Vc=E[exp(-t/RC)] って変形すると、直線の式にできます?
ちなみに、Vcは電圧で Vc=Eで、tは時間 RC=τ です
よろしくお願いします

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A 回答 (1件)

両辺の対数をとればよろしい.



自然対数をとれば
ln Vc = ln E - t/τ
ですから,横軸にt,縦軸に ln Vc でグラフを描けば直線になります.
傾きからτ,縦軸の切片から ln E がわかります.

常用対数(10 をつけると見にくいので,単に log と書くことにします)なら,
log Vc = log E - (log e) (t/τ)
です.
傾き,切片の話は自然対数の時と同じようなことです.

常用対数をとる計算をしないで済むように縦軸を常用対数で目盛ったのが
文房具屋で売っている片対数方眼紙です.
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Q常用対数の値

例えば常用対数 log2=0.3010 となりますが、なぜ0.3010という値が導きだされたのかが分かりません。高校数学の教科書の巻末には、常用対数表が掲載されていますが、それぞれの常用対数の値は、いかなるプロセスで求められるのか?そのプロセスは、高校数学の範疇を超えて、大学数学を理解していないと分からないのか?どなたかご存知の方、教えて下さい。よろしくお願い致します。 

Aベストアンサー

テーラー展開以外にも、級数展開の方法はあります。
たとえば、参考URLの「Series for calculating the natural logarithm」
の2番目にある式などが利用できます。
こういう公式を発見するのは、高等な微分積分学の範囲ですが、
式を利用することは簡単です。

たとえば、2の常用対数を求めたい場合を考えます。
まず自然対数を計算します。
先の公式で行くと、
ln 2 = 2*{(1/1)*(1/3)^1 + (1/3)*(1/3)^3 + (1/5)*(1/3)^5 + (1/7)*(1/3)^7 + ...}
のように計算できます。
正確に計算するためには、無限項を計算しなければいけないので不可能ですが、
数項も計算するとだいぶ正確な値が出てきます。
必要な精度になる項まで計算してやります。

こうすると、0.639....という値が出てきます。
しかしこれは常用対数なので、対数の底の変換の式を使って、
同様に計算した ln 10 で割ってやります。
そうするとlog2が計算できます。

参考URL:http://en.wikipedia.org/wiki/Logarithm

テーラー展開以外にも、級数展開の方法はあります。
たとえば、参考URLの「Series for calculating the natural logarithm」
の2番目にある式などが利用できます。
こういう公式を発見するのは、高等な微分積分学の範囲ですが、
式を利用することは簡単です。

たとえば、2の常用対数を求めたい場合を考えます。
まず自然対数を計算します。
先の公式で行くと、
ln 2 = 2*{(1/1)*(1/3)^1 + (1/3)*(1/3)^3 + (1/5)*(1/3)^5 + (1/7)*(1/3)^7 + ...}
のように計算できます。
正確に計算するためには、無限...続きを読む

Q物理の問題です。 座標がx(t)=4t^3-6t^2で与えられる直線運動の時刻tにおける物体の瞬間的

物理の問題です。
座標がx(t)=4t^3-6t^2で与えられる直線運動の時刻tにおける物体の瞬間的な速度v(t)の求め方がわかりません。
よろしくお願いいたしますm(._.)m

Aベストアンサー

速度=移動量/時間ですよね

時刻tから時刻t+Δtにおける座標の差分をΔtで割ります。Δtをゼロに近づけていくと時刻tにおける瞬間速度が出ます。
さて、上の計算って微分の定義その物ですよね。
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逆に、
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物理量って大概割ったり掛けたりして出すので、複雑な式で定義された場合でも微分積分使うととても楽に解けます。

Q常用対数と自然対数の違い

R-C回路があります。抵抗Rにかかる電圧をVr、コンデンサにかかる電圧をVcとする。

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Vc=20e^(-500t)

となりました。Vr=Vcとなる時間を求めよ、という問題があり、計算途中で両辺に底を自然対数としてlogをとりました。

その結果答えが合いませんでした。次に底を常用対数 10 で計算すると合いました。

どうやって常用対数と自然対数の使うときを見極めればよいですか?

