こんにちは、数学カテゴリーからやって来ました。
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=150715

直方体のサイコロを転がしたときの各面がでる確率は?と言う問題です。

で、サイコロを転がしたときの力学的な解析が必要になりそうだと言うことになったんですが、
何を考えれば良いのでしょうか。
力学というと初期条件と方程式があって、それを解くと運動が予想できるってことだと思うんですけど,
どんな初期条件を与えてやれば運動が定まるのか、方程式はどうなるのか、
それ以前にどんな物理量を考える必要があるのかさえ分かりません。
モーメント?床の摩擦?サイコロの密度は考える必要があるか?とか。

簡単のために直方体の1辺は十分長いとして2次元的に考えてもらっても構いませ
ん。鉛筆のサイコロを弾ませずに静かに転がすようなイメージです。

その他の簡単化も自由にやって下さい。
例えばサイコロは床を滑べらないものとする、とか
サイコロは弾まないものとするとか。

宜しくお願いします。

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A 回答 (3件)

# ところで、元の質問者のsaikoro さんって・・・?


こんばんは、saikoroです。これでイカサマやろうと考えている訳ではありませんが、材質で確率を操れるのならその気も湧いてきたりして:-)

0→1において1状態での運動量は次の支点(図が書けないのがつらい)に対して更に回そうとするベクトル成分が発生します。
0→3において3状態では次の回転は抑えようとする方向に働きます。

またykkw_2001さん指摘の反発係数が1に近い場合は、0→1の場合はエネルギー保存則からほとんど1→0→3と進むでしょう。

やっぱり1にとどまる確率は極めて小さくなりそう?

あっ、回転エネルギーはどう考えたらいいんでしょう。でもこんな複雑な問題なの?
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最初の質問に、いいかげんな回答をした者です。


こんなところで発展していたのですね。
やっぱり、最後のひと転がりで「頂点」を越えられるかどうか、になるのでしょうね。

できれば「数学」のほうでなんとかして欲しいですね。(自分でなんとかする根性はない)
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(このカテゴリは怖そうなんで、恐る恐る・・)


こんにちは

http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=150715
拝見しまして、おもしろそうなので・・・(ド素人ですが)
「とりあえず、2次元でいこう」という流れみたいですね。

>何を考えれば良いのでしょうか。
>モーメント?床の摩擦?サイコロの密度は考える必要があるか?
それと、床とサイコロの反発係数だと思います。
http://www.edu-c.pref.osaka.jp/~f10474m/physics_ …

>どんな初期条件を与えてやれば運動が定まるのか
初期の位置・姿勢、放出方向・速度、回転方向・速度。

>方程式はどうなるのか
これは、わかりません。

>その他の簡単化も自由にやって下さい。
でしたら、少しずつ・・・
エネルギ保存と反発係数(エネルギの放散)で考えることにします。

これです。
mgh=1/2 * mv^2
→ v=√(2gh)
http://www.casio.co.jp/edu/classroom/j_high/pdf_ …

上記saikoroさんの質問の回答No.6に対するお礼を元に、対角線を鉛直にしてそっと置いて(状態0)、1の辺が下になる方にほんの少し傾けたとします。

各方向の速度は、0
位置エネルギ+運動エネルギ=√10/2+0

(だって、サイコロを投げる瞬間から考えるのは大変そうだから、最後のひと山のほうが簡単そうなんだもん)

その後、1の辺が下になる(状態1)ときと
3の辺が下になる(状態3)ときの運動エネルギ(位置エネルギから変換(?)された)は、saikoroさんが示された Ea,Eb に等しいです。(当たりまえか)

速度のベクトルは、水平成分と鉛直成分があり、(1)では、水平が多く、(3)では鉛直が多い。鉛直成分は、床との衝突で反発係数にしたがって、熱になり放散されるので、運動エネルギとして再び(1)から(0)、あるいは(3)から(0)になるためのエネルギに利用されるのは、一部分です。(だんだん雑になってきましたが・・)

で(3)から(0)になるためには、より多くの運動エネルギが必要でそのまま落ち着いてしまうのではないでしょうか?(式を書くのって大変ですね)

