ヒルベルトの弟子であるゲンツェンの生涯について教えてください。

A 回答 (1件)

kojimax00さんこんにちは。

私も知らないのですが回答がつかないようなので
参考になりそうな資料を2つほど御紹介します。

下のサイトは英語ですが、手短に良くまとまっているので読むのにそれほど
苦労しないと思います。
このサイトには他にも古今東西の数学者の生涯がたくさん書かれており、それも短い
わりには必要十分な内容が書かれているので、数学史に興味のある方にはお勧めです。

もう一つは日本語の本です。
竹内外史:ゲーデル(新版)、日本評論社、1998
私も読んだことはないのですが、この本の中にゲンツェンのことについても
書かれているそうです。

参考URL:http://www-groups.dcs.st-andrews.ac.uk/~history/ …
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この回答へのお礼

ありがとうございます。英語の文献のほうはがんばって訳しております。
ゲーデルは明日大学の図書館に借りに行きます。

お礼日時:2001/10/22 22:55

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問題「g(x)を、次のA~Dの条件を満たす、実数全体で定義された関数とする。

A:g(0)=0,B:x>0となるxに関してはg(x)>0,任意の実数値において、C:g(x)は微分可能、D:導関数g'(x)は連続

このときx→0のときg(x+g(x))/g(x)→g'(0)+1が成り立つことを示せ」

自分の答案「任意の実数値において、g(x)は微分可能であり、g'(x)は連続であることから、x→+0のとき、g(x)→0(g(0)=0より)よって、x→+0のとき{g(x+g(x))-g(x)}/g(x)→g'(g(0))=g'(0)
よって、{g(x+g(x))-g(x)}/g(x)={g(x+g(x))/g(x)}-1なので、x→+0のときg(x+g(x))/g(x)→g'(0)+1
よって題意は示された」

Aベストアンサー

微分の定義は

g'(x)=lim[h→0]{g(x+h)-g(x)}/h

です。hを0に近づける過程でxは変化しません。

しかし、このhに形式的にg(x)を入れた
(g(x+g(x))-g(x))/g(x)
でg(x)を0に近づける(xを0に近づける)と、上の定義では変化しなかったはずのxの部分まで変化してしまいます。

結果的には、正しい主張なのかもしれませんが、もっと詳しく説明する必要があるのではないでしょうか?

Qヒルベルト空間について

∀x∈H:ヒルベルト空間について

 sup{<x,y>| ∥y∥≦1 y∈H}=∥x∥

を示したいのですが。

(但し、<、> はHでの内積、∥・∥は内積から入るノルムとします。)

ユークリッド空間ならば、yはxと方向が同じで長さが1のベクトルだということはイメージできるのですが。ヒルベルト空間だとうまく証明できません。よろしくお願いします。

Aベストアンサー

αが複素数でx,y,z∈Hについて複素数<x,y>が次の条件を満たすこと。
(1)<y,x>=/(<x,y>)
(2)<α・x,y>=α・<x,y>
(3)<x+y,z>=<x,z>+<y,z>
(4)x≠0⇒0< <x,x>
(5)<0,0>=0

そして∥x∥≡√(<x,x>)と定義。

∥・∥はノルムの次の要件を満たす。
αが複素数でx,y∈Hについて
(1)x≠0⇒0<∥x∥
(2)∥0∥=0
(3)∥α・x∥=|α|・∥x∥
(4)∥x+y∥≦∥x∥+∥y∥

0≦∥∥y∥^2・x-<x,y>・y∥^2・・・(*)
すなわち
0≦∥y∥^2・(∥x∥^2・∥y∥^2-|<x,y>|^2)
より|<x,y>|≦∥x∥・∥y∥
等号は(*)式の右辺が0すなわち
αを複素数としてy=0またはx=α・yのとき