Aベストアンサー

計算方法の違いですから、次のように、どちらで計算しても同じ結果になります。

・常用対数の場合

20(1-e^(-500t))=20e^(-500t))    1=2e^(-500t) e^(-500t)=1/2

log e^(-500t)=log(1/2)   500t×loge=0.3   t=0.3/(500loge)=0.3/(500×0.434)≒0.00138

・自然対数の場合

ln e^(-500t)=ln(1/2)   500t=0.693   t=0.693/500≒0.00138
 
  e≒2.718 です。

通常は常用対数を使います。

Qi(t)=I・sin(ωt+θ)を複素数表示したら、i=I・e^jθ

i(t)=I・sin(ωt+θ)を複素数表示したら、i=I・e^jθ
になると書いてあったのですが、どうしたらこうなるのかが分かりません。
分かりやすく教えて下さい。

Aベストアンサー

i(t)=I・sin(ωt+θ)が与えられた時
I・cos(ωt+θ)も同時に取り上げ
i=I・cos(ωt+θ)+j・I・sin(ωt+θ)
について考えます。
オイラーの公式により
i=I・e^j・(ωt+θ)
ωtの部分は周期ωの周期関数(正弦波)であることを示しているだけで、
交流理論においてはθの部分が大事であって、この部分だけで必要な議論ができることから
ωtの部分を省略して記述します。よって
i=I・e^j・θ

オイラーの式により
i=I・e^jθ=I(cosθ+jsinθ)=Icosθ+jIsinθ

Q常用対数

こちらの計算の答えを教えてください、途中の対数変換までしかわかんないです。

問題、
7.5^10/0.06^8
これを常用対数で表す。

Aベストアンサー

****■[問題]■***************************************、
   7.5^10/0.06^8
 を常用対数で表せ。
******************************************************

☆解☆
   7.5=3×5÷2=10×3÷4
   0.06=2×3÷100

  Log(7.5^10/0.06^8)
 =10(Log10+Log3-Log4)-8(Log2+Log3-Log100)
 =10(1+Log3-2Log2)-8(Log2+Log3-2)
 =26-28Log2+2Log3

              ■答え■ 26-28Log2+2Log3


------------------------------------------------------

□付記□
 うん、No.1のoshiete_gooさんと同じになった。

・Logの中は素数がいいだろうから、No.2は途中式だね。

・No.3さんは Log2とLog5を共存させているが
 Log5=Log10-Log2=1-Log2
 というように一方で表せる。よってイマイチ解といえる。

 と思う。ところで、最近、Gooがとても重い。


------------------------------------------------------ 

****■[問題]■***************************************、
   7.5^10/0.06^8
 を常用対数で表せ。
******************************************************

☆解☆
   7.5=3×5÷2=10×3÷4
   0.06=2×3÷100

  Log(7.5^10/0.06^8)
 =10(Log10+Log3-Log4)-8(Log2+Log3-Log100)
 =10(1+Log3-2Log2)-8(Log2+Log3-2)
 =26-28Log2+2Log3

              ■答え■ 26-28Log2+2Log3


------------------------------------------------------

□...続きを読む

Q電界の強さE=D/εとE=V/dの使い分け

電界の強さはE=D/ε(D:電束密度、ε:誘電率)とE=V/d(V:電圧、d:極板間隔)の2通りがありますが、以下の問題(電験3種過去問題)を解いていて意味が解らなくなりました。

問題(1):http://www.jikkyo.co.jp/kakomon/denken3_kakomon/h22/riron/h22r_no02.html
解答(1):http://www.jikkyo.co.jp/kakomon/denken3_kakomon/h22/riron/h22r_no02_kaisetsu.pdf
問題(2):http://www.jikkyo.co.jp/kakomon/denken3_kakomon/h21/riron/h21r_no02.html
解答(2):http://www.jikkyo.co.jp/kakomon/denken3_kakomon/h22/riron/h22r_no02_kaisetsu.pdf
問題(3):http://www.jikkyo.co.jp/kakomon/denken3_kakomon/h21/riron/h21r_no17.html
解答(3):http://www.jikkyo.co.jp/kakomon/denken3_kakomon/h21/riron/h21r_no17_kaisetsu.pdf

問題(1)では電界Eは誘電率と無関係に電極の形状と位置関係で決まっているのに
問題(2)、(3)では誘電率が影響していると解答にあります。
考えれば考えるほど混乱します。果たしてどちらなんでしょうか?

