どなたか教えていただけないでしょうか?

Aベストアンサー

#1です。

>ただ一つ軸の位置が -√2≦ t≦ √2以外の位置にいることが理解できません。
言い方が少し乱暴ですが、
逆に「なぜ軸が -√2≦ t≦ √2の範囲内になければならないのですか?」
と問われたらどう答えますか?^^;

>例えば軸が-√2以下の場合だと-a/2≦-√2よりa≧2√2というように
>軸の位置がaの範囲に影響しています。
そうですね、確かに aの場合分けとなります。
しかし、2次関数の変数はあくまでも「t」ですよね。(tの 2次関数として変形してますよね。)

tは、あらゆる実数をとる変数:xを置き換えたものということができます。
そして、aは「定数」です。
変数である tと定数である aは、直接関係がありません。
(もとの式で xはあらゆる実数をとりますが、aの値に xは無関係ですよね。aの値によって最大値・最小値の値が変わるだけです)

なにが変数で、なにが定数かが混乱しているのかもしれませんね。
確かにいろいろな文字が出てくるので・・・


#1の冒頭でも書きましたが、
「tの 2次関数:f(t)= t^2+ at+ a- 1の -√2≦ t≦ √2における最大値・最小値を求めよ。」
という問題は、数Iの問題として解いたことがあると思います。
このときの解答を見直してみるのもいいかもしれません。

#1です。

>ただ一つ軸の位置が -√2≦ t≦ √2以外の位置にいることが理解できません。
言い方が少し乱暴ですが、
逆に「なぜ軸が -√2≦ t≦ √2の範囲内になければならないのですか?」
と問われたらどう答えますか?^^;

>例えば軸が-√2以下の場合だと-a/2≦-√2よりa≧2√2というように
>軸の位置がaの範囲に影響しています。
そうですね、確かに aの場合分けとなります。
しかし、2次関数の変数はあくまでも「t」ですよね。(tの 2次関数として変形してますよね。)

tは、あらゆる実数をとる変数:xを置き換えた...続きを読む

Q関数f(x)=2x^3+3px^+3px-3p^/2は、x=αで極大値f(α)を、x=βで極小値f(β)をとる。

関数f(x)=2x^3+3px^+3px-3p^/2は、x=αで極大値f(α)を、x=βで極小値f(β)をとる。ただし、pは実数とする。

という問題で、

1)pのとりうる値の範囲を求めよ。 A. p<0,2<p
2)f(α)+f(β)をpを用いて表せ。 A.f(α)+f(β)=p^3-6p^

まではできました。答えもあっているはずです。ですが、

3)2点(α,f(α)),(β,f(β))を結ぶ線分の中点の軌跡を求めよ。

という問題がどうしても解けません。
どなたかご教授下さい。お願いします。

Aベストアンサー

中点の軌跡の座標を (X , Y) とすると、
X = ( α + β ) / 2
Y = ( f(α) + f(β) ) / 2

α + β = - p
f(α) + f(β) = 問 2)より、

上 2 式から、p を消去すれば、軌跡の方程式が求まります。
また、問 1) の p の範囲から、x の範囲も考慮する必要があります。

Qexp{L[1]x+L[2]x^2/2+L[3]x^3/3+…}=F[1]+F[2]x+F[3]x^2+…

フィボナッチ数列F[n]は、
F[1]=1,F[2]=1,F[n+2]=F[n+1]+F[n]
で定義され、リュカ数列L[n]は、
L[1]=1,L[2]=3,L[n+2]=L[n+1]+L[n]
で定義されます。このとき、

exp{L[1]x+L[2]x^2/2+L[3]x^3/3+…}=F[1]+F[2]x+F[3]x^2+…

が成り立つそうなのですが、どうしてなのですか?

右辺は、フィボナッチ数列の母関数と似ていてなんとか求められるのですが、左辺をどうして求めていいかわかりません。

なお、式は
http://mathworld.wolfram.com/FibonacciNumber.html
の(68)を参照しました。

Aベストアンサー

↓ここに証明がありますね。
http://maths.dur.ac.uk/~dma0rcj/PED/fib.pdf
(2.7 A surprising sum を見てください。)

参考URL:http://maths.dur.ac.uk/~dma0rcj/PED/fib.pdf


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