従って
sup{|<x,y>| |0≦∥y∥≦1,x,y∈H}
=∥x∥・∥1∥=∥x∥

なおこの式はHがヒルベルト空間でなくても成立する。
内積の性質だけを使って導いたから当然でしょう。
内積が定義された集合であれば何でも良い。

αが複素数でx,y,z∈Hについて複素数<x,y>が次の条件を満たすこと。
(1)<y,x>=/(<x,y>)
(2)<α・x,y>=α・<x,y>
(3)<x+y,z>=<x,z>+<y,z>
(4)x≠0⇒0< <x,x>
(5)<0,0>=0

そして∥x∥≡√(<x,x>)と定義。

∥・∥はノルムの次の要件を満たす。
αが複素数でx,y∈Hについて
(1)x≠0⇒0<∥x∥
(2)∥0∥=0
(3)∥α・x∥=|α|・∥x∥
(4)∥x+y∥≦∥x∥+∥y∥

0≦∥∥y∥^2・x-<x,y>・y∥^2・・・(*)
すなわち
0≦∥y∥^2・(∥x∥^2・∥y∥^2-|<x,y>|^2)
より|<x,y>|≦∥x∥・∥y∥
等号は(*)式の右辺が0すなわち
αを複素数としてy=0ま...続きを読む

Q直和分解 (ヒルベルト空間)

H:ヒルベルト空間
M:Hの閉部分空間
M^⊥:Mの直交補空間     とするとき、

H= M+M^⊥ = { x+y | x∈M , y∈M^⊥ }

この証明に行き詰っております。

http://www.ne.jp/asahi/search-center/internationalrelation/mathWeb/tupleRnMetric/OrthogonalComplementThrm.htm
定理:ユークリッド空間Rnは、その部分空間とその直交補空間に直和分解される

↑を参考に解いてみたのですが、ユークリッド空間R^nでのみしか証明されていませんでした。
 ユークリッド空間R^n ⇒ ヒルベルト空間H
に変われば、証明も変わってくると思うのですが、どのようにすればいいのでしょうか?
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

参照先の証明は、
「線型部分空間の直交集合は、補空間となる」のほうの形をとっているようです。

内積空間 H の線型部分空間 M に対して、
M⊥ を、x ∈ M⊥ ⇔ ∀y∈M, x・y = 0 で定義する。
この M⊥ が M の補空間となることを示すために、補空間の定義に沿って、
(1) M ∩ M⊥ = { 0 }
(2) ∀x∈H, ∃y∈M, ∃z∈M⊥, x = y + z
を示す。

(1) x ∈ M ∩ M⊥ とすると、M⊥ の定義より、x・x = 0 が成り立つ。
  よって、内積の定義により、x = 0 である。

(2) M の一組の正規直交基底を { e_λ | λ∈Λ } とする。
  y = Σ[λ∈Λ] (x・e_λ) e_λ
  z = x - y と置くと、
  e_λ が基底であることより、y ∈ M。
  内積の線型性により、x・z = …中略… = 0 となる。よって、z ∈ M⊥。

もとの証明では、内積の線型性や、x・x = 0 ⇒ x = 0 などの性質を、
R^n の「自然な内積」の具体的な式形によって説明していましたが、
一般的な内積空間について証明するときには、これらは、内積の公理です。

ちょっと気になる箇所は、部分空間 M に正規直交基底が存在するのか?です。
R^n では、M に基底が存在することは自明で、あとはグラム・シュミットの直交化
によって正規直交基底を構成することができますが、H が一般の内積空間だと、
特に M が有限次元でない場合、基底が存在するかどうかが問題になります。

実は、選択公理の下では、任意の線型空間に基底が存在することが言えます。
しかし、H がただの内積空間でなく、ヒルベルト空間であることを使って、
もう少しスマートに基底の存在が示せれば、そのほうが良いと思います。

参照先の証明は、
「線型部分空間の直交集合は、補空間となる」のほうの形をとっているようです。

内積空間 H の線型部分空間 M に対して、
M⊥ を、x ∈ M⊥ ⇔ ∀y∈M, x・y = 0 で定義する。
この M⊥ が M の補空間となることを示すために、補空間の定義に沿って、
(1) M ∩ M⊥ = { 0 }
(2) ∀x∈H, ∃y∈M, ∃z∈M⊥, x = y + z
を示す。

(1) x ∈ M ∩ M⊥ とすると、M⊥ の定義より、x・x = 0 が成り立つ。
  よって、内積の定義により、x = 0 である。

(2) M の一組の正規直交基底を { e_λ | λ∈Λ } とす...続きを読む

Qリーマン空間とヒルベルト空間の融合は可能か?

