平面状の分子のシュレディンガー方程式

平面状の分子がｚ軸の周りに自由に回転運動していて自由軸に関する慣性モーメントをI、回転角をｑとしたとき、シュレディンガー方程式は
-h/2I*d~2Ψ/dφ=EΨで与えられ、規格化された固有関数と固有値を求めろという問題があるのですが、どのようにとけばいいのでしょうか？シュレディンガー方程式を普通にといたらいいのでしょうか？どなたかお願いします。

No.2 ベストアンサー 回答者： KENZOU 回答日時： 2005/07/18 10:33

＞シュレディンガー方程式から、Ψの一般解をサインとコサインの関数として導いて、分子がｚ軸を一回転してきたときに元の位置に戻るという考えを用いてといてみたのですが

基本的にそれでＯＫです。だだ、量子力学のテキストには軌道角運動量の話が必ず載っていますので、そのあたりの議論をご参照されればスマートに解けると思います。

＞古典論から量子力学に焼直して考えたほうがいいのでしょうか

古典論→量子力学というやり方は常套手段と思います。いきなり量子力学で記述するというのは見たことがありません（←浅学ゆえかも知れませんが）。そして量子力学の枠組みにはめ込むように演算子の交換関係とかエルミート性という条件を付加するのですね。

以下は蛇足です。
ご質問の方程式の左辺-h/2I*d~2Ψ/dφは-h/2I*d~2Ψ/d~2φですね。古典論で議論すると、平面状分子はx-y平面上をｚ軸周りに自由回転していますからこの分子の角運動量をLzとするとLz=Iω、また運度エネルギー(回転エネルギー）はE=(1/2)Iω^2です。これに先ほどのLzを代入するとE=1/(2I)Lz^2となります。
ここから量子力学に移ります。常套手段によりLzを演算子Lz=-ihbar(∂/∂φ)に置き換えます。そうするとmoketakaさんのご質問のシュレーディンガー方程式がでてきますね。ここまで分かるとこの方程式を解くには軌道角運動量の量子力学を思い出せばよいことになります。ここで注意すべきは回転軸はｚ軸に固定されていますのでLz=Lとなることです。こうなると＃１に書きましたようにL^2の固有値（←求め方は大抵のテキストに書かれていると思います）はよく知られていますからあとは＃１の結論がでてきます。テキストを睨みながらぜひとも頑張ってください。

この回答へのお礼

院試の勉強をしているので、まだまだ勉強不足でした。丁寧なご回答ありがとうございます。

お礼日時：2005/07/18 17:04

No.1 回答者： KENZOU 回答日時： 2005/07/17 03:56

古典論では，慣性モーメントI，角速度をω，回転エネルギーをEとするとE=(1/2)Iω^2=L^2/(2I)となりますね。

これを量子力学に焼き直すと角運動量Lは演算子となります（←古典力学から量子力学へ移行する際の常套手段。具体的な形は量子力学のテキストを参照ください）。そうすると回転運動のハミルトニアンはＨ=L^2/(2I)と書けますから，シュレーディンガーの方程式はＨψ=ＥψよりL^2/(2I)ψ=Ｅψ。Ｌ^2の固有値はhbar^2J(J+1)ですから回転運動のエネルギー固有値EはE=hbar^2/(2I)J(J+1)となります。但しJは回転量子数と呼ばれるものでJ=0,1,2・・・をとります。

この回答への補足

丁寧なご回答ありがとうございます。問題文には回転角ｑとなっていましたが、φの間違いでした。すみません。
シュレディンガー方程式から、Ψの一般解をサインとコサインの関数として導いて、分子がｚ軸を一回転してきたときに元の位置に戻るという考えを用いてといてみたのですが、これは自由に回転していることから使えないのでしょうか？やはりKENZOUさんのいうように古典論から量子力学に焼直して考えたほうがいいのでしょうか？

補足日時：2005/07/17 15:46