ちょうどよく眠くなりました。(逃げモード)
おやすみなさい

# ところで、元の質問者のsaikoro さんって・・・?
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maのaは加速度のことです
つまりa=0ですよね

ということは強いて書くのであれば
m*0=ΣF
となります (右辺はすべての力の総和)
ということでどのようなFが存在しているかは右辺に書く必要があると思います


例:質量mの箱を+x方向からFで引っ張り、-x方向からFで引っ張る

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よろしくお願いします。

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ではでは、、

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Aベストアンサー

まず座標系についてのお話をします。下の図をご覧下さい。

  y
  ↑
  ・→x
   \
   →\
   θ \
      ●

振子の支点を・、先端に吊るされたおもりを●で表しています。支点の位置をxy座標の原点に取るならば、鉛直からの振れ角をθとして
x= l sinθ  (1)
y= -l cosθ  (2)
であることは既にご承知かと思います。
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極座標系に移行したことで問題の本質はx(t), y(t)の代わりにl(t), θ(t)を求めることに帰着します。大抵の場合はひもは伸び縮みしないと仮定しますのでlについて解く必要はなく、θについてのみ解くことになります。その方程式が
ml(d^2θ/dt^2)= -mg sinθ  (3)
なわけです。

しかしこの方程式は初等関数の範囲では解くことが出来ません。そこで初等物理の範囲ではθが小さい場合に限って問題を考えることにし、
sinθ≒θ  (4)
の近似を行って解きます。このとき(3)は
ml(d^2θ/dt^2) = -mg θ  (5)
となります。これの解き方はいろいろあります。線形微分方程式の理論を知っていれば解は直ちに
θ= C sin{√(g/l) t+α} ←Cは定数  (6)
だと分かります。αはC sinα=φを満たす定数です。
2階の微分方程式ですが初期条件が「t=0でθ=φ」の一つしか与えられていないので、定数が一つ未定のまま残ります(*1)。

愚直に微分方程式を解くのであれば下のようにやります。
l(d^2θ/dt^2)(dθ/dt) = -g θ(dθ/dt)
d/dt {(dθ/dt)^2} = -(g/l) d/dt (θ^2) ←両辺に(dθ/dt)をかけた上で、積の導関数の公式((y^2)'=2y y')を逆に使った
(dθ/dt)^2 = -(g/l) θ^2 +C1 ←C1は積分定数
dθ/dt = √{-(g/l) θ^2 +C1}  (7)
ここでθ=√(l/g)√C1 sinψと変数を変換すると
dθ/dt = √C1√(1-sin^2 ψ)  (8)
を経て
√(l/g)√C1 cosψ dψ = √C1 cosψ dt  (9)
と変形でき、両辺を積分することで
√(l/g) ψ= t+C2 ←C2は積分定数  (10)
を得ます。θの表式に戻すと
θ=√(l/g)√C1 sin{√(l/g) (t+C2)}  (11)
となります。これは本質的に(6)と同じ式です。初期条件「t=0でθ=φ」を代入することで
φ=√(l/g)√C1 sin{√(l/g)C2}  (12)
を得ます。これを使うと(11)からC1, C2のいずれかを消去できます。初期条件がもう一つあれば運動は一意に定まります(脚注参照)。

もちろん、「軌道に沿ってx軸を定める」でも解けます。この場合の運動方程式は
m(d^2 x/dt^2)= -mg sin(x/l)  (13)
となります。本質的に(3)と同じであることは申し上げるまでもなく、同様に解くことができます。

考え方は上記でよいはずですが中間で計算ミスがあるかも知れませんので、ONEONEさんご自身でも確認しながら読んで頂けると幸いです。

*1 もし初期条件が「t=0でθ=φまでおもりを持ち上げて手を放す」という意味であれば、「θの最大値はφ(厳密には|φ|)」という条件が新たに加わるので運動は一意に定まります。この場合はφsinα=φからα=π/2、よってθ=φsin{√(g/l) t+(π/2)}=φcos{√(g/l) t}と求めることができます。

まず座標系についてのお話をします。下の図をご覧下さい。

  y
  ↑
  ・→x
   \
   →\
   θ \
      ●

振子の支点を・、先端に吊るされたおもりを●で表しています。支点の位置をxy座標の原点に取るならば、鉛直からの振れ角をθとして
x= l sinθ  (1)
y= -l cosθ  (2)
であることは既にご承知かと思います。
このように置くこと自体が、(x, y)の直交座標系から(l, θ)の極座標系に移行していることに相当します。ただほとんど自明なことなので「極座標に置き換えて」...続きを読む