大雑把に書きますと、
まず基本的な空間である「ユークリッド空間」があって、
それを非ユークリッド的にすると「リーマン空間」が得られるそうです。
または、次元を無限大にすると「ヒルベルト空間」が得られるそうです。
もちろん、「リーマン空間」や「ヒルベルト空間」以外の空間もあるかと思いますが、
これら二つの空間がそれらの代表格かと思われたので書きました。
ここで私が思うことは、
「リーマン空間とヒルベルト空間の融合は可能か?」ということです。
換言するならば、「リーマン空間の次元を無限大にするとどうなるのか?」
または、「ヒルベルト空間を非ユークリッド的にするとどうなるのか?」
ということです。
数学的に、もうそういう空間が存在していて「~空間」という名前がついているのならば、
「~空間」という名称を教えて頂きたいです。
また、無いのならば一体どうなるのかが楽しみで仕方がないです。

ここで、私の頭の中を吐露しますと、
アインシュタインの相対性理論はリーマン空間を数学的基盤として記述してあります。
一方、量子論はヒルベルト空間を数学的基盤として記述してあります。
相対性理論と量子論は仲が悪く、世界中の科学者達が努力していますが、
未だにこの二つの理論が融合した理論は出来ていません。
ならば、それらの数学的基盤を成す空間だけでも融合できないのだろうか?
と思った次第であります。
まぁこれは数学というカテゴリに反するので備考ということで。
上記の質問に答えて頂けると幸いです!
私は浅学でものを言っているだけに、
的外れなことを言っていたら申し訳無いです。
その点も指摘して頂けたら幸いです。

大雑把に書きますと、
まず基本的な空間である「ユークリッド空間」があって、
それを非ユークリッド的にすると「リーマン空間」が得られるそうです。
または、次元を無限大にすると「ヒルベルト空間」が得られるそうです。
もちろん、「リーマン空間」や「ヒルベルト空間」以外の空間もあるかと思いますが、
これら二つの空間がそれらの代表格かと思われたので書きました。
ここで私が思うことは、
「リーマン空間とヒルベルト空間の融合は可能か?」ということです。
換言するならば、「リーマン空間の...続きを読む

Aベストアンサー

物理的意味を考えると、相対論でのリーマン空間は実際の宇宙空間を表現するものですが、量子力学でのヒルベルト空間は全ての量子の状態を表現する数値を並べた解析力学的な状態空間ですから、リーマン空間を無限次元に拡張してもANo.3さんの仰るとおり物理的意味はないでしょうね。

物理的にはリーマン空間の各点の上にベクトル空間を乗せるベクトル場の考え方が良いでしょう。これを一般化したものは数学ではファイバー束と言い、実際にゲージ理論などで使われています。

参考URL:http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%82%A1%E3%82%A4%E3%83%90%E3%83%BC%E6%9D%9F

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x(t)=cos2πft ; t∈(-∞,∞)
をヒルベルト変換したいのですが、どうやってやればいいでしょうか?資料などで調べても分かりませんでした。よろしくお願いいたします。

Aベストアンサー

t平面で、
実軸を通り上半平面を回って閉じる積分路を考えると、exp(it)/(t-x+iε) は積
分路上及び内部で正則だから

∫dt exp(it)/(t-x+iε) = 0

従って

1/(t+iε) = P/t - iπδ(t)

という公式より

P∫dt exp(it)/(t-x) = iπ∫dt δ(t-x)exp(it)
= iπ exp(ix)

となってsinとcosのヒルベルト変換

P/π∫dt cos(t)/(t-x) = -sin(x)
P/π∫dt sin(t)/(t-x) = cos(x)

が得られます。


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