電界の強さはE=D/ε(D:電束密度、ε:誘電率)とE=V/d(V:電圧、d:極板間隔)の2通りがありますが、以下の問題(電験3種過去問題)を解いていて意味が解らなくなりました。

問題(1):http://www.jikkyo.co.jp/kakomon/denken3_kakomon/h22/riron/h22r_no02.html
解答(1):http://www.jikkyo.co.jp/kakomon/denken3_kakomon/h22/riron/h22r_no02_kaisetsu.pdf
問題(2):http://www.jikkyo.co.jp/kakomon/denken3_kakomon/h21/riron/h21r_no02.html
解答(2):http://www.jikkyo.co.jp/kakomon/denken3_kakomon/...続きを読む

Aベストアンサー

均一な電界なら、どちらも同じです。
計算に使う場合、どういう条件があるか(電束密度Dが一定、あるいは電位差が等しい、など、どのパラメータが先に決まるか)で、どの関係を使って計算するのが楽か、が決まる程度かと思います。

1.は平等電界で、電位差が決まっているのでVを使って計算するのが楽です。
3. は電極間を貫く電束(密度)が一定なので、Dを先に決めて計算するのが楽になります。

Q常用対数の応用?(数学II)

常用対数の応用での基本問題からです。

問 「不等式(1/2)^n<0.001を満たす整数nの最小値を求めろ。但しlog[10]2=0.3010とする。」
さっぱり分らないので、常用対数の応用というのを足掛りに適当にアプローチしてみました。突っ込み願います。

与式は、2^-n<10^-3と変形出来る。
両辺の常用対数をとると、
log[10]2^-n<log[10]10^-3 より、-n・log[10]2<log[10]10^-3 だから、
-n・0.3010<-3より、n・0.3010>3。
ここで、不等式を満たす整数は1、2、3、4……と無数にあるが、求めるのは最小値であるから、n=1

投げやりでお恥ずかしい限りではありますが、何卒ご協力お願いします。

Aベストアンサー

つっこませていただきます。

(1/2)^nで,
n=1のとき,(1/2)^1=0.5 不等式を満たしません。
n=2のとき,(1/2)^2=0.25 不等式を満たしません。
n=3のとき,(1/2)^3=0.125 不等式を満たしません。
n=4のとき,(1/2)^4=0.0625 不等式を満たしません。

nが増加すれば,(1/2)^nは減少していきますが,はじめて0.001より小さくなるnは何だろうかという問題です。

いくら投げやりでも n=1 はなかろうと思います。

n=5のとき,(1/2)^5=0.03125 不等式を満たしません。
n=6のとき,(1/2)^6=0.015625 不等式を満たしません。
n=7のとき,(1/2)^7=0.0078125 不等式を満たしません。

もう少しかな。

n=8のとき,(1/2)^8=0.00390625 不等式を満たしません。
n=9のとき,(1/2)^9=0.001953125 不等式を満たしません。
n=10のとき,(1/2)^10=0.0009765625 これですね。


つまり,最期の詰めが甘かったのです。

n・0.3010>3
n>3/0.3010
n>(3.010-0.010)/0.3010
n>10-0.010/0.3010

10より少し小さい数より,大きい整数がこの不等式を満たし,その最小値は10ですね。

つっこませていただきます。

(1/2)^nで,
n=1のとき,(1/2)^1=0.5 不等式を満たしません。
n=2のとき,(1/2)^2=0.25 不等式を満たしません。
n=3のとき,(1/2)^3=0.125 不等式を満たしません。
n=4のとき,(1/2)^4=0.0625 不等式を満たしません。

nが増加すれば,(1/2)^nは減少していきますが,はじめて0.001より小さくなるnは何だろうかという問題です。

いくら投げやりでも n=1 はなかろうと思います。

n=5のとき,(1/2)^5=0.03125 不等式を満たしません。
n=6のとき,(1/2)^6=0.015625 不等式を満...続きを読む

Q仕事関数E[J]=hν/e=hc/λe

仕事関数E[J]=hν/e=hc/λeが成り立つらしいのですがこれはなぜですか?

Aベストアンサー

光電効果を
「振動数 ν の光はエネルギーが E=hν の光子からなる」
で説明したのがアインシュタインじゃなかったっけ?

Q常用対数を使うと何が便利なんですか?