Q運動方程式の考え方

質量mの金属球に長さLの糸の先端を接着剤でつける。糸の他端を点Oに固定して鉛直に垂らす。球に水平な初速度v(0)を与える。ここで直交座標を点Oを原点とし水平方向(右向き正)をx軸、y軸(上向きを正)のように取るとき、運動方程式は、(Sは糸の張力)
  mdv/dt=-mgsinψ(接線方向)…(1)
  mv^2=S-mgcosψ(向心成分)…(2)
 (1)(2)に速度を内積して,辺辺加え
 初期条件ψ=0,v=v(0)を考慮して
  S=mg(v(0)^2/gL-2+3cosψ)…(3)
が導けるが、 v(0)^2/gL=5(ψ=π)のとき、S=0,この時刻をt(0)とする。t(0)<tの時、(3)を利用して
S>0を示し円軌道を続ける。ここがすっきりしません。t(0)<tの時、円軌道上にある保障はないのに、どんな本も(3)(「つまり(1)(2)の運動方程式が成り立つことを前提として」)より説明されています。つまり、t(0)まで円軌道しているのでΔt(極めて短い時間)後も円軌道上にあるはずであるから(つまり、運動方程式瞬間では変われないから)(1)(2)が成り立つとしてよいから(3)が成り立つのでS>0と考えてよいのでしょうか。ご指導を宜しくお願いします。

質量mの金属球に長さLの糸の先端を接着剤でつける。糸の他端を点Oに固定して鉛直に垂らす。球に水平な初速度v(0)を与える。ここで直交座標を点Oを原点とし水平方向(右向き正)をx軸、y軸(上向きを正)のように取るとき、運動方程式は、(Sは糸の張力)
  mdv/dt=-mgsinψ(接線方向)…(1)
  mv^2=S-mgcosψ(向心成分)…(2)
 (1)(2)に速度を内積して,辺辺加え
 初期条件ψ=0,v=v(0)を考慮して
  S=mg(v(0)^2/gL-2+3cosψ)…(3)
が導けるが、 v(0)^2/gL=5(ψ=π)のとき、S=0,この時...続きを読む

Aベストアンサー

古い本のようですが
基礎物理学選書22、力学演習、野上茂吉郎著、裳華房、1982年
のP93の問い4.11、解答P99-102に詳しいです。

それによると初速が中間の速度のときにひもがゆるみ、S>0とならない領域が示されています。
参照できれば良いのですが。

Q一般的な剛体の運動方程式

1)一般に剛体とは「各質点の距離が不変」な物体で定義されると思うのですが、
運動方程式は、距離の定義にどのように依存するのでしょうか?
慣性モーメントの部分が変わるだけなのか、外積部分も変わるのか?
2)4次元Minkowski空間での上の意味での「剛体」は、
何かの物理的なモデルになっているのでしょうか?
3)N次元Riemann空間上での上の意味での「剛体」の運動方程式は、
d/ds(x_μ p_ν-x_ν p_μ)=x_μ F_ν-x_ν F_μ
になるかと思いますが、
相対論では、普通の意味の剛体は存在しないということで、
この式は何を意味するのでしょう?

ここまで問題を一般化したのはいいですが、ここでつまりました。
どなたか知恵をお貸しください。

Aベストアンサー

#1mmkyです。#1で具体例をと思って考えて、はまってしまって纏まりがありませんでした。ごめん。
まず、(1)から(3)までの全体について。
かっての時代、ガウス先生が学長で、若き研究者のリーマンさんは、
一般化された計測の概念を発表しました。ガウス先生は感激のあまり声もなかったという話を読んだことがあります。リーマンさんの概念は一般化された計測の概念ですから、この概念を利用して一般化された運動方程式を考えるということは正しいことだと思います。それから、4次元目に時間の概念
を導入したのをミンコフスキー時空間といいますが、この時空間が
アルバートさんの世界になりました。リーマンさんの概念からいえば、
一般解の中の特殊解ですから、一般化された運動方程式と特殊な
運動方程式の関係をしっかり知るためにもibm_111さんの研究は大切ですね。

(1)剛体の考えかた。
剛体は密度ρnの性質で決まる。 
n=1~3 で線密度、面密度、体積密度が定義される領域では、剛体といえるものがある。
n=4 (エネルギー密度・s:プランク定数も入る)以上では剛体は存在しない。
(2)一般相対論の世界(ミンコフスキー時空間)が現実の存在時空をあらわすものであれば、3次元以下の運動方程式はその影響下にある。剛体もしかり。但し、四次元目の虚の時間軸上では剛体では存在しえない。エネルギー密度分布になる。(4次元限界は概念的限界(特殊解)であるが故の問題。)
それから、
(3)全体概念に同じ
一般的には四次元密度ρ4はエネルギー密度をあらわします。
体積密度ρ3(剛体の概念)はその中で許される特殊解という概念かな。

ということでかなり私見(豊富)が入っていますが
参考になれば。
ibm_111さんがんばってくださいね。
それから蛇足ですが、#1で軸比なるものを勝手に使いましたが、
mmkyさんはこの概念が空間インピーダンス(√μ/ε)に関係あるの
でないか?と疑っていた時期があります。
楽しみました。 ありがとう。
以上

