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重心を通るある方向の軸のまわりの慣性モーメントがIg の物体があります。
この物体を回転させる軸をa だけ平行移動した時の慣性モーメントは
   I=Ig+Ma^2
となる事の証明ができません。
例えば棒、円柱の場合・・・とかを実際計算して、式を満たすなぁ、というのを確認する程度しかできません。
全ての物体に説明できるような証明、ありますか?
あれば教えていただきたいのですが。

gooドクター

A 回答 (3件)

重心を通る回転軸がz軸、物体の密度がρ、軸をx方向にaだけ平行移動したとすれば、その回転軸から点(x,y)までの距離は(x-a)^2+y^2なので


I=∫ρ[(x-a)^2+y^2]dV
=∫ρ[x^2+y^2]dV - 2∫ρxdV + a^2∫ρdV
1項目は元々の慣性モーメント
2項目は元々の回転軸が重心を通るから0
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質問の式


I=Ig+Ma^2
は、慣性モーメントをこの式で定義するという定義式です。ですから、証明というより、全ての物体について証明しなくても正しいんです。定義ですから・・・。

この定義式の概念を理解すれば、疑問は晴れると思いますが・・・。
即ち、式の第1項は、物体の重心まわりの回転運動に関する慣性モーメントで、式の第2項は物体の並進運動に関する慣性モーメントです。
慣性モーメントの説明によく用いられる例で説明すれば、野球でバットを振るときのバットの運動は、バットの重心まわりの回転運動(Ig)とバットの重心がバッターの周りを回る並進運動(Ma^2)に分解されます。これを単純に重ね合わせたものが、全体の慣性モーメントになります。

老婆心ですが、誤解されやすいので、並進運動について補足しますと、物体の並進運動は基準(例えば直線)に対し物体自体の回転なしに等距離を保ったまま移動する運動です。
この場合、基準を任意の軸(点)にすると回転運動になりそうですが、物体自体は回転しないので、実際には回転運動ではなく、円という閉軌道上の並進運動になります。
つまりバットが、軸(点)を基準に並列に方向を変えないで移動(回転)してもバット自体は同じ方向を向いたままですね。ですから、バットの重心の並進運動(Ma^2)とバットの重心を中心とした回転運動(Ig)を重ねあわせないとスウィング(I=Ig+Ma^2)という動作にならない、ということになります。

ということで、全ての物体に関する回転運動は説明できるはずです。教科書等に載っている慣性モーメントの定義式を導く過程が、この状況の数式としての説明になっているとおもいます。
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Ig……物体自身が回転する分です。


Ma^2…物体の重心が回転中心周りを回る分です。
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