常用対数の実用性についてわかりやすく教えてください。
特にデシベルとの関連について・・・掛け算が足し算になるとか本には書いてあるんですが具体的な例を示していただければありがたいです。

Aベストアンサー

もちろん計算が楽になるという利点がありますが、そもそも対数は比較するためのものです。

 たとえば、私たちがある二つの学校の人数が、ともに10人増えたと言った場合、この二つが同じ意味かというと、そうとは言い切れませんね。
 A校は、昨年10人しかいませんでしたが、B校は1000人の生徒がいました。
 A校は、2倍に増えたのですが、B校は0.1%しか増えていません。

 今年は、お小遣いが10000円増えたといっても、大して喜ばないA君と、逆立ちして喜ぶB君がいる。なぜならA君は先月まで10000円だった、B君は100万円貰っていた。

 では、それぞれの生徒数やお小遣いを対数で表してみると
A校は、1→1.3010  差は0.3010
B校は、3→3.004  差は0.004
A君は、4→4.3010  差は0.3010
B君は、6→6.004  差は0.004
 差を比較するより、何倍になったかを比較するほうが適切なことが分かると思います。A校の思いと、A君の思いは同じことがこれで分かるね

>掛け算が足し算になるとか本には書いてあるんですが
 は数学的な意味ですね。
 たとえば10倍したものを1000倍すると、10000倍ですが、対数で考えると1+3=4ですから、10^{4}で10000
 10^{1} * 10^{3} = 10^{1+3} = 10^{4}
 10の倍数だけでなく、すべての数が10^{x}という形で表せる。このあたりは
冪乗 - Wikipedia ( http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%86%AA%E4%B9%97 )
対数 - Wikipedia ( http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AF%BE%E6%95%B0 )
などで勉強してね。

>特にデシベルとの関連について
 実は、人間の感覚も対数なのです。
 人は、音の大きさは、エネルギーの大きさが10倍になっても2倍になった要に感じる。でないと、1万倍の音を聞いたら頭が壊れてしまう。一万倍になっても4倍の大きさにしか感じない。
 明るさだって、光子一個でも感じることができるのに、それが数億個になっても、目が焼ききれない。


 

もちろん計算が楽になるという利点がありますが、そもそも対数は比較するためのものです。

 たとえば、私たちがある二つの学校の人数が、ともに10人増えたと言った場合、この二つが同じ意味かというと、そうとは言い切れませんね。
 A校は、昨年10人しかいませんでしたが、B校は1000人の生徒がいました。
 A校は、2倍に増えたのですが、B校は0.1%しか増えていません。

 今年は、お小遣いが10000円増えたといっても、大して喜ばないA君と、逆立ちして喜ぶB君がいる。なぜならA君...続きを読む

Q粒子のエネルギー E=(1/2)mv^2とE=hν

一般的に量子力学などでエネルギーを求める場合、波長λ=h/pよりp=h’k、(h’=h/2π)をE=p^2/(2m)に代入すると、≪E=(h’k)^2/(2m)≫となりますよね。
一方、粒子のエネルギーは【E=hν】とも表されます。速度v、振動数ν、としてv=νλ、λ=(2π)/kより『ν=(kv)/(2π)』となり、またλ=h/pよりmv=h/λとなる。これよりv=(h’k)/mを『』に代入し、さらに【】に代入するとE=(h’k)^2/mとなって、≪≫の式と違います。教科書では≪≫の式ですが、どのような条件で違いが生まれてくるのですか?

Aベストアンサー

> v=νλ
この表式での v は「位相速度」と呼ばれるものです。
量子力学において、波動関数の位相速度は粒子の速度とは一致しないことが知られています。

一方で、「群速度」と呼ばれるものが存在します。
これは、 v_g = ∂ω/∂k (ただしω=2πν)で定義される量です。
いまは ω=E/h'=h'k^2/2m ですから、v_g=h'k/m=p/mとなります。
(一方で位相速度は v=h'k/2mです)

位相速度は、いわば「平面波が移動する速度」です。
群速度は、「波束(空間的に局在した波)が移動する速度」です。
真空中の光などのように位相速度が波長に依らず一定になる場合は位相速度と群速度は一致しますが、
それ以外の場合には位相速度と群速度は異なります。
現実の粒子は波束で表現されると考えられるので、粒子の「速度」に対応するのは群速度の方です。

詳しくは「群速度」で検索してみてください。


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