#1mmkyです。#1で具体例をと思って考えて、はまってしまって纏まりがありませんでした。ごめん。
まず、(1)から(3)までの全体について。
かっての時代、ガウス先生が学長で、若き研究者のリーマンさんは、
一般化された計測の概念を発表しました。ガウス先生は感激のあまり声もなかったという話を読んだことがあります。リーマンさんの概念は一般化された計測の概念ですから、この概念を利用して一般化された運動方程式を考えるということは正しいことだと思います。それから、4次元目に時間の概念
を導入した...続きを読む

Q運動方程式についてです。41についてですが、考え方がまったくわからないのでだれか教えてください!

運動方程式についてです。41についてですが、考え方がまったくわからないのでだれか教えてください!

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もう一つの質問も含め、問題文が読みにくい。他人にお願いするのだから、相手に苦労させないように質問すべきでしょう。きちんと問題文をテキストで書いて、どこが分からないのか、途中のどこまで解けたのか、できれば自分の解答例を付けて質問すべきです。

 おそらく高校生ですね?

 雨滴に働く力は、下向きを正とすると
  F = mg - kv    (1)
となるのは分かりますか? 「重力」と、それとは逆向きの「空気の抵抗力」です。

 働く力が分かれば、運動方程式( F=ma )
  ma = -mg + kv   (2)
を立てます。

 a=dv/dt なので、雨滴の運動のしかたを調べるには速度 v に関する微分方程式を解くのですが(これは大学レベル)、この問題では「十分に時間が経って、終端速度に達した後は、一定速度なので加速度 a=0 になる」ということを使って
  -mg + ku = 0
より
  u = mg/k
ということで解けます。

 働く力(1)を割り出して、運動方程式(2)を立てる、というのが「物体の運動」の基本です。

Qハイゼンベルグの運動方程式について

量子力学の授業でハイゼンベルグの運動方程式を習ったのですが(授業は、シュレディンガーの立場で進めています)、ハイゼンベルグの運動方程式は、定常状態の時は使えないのでしょうか?回答よろしくお願いします。

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質問の意味が分かりかねますが、ハイゼンベルグの運動方程式は物理量に対する方程式なので、状態に関わらず使えます。

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大学生の者ですが、力学の教科書の章末問題で分からない部分があり、気持ちが悪いのでどなたか分かる方よろしくお願いしますm(_ _)m
 以下、長くなりますが問題をコピペ。

『ホッパー(貯炭槽)の底から、地面に平行に定速度vで動いているコンベヤ・ベルトの上に、物質が定速度(dm/dt=σ)で落ちている。コンベヤー・ベルトを動かすのに必要なモーターの電力はどれだけか。
この必要電力が力学的エネルギーの時間変化率の2倍になるのはなぜか。(W=∫F・dr として電力は dW/dt と書くことができる)』

という問題なのですが、前半は
F = d(mv)/dt = v*dm/dt = vσ
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一方、力学的エネルギーの時間変化率は
d(mv^2/2)/dt = v^2/2*(dm/dt) = (σv^2)/2
であるので、確かに必要電力が力学的エネルギーの時間変化率
の2倍になることが確かめられた。

…のですが、その何故かが分かりません(>_<)
感覚的には電力を通じて与えた仕事がそのまま力学的エネルギー
に変換されそうな気がするのですが…。
おそらく問題は定性的な答えを期待していると思うのですが、
どなたか答えられる方いらっしゃいましたらよろしくお願いします。

大学生の者ですが、力学の教科書の章末問題で分からない部分があり、気持ちが悪いのでどなたか分かる方よろしくお願いしますm(_ _)m
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Aベストアンサー

愚直にベルト上に落ちた物体の運動を計算すると何が起こっているのかがよく分かります。
ベルト上に落ちた物体は直ちに水平方向にベルトの速度vで動き始めることは出来ません。加速度が無限大=ベルトから受ける力が無限大になるからです。実際にはベルトとの摩擦により一定の加速度aで運動を始めます。ベルトの速度に追いつくと以降はベルトの速度vで移動します。
この間に落ちた物体の移動量とベルトの移動量を計算してみると、物体の移動量はベルトの移動量の半分になっていることが解ります。計算は非常に簡単ですから、ご自分でもやってみて下さい。

結論は、実は物体がベルトの上に落ちた直後から速度がベルトと一致するまではベルト上で滑っているということです。この結果、滑っている分のエネルギーは摩擦エネルギーとして散逸し、通常は熱エネルギーになります。


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